2027年中考数学一轮复习练习含答案 25.第四章 微专题4 一线三等角模型

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A. 1B. 2C. 3D. 4
2．如图，在边长为7的等边△ABC中，点D，M，N分别在△ABC的边BC，AB，AC上，且∠MDN=60∘ ，若BD=2，NC=4，则BM的长为( )
A. 53B. 2C. 52D. 3
3．如图，在△ABC中，D是BC上一点，∠CAD=90∘ ，AC=AD=BD，若AB=6，则点C到AB边的距离为 .
4．如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，连接BE，过点A作AF⊥BE，垂足为F，若AB=4，AD=6，求BFEF的值.
5．如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠A=90∘ ，E为AB的中点，连接DE，CE，∠DEC=90∘ .
(1) 求证：BE2=AD⋅BC；
(2) 若tan∠DCE=12，AD=2，求DC的长.
参考答案
1. C 【解析】∵∠EDC=∠B＋∠BED=∠EDF＋∠CDF，∠B=∠EDF，∴∠BED=∠CDF.∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△EBD和△DCF中，∠BED=∠CDF，∠B=∠C，BD=CF，∴△EBD≌△DCF(AAS)，∴CD=BE=2，∵BD=CF=1，∴BC=BD＋CD=3.
2. C 【解析】∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠MDN=60°，∴∠BMD＋∠MDB=∠MDB＋∠CDN=120°，∴∠BMD=∠CDN，∴△BDM∽△CND，∴BMCD=BDCN，∵BC=7，BD=2，∴CD=BC－BD=5，∴BM5=24，解得BM=52.
3. 3 【解析】如解图，过点C作CE⊥AB，交BA的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，∴∠E=∠AFD=90°，∵AB=6，AC=AD=BD，∴AF=BF=12AB=3，∵∠CAD=90°，∴∠DAF＋∠CAE=90°，∵∠AFD=90°，∴∠DAF＋∠ADF=90°，∴∠CAE=∠ADF，在△CAE和△ADF中，∠E=∠AFD∠CAE=∠ADFAC=DA，∴△CAE≌△ADF(AAS)，∴CE=AF=3，∴点C到AB边的距离为3.
解图
4. 解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=∠C=90°，AD=BC=6，AB=CD=4，
∵E是CD的中点，∴CE=2，
∴BE=BC2＋CE2=210，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB=∠C=90°，
∴∠BAF＋∠ABF=∠ABF＋∠EBC=90°，
∴∠BAF=∠EBC，
∴△ABF∽△BEC，
∴ABBE=BFEC，即4210=BF2，
∴BF=2105，
∴EF=BE－BF=8105，
∴BFEF=14.
5. (1)证明：∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠EBC=180°－∠A=90°，
∴∠A=∠EBC，
∵∠DEC=90°，
∴∠ADE=∠BEC=90°－∠AED，
∴△ADE∽△BEC，
∴ADBE=AEBC，
∴AE∙BE=AD∙BC，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE，
∴BE2=AD∙BC；
(2)解：由(1)得△ADE∽△BEC，
∴ADBE=AEBC=DEEC，
∵∠DEC=90°，
∴tan∠DCE=DEEC=12，
∴ADBE=AEBC=DEEC=12，
∵E为AB的中点，AD=2，
∴AE=BE=2AD=2×2=4，
∴BC=2AE=2×4=8，
如解图，延长DE，CB交于点F，则∠EBF=∠A，
在△BFE和△ADE中，
∠EBF=∠ABE=AE∠BEF=∠AED，
∴△BFE≌△ADE(ASA)，
∴BF=AD=2，FE=DE，
∴CE垂直平分DF，
∴DC=FC=BF＋BC=2＋8=10，
∴DC的长为10.
解图