2027年中考数学一轮复习练习含答案 22.第四章 微专题3 角平分线常用性质及辅助线作法

这是一份2027年中考数学一轮复习练习含答案 22.第四章 微专题3 角平分线常用性质及辅助线作法

2．如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘ ，CD平分∠ACB交AB于点D.若AD=3，S△BCD=15，则BC= .
3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且AD⊥BD，连接CD，若△ABC的面积为12，则△ACD的面积为 .
4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD交AD于点E，∠B=∠BCE，若AB=10，AC=5，则AE的长为 .
5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘ ，BD平分∠ABC交AC于点D，若AD=4，∠CBD=15∘ ，求AB的长.
6．如图，在△ABC中，AB=3，BC=6，点D在AC边上，且BD平分∠ABC，求CDAD的值.
7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E，F分别在AB，AC上，连接DE，DF，若∠BAC+∠EDF=180∘ ，求证：DE=DF.
请从以下三种证法中任选一种解答.
证法一：截长法 证法二：补短法
证法三：作垂直
参考答案
1. 43 【解析】如解图，过点D作DF⊥AC于点F.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=6.∵∠C=60°，∴CD=DFsin60°=43.
解图
2. 10 【解析】如解图，过点D作DE⊥BC于点E，∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE=AD=3，∵S△BCD=15，∴12BC∙DE=15，即32BC=15，解得BC=10.
解图
3. 6 【解析】如解图，延长BD交AC于点E，∵AD平分∠BAC，AD⊥BD，∴BD=DE，∴S△ABD=S△AED，S△BCD=S△DCE，∴S△ACD=12S△ABC=6.
解图
4. 532 【解析】如解图，延长CE交AB于点F，∵AD平分∠BAC，∴∠EAF=∠EAC，∵CE⊥AD，∴∠AEF=∠AEC，∵AE=AE，∴△AEF≌△AEC(ASA)，∴AF=AC=5，∴BF=AB－AF=5，∵∠B=∠BCE，∴CF=BF=5，∴CE=12CF=52，∴在Rt△ACE中，AE=AC2－CE2=532.
解图
5. 解：∵BD平分∠ABC，∠CBD=15°，
∴∠ABC=2∠CBD=30°，
如解图，过点D作DE∥BC交AB于点E，
则∠ADE=∠C=90°，∠AED=∠ABC=30°，
∴AE=2AD=8，由勾股定理得ED=43，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠CBD=∠EBD，
∴BE=DE=43，
∴AB=AE＋BE=8＋43.
解图
6. 解：如解图①，过点A作BD的平行线交CB的延长线于点E，
∴∠DBC=∠E，∠ABD=∠BAE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠BAE=∠E，
∴BE=BA=3，
∵AE∥BD，
∴CDAD=CBEB=2.
解图①
(一题多解法)
如解图②，过点D作DE∥AB交BC于点E，
∴∠ABD=∠BDE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠BDE=∠DBC，
∴BE=DE.
设BE=DE=a，则CE=6－a，
∵DE∥AB，
∴CECB=DEAB=CDAC，即6－a6=a3，
解得a=2，∴CE=4，
∴CDAD=CEBE=2.
解图②
7. 证法一：截长法
证明：如解图①，在AB上截取AG，使AG=AF，连接DG.
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
在△ADG与△ADF中，
AG=AF，∠1=∠2，AD=AD，
∴△ADG≌△ADF(SAS)，
∴∠AGD=∠AFD，DG=DF.
又∵∠3＋∠EDF＋∠DFA＋∠FAE=360°，∠EDF＋∠BAC=180°，
∴∠3＋∠AFD=180°.
又∵∠4＋∠AGD=180°，
∴∠4=∠3，
∴DE=DG，
∴DE=DF.
解图①
证法二：补短法
证明：如解图②，延长AC至点G，使得AG=AE，连接DG.
∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2.
在△ADE和△ADG中，
AE=AG，∠1=∠2，AD=AD，
∴△ADE≌△ADG(SAS)，
∴∠3=∠G，DE=DG.
∵∠3＋∠BAC＋∠4＋∠EDF=360°，∠BAC＋∠EDF=180°，
∴∠3＋∠4=180°.
∵∠4＋∠5=180°，
∴∠3=∠5=∠G，
∴DF=DG，
∴DE=DF.
解图②
证法三：作垂直
证明：如解图③，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N.
∴∠DMA=∠DNF=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN.
∵∠BAC＋∠EDF=180°，
∴∠AED＋∠AFD=180°.
又∵∠DFN＋∠AFD=180°，
∴∠AED=∠DFN.
在△DEM和△DFN中，
∠DEM=∠DFN，∠DME=∠DNF，DM=DN，
∴△DEM≌△DFN(AAS)，
∴DE=DF.
(三种证法任选一种即可)
解图③