新高考数学一轮复习考点学案第8章§8.9直线与圆锥曲线的位置关系（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点学案第8章§8.9直线与圆锥曲线的位置关系（含答案解析），共18页。

1.直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ 0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ 0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ 0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.
2.弦长公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，则|AB|＝(x1−x2)2+(y1−y2)2
＝1+k2|x1－x2|＝ ，或|AB|＝1+1k2|y1－y2|＝ .
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)过点1，12的直线一定与椭圆x22+y2＝1相交.( )
(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切.( )
(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点.( )
(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦.( )
2.若直线y＝kx+2与椭圆x23+y22＝1有且只有一个交点，则k的值是( )
A.63B.－63C.±63D.±33
3.已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是( )
A.2B.4C.8D.16
4.已知点A，B是双曲线C：x22－y23＝1上的两点，线段AB的中点是M(3，2)，则直线AB的斜率为 .
1.已知M，N是椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)上的两点，点O为坐标原点，且P是M，N的中点，则kMN·kOP＝－b2a2.
2.若曲线为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，其余条件不变，则kMN·kOP＝b2a2.
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
例1 (1)已知直线l的方程为mx+y+2m＝1，椭圆C的方程为x29+y24＝1，则直线l与椭圆C的位置关系为( )
A.相离B.相交C.相切D.不能确定
(2)(2024·肇庆模拟)已知双曲线E：x24－y25＝1，则过点P(2，5)与双曲线E有且只有一个公共点的直线共有( )
A.4条B.3条C.2条D.1条
思维升华 (1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合).
跟踪训练1 (1)(2025·宿迁模拟)已知抛物线C：x2＝y，点M(m，1)，则“m>1”是“过M且与C仅有一个公共点的直线有3条”的( )
A.充分条件B.必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
(2)已知直线y＝x与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)无公共点，则双曲线的离心率的取值范围是 .
题型二 弦长问题
例2 已知抛物线G：y2＝4x的焦点与椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的右焦点F重合，椭圆E的长轴长为4.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点F且斜率为k的直线l交椭圆E于A，B两点，交抛物线G于M，N两点，求1|AB|－13|MN|的值.
思维升华 (1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公式求(过两点的直线的斜率存在且不等于0).
(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1+x2+p.
(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率.
跟踪训练2 (2024·亳州模拟)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为223，点P为椭圆C上任意一点，且△PF1F2的周长为6+42.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l1：y＝x+3与直线l2：y＝x－3分别交椭圆C于点A，B和点C，D，求四边形ABCD的面积.
题型三 中点弦问题
例3 (1)已知直线l交抛物线C：x2＝－18y于M，N两点，且MN的中点为(3，－2)，则直线l的斜率为( )
A.－3B.－16C.19D.－13
(2)(2024·肇庆模拟)已知直线l：x－y+3＝0与双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，点P(1，4)是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是( )
A.y＝±14xB.y＝±2x
C.y＝±12xD.y＝±4x
思维升华 解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
(1)根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解.
(2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为C(x0，y0)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线(焦点在x轴上)的方程，并对所得两式作差，化简得椭圆：kAB＝－b2a2·x0y0，双曲线：kAB＝b2a2·x0y0.
跟踪训练3 (2024·六安模拟)已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为( )
A.x218+y29＝1B.x227+y218＝1
C.x236+y227＝1D.x245+y236＝1
答案精析
落实主干知识
1.> ＝ 0，
解得m1，
所以“m>1”是“过M且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件.]
(2)(1，2]
解析 双曲线的一条渐近线为
y＝bax，因为直线y＝x与双曲线无公共点，则01，
所以10，
∴x3+x4＝2k2+4k2，x3x4＝1，
∴|MN|＝x3+x4+2＝4(k2+1)k2.
故1|AB|－13|MN|
＝3+4k212(k2+1)－13·k24(k2+1)
＝3+4k2−k212(k2+1)＝14.
跟踪训练2 解 (1)由题意知2a+2c＝6+42,a2＝b2+c2,ca＝223,
解得a＝3,b＝1,c＝22,
则椭圆C的方程为x29+y2＝1.
(2)易知四边形ABCD为平行四边形，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立y＝x+3,x29+y2＝1,
消去y并整理得5x2+93x+9＝0，Δ＝63>0，
由根与系数的关系得
x1+x2＝－935，x1x2＝95，
则|AB|＝1+k2(x1+x2)2−4x1x2
＝3145，
因为AB与CD平行，所以这两条直线的距离
d＝|3−(−3)|2＝6，
则平行四边形ABCD的面积S＝|AB|·d＝3145×6＝6215.
例3 (1)D [由题意知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x12＝−18y1,x22＝−18y2,
两式相减得x12－x22
＝－18(y1－y2)，
整理得y1−y2x1−x2＝－x1+x218，
因为MN的中点为(3，－2)，
则x1+x2＝2×3＝6，
所以k＝y1−y2x1−x2＝－618＝－13，
即直线l的斜率为－13.]
(2)B [方法一 设A(x1，y1)，
B(x2，y2)，
可得x12a2－y12b2＝1，x22a2－y22b2＝1，
两式相减可得
(x1−x2)(x1+x2)a2＝(y1−y2)(y1+y2)b2，
由点P(1，4)是弦AB的中点，且直线l：x－y+3＝0，
可得x1+x2＝2，y1+y2＝8，
y1－y2＝x1－x2，
即有b2＝4a2，即b＝2a，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x.
方法二 由题意知kAB＝1，
kOP＝4(O为坐标原点)，
则b2a2＝kAB·kOP＝4，
所以b2＝4a2，b＝2a，
故双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.]
跟踪训练3 A [方法一
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x12a2+y12b2＝1,x22a2+y22b2＝1,
两式相减可得x12a2－x22a2＝y22b2－y12b2，
整理可得y1−y2x1−x2＝－b2(x1+x2)a2(y1+y2)，
根据题意可知直线AB的斜率为0−(−1)3−1＝12，
由AB的中点坐标为(1，－1)可得
x1+x2＝2，y1+y2＝－2，
因此y1−y2x1−x2＝
－b2(x1+x2)a2(y1+y2)＝－2b2−2a2＝b2a2＝12，可得a2＝2b2，
方法二 设AB的中点为P，
O为坐标原点，
kAB＝0−(−1)3−1＝12，kOP＝−11＝－1，
则kAB·kOP＝－12＝－b2a2，
所以a2＝2b2，
由右焦点为F(3，0)可得
a2－b2＝c2＝9，
解得b2＝9，a2＝18，
所以椭圆E的方程为x218+y29＝1.]