新高考数学二轮培优恒成立与有解问题题型练习专题06 与三角函数有关的恒成立与有解问题（2份，原卷版+解析版）

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A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，因为的最大值为，所以时，必取到最值，
当时，根据余弦函数对称性得，此时
或者，此时
由，
设时 对应解为，
由上分析可知
当，或，时，满足的最大值为，
所以，即，所以.
或，即或，
故选：A.
例2．（湖北省荆门市龙泉中学等四校2022届高三下学期二模数学试题）设且，若对恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题设，即在恒成立，
当时，上，不满足题设，
所以，此时在上递减，递增，
要使不等式恒成立，则，即，
综上.
故选：D
例3．（贵州省贵阳市五校（贵州省实验中学、贵阳二中、贵阳八中、贵阳九中、贵阳民中）2022届高三年级联合考试（六）数学（文）试题）已知，关于k的不等式在时恒成立，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题设，，即，
其中不落在坐标轴上，
令，，则，
所以函数在单调递增．
若，即，
所以，可得的范围为.
故选：C．
例4．（重庆市2022届高三下学期第七次质量检测数学试题）若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则.
（1）当时，则，
令，
.
故.
（2）当时，则，
令
①当时，，
则
②当时，，
则
故
（3）当时，则在上恒成立，
故.
综上所述：
故选：A.
例5．（上海市金山区2022届高三下学期二模数学试题）设，若存在，使成立的最大正整数为9，则实数的取值范围是__________.
【答案】【解析】
依题意
（1）当时, 函数草图如下图所示,
此时, ,
则 满足条件;
（2）当 时, 函数草图如下图所示,
此时, ,
则无解
（3）当时, 函数草图如下图
此时, ,,
则, 无解;
（4）当时, 函数草图如下图所示,
此时, , ,
则
解得 , 满足条件
故答案为：
例6．（湖南省湘潭市第一中学2022届高三下学期3月月考数学试题）若不等式对于任意的都成立，则实数a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】因当时，，因此，而函数在上单调递增，
令，，则函数在上单调递递减，，
依题意，，则有，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
例7．（浙江省十校联盟2021-2022学年高二下学期5月联考数学试题）已知函数．
(1)若为奇函数，求实数的值；
(2)若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围．
【解析】（1）若为奇函数，因为的定义域为，所以，则.
（2），，所以，
设在的值域为在上的值域为，则．
当时，在单调递减，，（舍）
当时，，即，
若在单调递减，只需；
若，在单调递减，在单调递增，所以，只需得；
若，，所以只需，即
综上，实数的取值范围为．
例8．（2022·浙江·杭州市长河高级中学高二期中）已知.
(1)求的极大值点；
(2)若，当时，恒成立，求a的取值范围.
【解析】（1）因为，
所以，
由可得，，即，
由可得，，即，
所以的极大值点为；
（2）由，
可得，
当时，恒成立，
令，则，
由，可得或，
因为，，
所以当，即时，，在上单调递增，
∴，则，即，
所以；
当，即时，当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
则，
∴，即，
所以；
综上，a的取值范围为.
例9．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数．
(1)求的图象在点处的切线方程；
(2)对任意的，，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为，所以切点坐标为，
因为，所以，
可得所求切线的方程为，即．
（2）由，得，所以，其中，
令，，得，
设，，
则，所以在上单调递增，
所以，所以，所以在上单调递增，
，
所以，即a的取值范围为．
例10．（2022·四川·成都七中高三开学考试（理））已知函数，.
(1)己知恒成立，求a的值；
(2)证明：当时，；
(3)当时，不等式（），求a的取值范围.
【解析】（1）由已知，函数，，即，
令，，
①当时，，所以函数在上单调递增，而，所以此时不恒成立；
②当时，，解得，当，，函数单调递增，
当，，函数单调递减，
所以函数在上取得极小值，即，
要使在上恒成立，即满足，令，
所以
，又因为，所以：
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递增，
所以，因此，
所以要使恒成立，a的值为1.
（2）由已知，，，
令，所以，，
①当时， ，所以，而，
则，所以，函数在上单调递减，故；
②当时，构造函数，可证得，由（1），、所以
当时，，当且仅当时等号成立，
综上所述，对任意时，.
（3）当时，不等式（），
不妨设，即，
因为且，所以当时，取得最小值，
由于函数为可导函数，，
则为函数的极小值点，故，解得，
下面证明当时，为函数的极小值点，
由（2）问可知，当时，，
令，所以，
故函数在上单调递增，因为，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以为函数的极小值点，合乎题意.
综上所述，.
例11．（2022·安徽省太和中学高三阶段练习）已知函数.
(1)若是函数的极值点，求函数的零点的个数；
(2)当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1），
由是函数的极值点，可得，可得.
解法一：有，
令.可得.可得.
可得函数的增区间为，减区间为，
又由，
，
可得存在，使得.
由上知函数有两个零点，一个为0，一个为；
解法二：当时，存，
有.
有，.
可得或，
又由，可知函数有两个零点；
（2）当时.若不等式恒成立，可得恒成立.
令，存.
①当时，由，有.可得.
②当时，令，有，可知函数单调递增.
又由，
I）当时，，可得此时函数单调递增.又由.可得，满足题意；
II）当吋.由，又当时，，必定存在.
使得.且当时函数单调递减，无得，不合题意.
由上知当时.若不等式恒成立.则实数的取值范围为
例12．（2022·江西九江·三模（理））已知函数.
(1)当时，试比较与0的大小；
(2)若恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）当时，，因为，
所以，所以在上单调递减，又，
所以当时，；
当时，；当时，.
（2）∵，∴，
下证当时，，
∵，∴，令，
要证，只需证，
①当时，，由（1）知，，
②当时，，，
易知在上单调递减，在上单调递增，
∵，，，
∴，，使得，
∴当，时，；当时，，
∴在，上单调递增，在上单调递减，
而，
∴当时，；当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减.
而，∴当时，，
③当时，，
∴在上单调递增，∴，
综上所述，的取值范围是.
例13．（2022·吉林一中高三阶段练习（理））已知函数，.
(1)求在处的切线方程；
(2)求证：.
(3)当时，，求实数的取值范围.
【解析】(1)因为，则，，，
所以，在处的切线方程为.
(2)要证明，
即证：，
即证：，（*）
设，则，
所以，在内单调递减，故，
所以，当时，，
所以要证（*）成立，只需证，
设，则，
当时，，故函数在上单调递增，
当时，，故函数在上单调递减，
故，则，
则，即，故成立，
所以原命题得证.
(3)由题得在上恒成立，
即，恒成立，
因为，
①若，，在上单调递增，，符合题意；
②若，令，，
则，所以在单调递增，且，
（i）若，，在上单调递增，，符合题意；
（ii）若，，
当时，，则，
取，则，
则存在，使得当时，，单调递减，
此时，不合题意；
综上，.
例14．（2022·湖南·长沙市麓山滨江实验学校高三开学考试）设.
(1)求在上的极值；
(2)若对，，都有成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）由，
得的单调减区间是，，
同理，的单调增区间是.
故的极小值为，极大值为.
（2）由对称性，不妨设，
则即为.
设，则在上单调递增，
故在上恒成立.
方法一：（含参讨论）
设，
则，，解得.
，，.
①当时，，
故，当时，，递增；
当时，，递减；
此时，，在上单调递增，故，符合条件.
②当时，同①，当时，递增；当时，递减；
∵，，
∴由连续函数零点存在性定理及单调性知，，.
于是，当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
∵，，∴，符合条件.
综上，实数的取值范围是.
方法二：（参变分离）
由对称性，不妨设，
则即为.
设，则在上单调递增，
故在上恒成立.
∵，∴在上恒成立
，.
设，，则，.
设，，
则，.
由，，得在，上单调递增；
由，，得在，上单调递减.
故时；
时.
从而，，，
又时，，故，，
，单调递减，，.
于是，.综上，实数的取值范围是.
例15．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（文））已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)∵，
∴，
令，即，则，，
解得，，
∴的单调递增区间为，．
(2)由已知得当时，，
即恒成立，
设，
∴，令，则，
由，得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，，
∴，∴在上为增函数，∴，
∴，解得，
∴a的取值范围为．
例16．（2022·江西萍乡·三模（文））已知函数.
(1)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若，且关于x的不等式在内恒成立，求实数的取值范围.
【解析】(1)由题意得在上恒成立，
即，
设，易知在上单调递增，
，；
(2)由题意得，
所以，
令，则，
故在上单调递增，
因为，故时，，
，所以在上恒成立，
所以在上单调递减，，
即，
令，则，故，
当时；
当时，.故，即恒成立，
故在内单调递减，且，则；
即的取值范围为.
例17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，函数．
(1)求函数的单调区间．
(2)时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】(1)，令，则，当且仅当，时等号成立，∴在上单调递增，即在上单调递增．
∵，∴时，，时，，
∴的单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)时，恒成立，
，，
，
时，，∴在上单调递增，
∵，
若，时，，∴在上单调递增，
∴时，，∴在上单调递增，
∴时，恒成立；
若，∵，∴，∴，
，，
∴在有唯一解，设为，且，
当时，，∴在上单调递减，
∴时，，∴在上单调递减，
∴与恒成立矛盾，舍去．
综上，实数的取值范围是．
例18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．（其中e是自然底数，）
(1)求证：；
(2)求证：当；
(3)当时，恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)证明：当时，，
当，；当，．
所以，
即当，．
(2)依题意，即证：当时，恒成立，
由（1）即证：，
即证：．
而，，
故显然成立．
(3)当时，恒成立，
即，时恒成立．
令，则，
，
由（2）知：，即
在上单调递增．所以，
当，则，即，所以，符合题意；
当时，在上单调递增，且，，，
则存在，使得，，即，这显然与题意矛盾．
综上，实数的取值范围为．
例19．（2022·全国·高三专题练习）函数的图像与直线相切.
(1)求实数a的值；
(2)当时，，求实数m的取值范围.
【解析】（1），设切点为，
所以有，因为是切线，
所以有，
设，显然当时，单调递增，所以有，
当时，，所以无实数根，
因此当时，方程有唯一实数根，即，
于是有，因此有；
（2）令，则在恒成立
.
若，即时，当时，由得，所以在单调递增，又，所以在恒成立；当时，所以.所以在恒成立.
若即时，，则存在，使得在单调递减，则当时，矛盾，舍
综上所述，的取值范围时.
例20．（2022·北京朝阳·二模）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)设函数．若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)因为，
所以．
当时，与的变化情况如表所示：
所以当时，函数的单调递增区间为，
函数的单调递减区间为．
(2)当时，，所以函数为偶函数．
所以当时，函数的单调递增区间为，，
函数的单调递减区间为，,
所以函数的最大值为．
设，则当时，．
对任意，存在，使得成立，
等价于．
当时，函数在区间上的最大值为，不合题意．
当时，函数在区间上的最大值为，
则，解得或，
所以．
当时，函数在区间上的最大值为，
则，解得，
所以.
综上所述，的取值范围是．
例21．（2022·辽宁·一模）已知函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：存在，使得不等式 有解（e是自然对数的底）.
【解析】(1) 的定义域为R，，
，
①当时， ，有两个不等实数根为：，
时，，单调递增，
时，
，单调递减，
时，，单调递增，
②当时， ，，
所以在上单调递增；
(2)不等式 等价于 ，
所以只需证 的最大值大于1，
因为，，
又，所以，时等号成立，
所以 ，
设函数 ， ，
，，单调递增，，，单调递减，
因为 ，所以存在，使不等式 有解.
例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数
(1)若，成立，求实数的取值范围;
(2)证明：有且只有一个零点，且．
【解析】(1)由得，则在上单调递增，
在上最小值为
若，成立，则必有
由，得故实数的取值范围为
(2)在上单调递增，且恒成立，
最小正周期，在上最小值为
由此可知在恒为正值，没有零点.
下面看在上的零点情况.
，，则
即在单调递增，
，
故在上有唯一零点.
综上可知，在上有且只有一个零点.
令，则，
令，则
即在上单调递减，
故有
例23．（2022·山西·长治市第八中学高三阶段练习（理））已知函数．
(1)证明：曲线在点处的切线l恒过定点；
(2)若存在使得，求k的取值范围．
【解析】（1）证明：由得，则，故切线l为，即，恒过定点．
（2）即，设，
令，则时，时，，
所以，即，故当时，不成立；
当时，对于，，，
单调递增，，故存在唯一．使得，
时，，符合题意；
当时，对于有，则对任意的，都有成立．
综上，k的取值范围是．
例24．（2022·全国·高三期中）已知函数，.
（1）讨论在内的零点个数.
（2）若存在，使得成立，证明：.
【解析】（1）当时，，，此时函数无零点；
当时，，
令，其中，则，
所以，函数在单调递减，所以，，
所以，对任意的，，则，
所以，函数在上为减函数，
因为，，
所以，函数在上只有一个零点.
综上所述，函数在上只有一个零点；
（2）由得，
令，，，
令，则，
当时，，所以，函数在上单调递增，
当时，，此时，则函数在上单调递增，
当时，，则函数在上单调递减，
因为，，
所以，存在，使得，
变形可得，
当时，，当时，.
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
，其中，
对于函数，，，
所以在递减，则，
故，所以成立.
例25．（2022·广西·模拟预测（文））设函数．
（1）当时，判断的单调性；
（2）若当时，不等式有解，求证：．
【解析】（1），
令，
当时，，
所以当时，单调递增；
所以当时，，
所以当时，单调递增．
（2）因为当时，不等式有解，
所以当时，不等式有解，
令，所以，
因为当时，，
所以，所以单调递增，
所以，所以．
例26．（2022·江苏盐城·高三期中）设函数.
（1）当时，，求实数的取值范围；
（2）求证：存在正实数，使得总成立.
【解析】（1），，
即，，
令，，则，
，
时，，
时，，
故在上递减；在上递增，
因此，，
所以实数的取值范围为.
（2）取，则，
令，，则在上单调递增.
又，故时，，即；
当时，，即.
①时，，令，，，
故在递增，因此，
所以时，，即.
②时，，即.
③，由（1）可知，，
则在递增，因此，即.
因此，时，总成立，即题意得证.
例27．（2022·重庆市垫江中学校高三阶段练习）已知，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）已知存在极值，若对，都，使得不等式成立，求实数的取值范围．
【解析】（1），，
由题意，，
若，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）知：若存在极值，则，且，
故原题转化为：，使得成立，
即在有解，
则在有解，
令，，
则，
在上单调递增，，，
即实数的取值范围为.
例28．（2022·江苏省高邮中学高三开学考试）已知函数．
(1)若曲线在点处的切线与x轴平行．
①求实数a的值：
②证明：函数在内只有唯一极值点；
(2)当时，证明：对于区间内的一切实数，都有．
【解析】（1）①由题意得，
∵，
∴，即
②证明：由①可知，，则，
此时，
由零点定理结合单调性可知，存在唯一的，使得
∴函数在内只有唯一极值点，且取得极小值，故原命题得证
（2）证明：要证对于区间内的一切实数，都有，即证
由（1）可知，在上单调递增，且
∴
∵，∴
以下，对的正负进行分类讨论：
①当，即时，
由在上单调递增，则．
∴在上单调递减，∴，命题得证；
②当，即时，
由（1）②可知：
∵
∴命题得证
综上，当时，对于区间内的一切实数，都有．
例29．（2022·湖北·大冶市第一中学模拟预测）已知函数，其中e是自然对数的底数.
(1)若时，试判断f（x）在区间（，0）的单调性，并予以证明；
(2)从下面两个条件中任意选一个，试求实数a的取值范围.
①函数在区间[0，]上有且只有2个零点；
②当时，.
【解析】(1)当时，
.
当时，，
所以，
又，
故，从而，
所以，f（x）在（，0）上单调递增.
(2)选择①，
由函数，可知
因此f（x）在上有且只有1个零点.
，令，
则在[0,]上恒成立.
即在[0，]上单调递增，，
当时，，f（x）在[0.]上单调递增.
则f（x）在（0，]上无零点，不合题意，舍去，
当时，，在[0，]上单调递减，
则在（0，]上无零点，不合题意，舍去，
当时，
则在（0，）上只有1个零点，设为.
且当时，；当时，
所以当时，在（0，）上单调递减，在（x0，）上单调递增，
又
因此只需即可，即，
综上所述：
选择②，
构造函数
此时
则
易知
令
令，
令，则
所以在（0，）上单调递减.
又
在（0，）上存在唯一实数使得，且满足当时，
当时.
即p（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，）上单调递减.
又，
所以在上存在一实数使得，
且满足当时，；当时，
即在（0，x2）上单调递增，在（，）上单调递减，
当时，即，函数在[0，]上单调递增，又，因此恒成立，符合题意，
当，即，在上必存在实数，使得当时，，又，因此在上存在实数不合题意，舍去
综上所述.
例30．（2022·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：．（注，）
【解析】(1)由题意得，函数的定义域为，
则，
，，
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
综上所述：函数在上单调递减，在上单调递增.
(2)由（1）知，在处取得唯一极小值，即最小值，所以，
欲证当时，，
即证当时，，
令，，
则，又令，，
则恒成立，所以在上单调递减，
又,，即，
存在唯一使得恒成立，
当时，，即，所以在上单调递增；
当时，，即，所以在上单调递减；
所以的最小值在或处取得，又因为，
所以，
即当时，，
故当时，.
0
单调递增
单调递减
0
+
↘
极小值
↗
0
+
↘
极小值
↗
x
+
↘
极小值
↗