新高考数学二轮复习重难点培优专练第4章01 三角函数恒等式综合应用（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习重难点培优专练第4章01 三角函数恒等式综合应用（2份，原卷版+解析版），共25页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 3
\l "_Tc16555" 题型一 配凑角（给值求值、给值求角）（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 3
\l "_Tc7141" 题型二 半角公式（★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 4
\l "_Tc26803" 题型三 万能公式（★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 5
\l "_Tc13512" 题型四 三倍角公式（★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 6
\l "_Tc3897" 题型五 和差化积公式（★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 7
\l "_Tc326" 题型六 积化和差公式（★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 9
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 10
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 10
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 13
一、同角三角函数基本关系
1、平方关系：．
2、商数关系：；
二、三角函数诱导公式
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：
（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；
（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；
（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
【常用结论】
1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2．
三、两角和差公式
①；
②；
③；
变形：；
四、二倍角公式
①；
②；
③；
变式：
五、降幂公式
六、辅助角公式
（其中）．


题型一 配凑角（给值求值、给值求角）
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·甘肃白银·一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·安徽蚌埠·三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·河北·期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·广东广州·三模）已知都是锐角，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·云南昆明·月考）已知，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知，，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．若，且，，则的值是（ ）
A．B．C．或D．或
9．若，且，，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
11．（24-25高三下·上海·月考）已知为锐角,若，则 .
12．已知，若，则
13．（23-24高三上·河北石家庄·月考）若，，，，则 .

题型二 半角公式
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·甘肃兰州·模拟预测）若 ，且 ，则 等于（ ）
A．B．C．D．
2．若且，则的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
3．（2025·辽宁本溪·模拟预测）若，且，则 .
4．已知为锐角，且，．则 ．
5．已知，，则 .

题型三 万能公式
【技巧通法·提分快招】
1．（23-24高三下·河北张家口·开学考试）已知，是第四象限角，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知第二象限角满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．函数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·重庆·月考）已知，，则 .
5．已知，则 ．

题型四 三倍角公式
【技巧通法·提分快招】
1．已知三倍角公式，则 ．
2．函数 的最小正周期为（ ）.
A. B. C. D.
3．在三角函数部分，我们研究过二倍角公式，实际上类似的还有三倍角公式，则下列说法中不正确的有（ ）
存在时，使得
给定正整数，若，，且，则
设方程的三个实数根为，，，并且，则

题型五 和差化积公式
【技巧通法·提分快招】
1．的值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·湖南常德·一模）已知，则（ ）
A．B．7C．D．
4．在中，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·吉林长春·一模）已知，是函数，的两个零点，则 ．
6．在三角恒等变化中，积化和差实际上就是把与，与相加或相减而变形得到的；和差化积实际上就是一种角的变化，如：.
如果角与满足，，则 .

题型六 积化和差公式
【技巧通法·提分快招】
1．若，则 ．
2．已知，则 .
3．计算： ．
4．已知，那么 ．
5．（24-25高三下·安徽安庆·月考）的值为（ ）
A．B．C．D．

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．若是第三象限角，且，则的值为（ ）
A．B．5C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·湖北荆州·月考）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．或
5．若，则（ ）
A．B．C．D．1
6．已知是第三象限的角，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．已知 ，若 ，则 （ ）
A．B．C．D．
8．（24-25高三上·山东·期中）若，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
9．函数在内的零点之和为（ ）
A．B．C．D．
10．美国数学家Jack Kiefer于1953年提出0.618优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域.黄金分割比，现给出三倍角公式，则与的关系式正确的为（ ）
A．B．C．D．
11．（ ）
A．B．C．D．
12．已知，则（ ）
A．B．C．D．1
13．（2024·山东·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
14．计算：（ ）
A．B．C．D．
15．（多选题）下列各式一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
16．（23-24高三上·江苏泰州·期中）（多选题）由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式，像、、、这些非特殊角我们可以通过观察发现它们之间的相互关系，进而求出各自的三角函数值.则（ ）
A．
B．
C．已知方程在上有三个根，记为，，，则
D．对于任意的，当时一定有
17．（23-24高三上·山西忻州·月考）已知，则 .
18．若，则 ．
19．（24-25高三上·吉林长春·期末）若，且，是的两个根，则 .
20．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知，则 ．
21．已知， ，则
22．已知三倍角公式，则 ．
23．已知，则 ．
24．（23-24高三上·重庆·期中）已知，，且，，则 .
25．（24-25高三上·江西上饶·期中）已知，满足，，则 .
26．（24-25高三上·河北衡水·开学考试）研究发现利用函数的单调性，可以比与的大小，请作出你的结论： ．（用填空）
27．通过两角和的正．余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如：
(1)根据上述过程，推导出关于的表达式；
(2)求的值；
(3)求证：是方程的一个根．
28．（2024·福建厦门·模拟预测）三角学于十七世纪传入中国，此后徐光启、薛风祚等数学家对此深入研究，对三角学的现代化发展作出了巨大贡献，三倍角公式就是三角学中的重要公式之一，类似二倍角的展开，三倍角可以通过拆写成二倍角和一倍角的和，再把二倍角拆写成两个一倍角的和来化简.
(1)证明：；
(2)若，，求的值.

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·江西南昌·二模）已知、终边不重合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三下·重庆大足·月考）设，，，，若满足条件的与存在且唯一，则（ ）
A．B．1C．2D．4
3．已知，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·辽宁丹东·一模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三上·江苏苏州·月考）求值：（ ）
A．B．C．1D．
6．（23-24高三下·全国·强基计划）（多选题）已知，则可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知均为锐角，且，，求，的值．
8．中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各个领域应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，这一数值也可以表示为.三倍角公式是把形如，等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物理、天文等学科.
(1)已知试证明此三倍角公式；
(2)若角满足，求的值（已知）；
(3)试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值.
9．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①；②.根据以上研究结论，回答：
(1)在①和②中任选一个进行证明；
(2)已知函数有三个零点且.
（i）求的取值范围；
（ii）若，证明：.
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
拆分角的变形：①；；②；
③；④；⑤．
其他：
1、正弦三倍角公式：
2、余弦三倍角公式：
3、正切三倍角公式：

推导过程：
1.3
2.同理：
3.
.
和差化积公式:




口诀：
正弦＋正弦,正弦在前；
正弦－正弦,正弦在后；
余弦＋余弦,余弦并肩；
余弦－余弦，余弦靠边。
证明：由，，得
.其他同理可证.
积化和差公式：
；
；
；
.
口诀：
积化和差得和差，余弦在后要相加；
异名函数取正弦，正弦相乘取负号。
证明：由两角和与差的正弦公式得
两式相加可得，
两式相减可得．
同理，由两角和与差的余弦公式可得其他公式.