新高考数学一轮复习考点学案第8章§8.8抛物线（含答案解析）

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1.抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .
注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线.
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.( )
(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1，0).( )
(3)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离.( )
(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2(a≠0)，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的.( )
2.(多选)关于抛物线y2＝－2x，下列说法正确的是( )
A.开口向左B.焦点坐标为(－1，0)
C.准线为x＝1D.对称轴为x轴
3.(2024·驻马店模拟)已知点P(6，y0)在焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p>0)上，若|PF|＝152，则p等于( )
A.3B.6C.9D.12
4.(2024·宝鸡模拟)抛物线y2＝2px(p>0)过点A(2，2)，则点A到抛物线准线的距离为 .
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则
(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；
(2)弦长|AB|＝x1+x2+p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)；
(3)1|FA|+1|FB|＝2p；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦；
(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
题型一 抛物线的定义及应用
例1 (1)(2025·东北三省精准教学联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，若抛物线上一点M满足|MF|＝2，∠OFM＝60°，则p等于( )
A.3B.4C.6D.8
(2)记抛物线E：y2＝4x的焦点为F，点A在E上，B(2，1)，则|AF|+|AB|的最小值为( )
A.2B.3C.4D.5
延伸探究 本例(2)中，点B坐标改为(2，3)，点A到准线的距离为d，求|AB|+d的最小值.
思维升华 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.
跟踪训练1 (1)(2024·贵阳模拟)抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离是10，则M到x轴的距离是( )
A.4B.6C.7D.9
(2)已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到直线l：x＝1的距离为d1，到直线x+y－4＝0的距离为d2，则d1+d2的最小值是( )
A.52B.522C.2D.2
题型二 抛物线的标准方程
例2 (1)若抛物线过点(3，－4)，则抛物线的标准方程为 .
(2)“米”是象形字，数学探究课上，某同学用抛物线C1：y2＝－2px(p>0)，C2：y2＝2px(p>0)构造了一个类似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线C1，C2的焦点分别为F1，F2，点P在抛物线C1上，过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q，若|PF1|＝2|PQ|＝8，则p等于( )
A.4B.6C.8D.12
思维升华 求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法.
(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.
跟踪训练2 (1)动点P到点A(0，2)的距离比它到直线l：y＝－4的距离小2，则动点P的轨迹方程为( )
A.y2＝4xB.y2＝8x
C.x2＝4yD.x2＝8y
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上且位于第一象限，AB⊥l于点B，若|AF|＝|BF|＝4，则抛物线C的标准方程为 .
题型三 抛物线的几何性质
例3 (1)若抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是( )
A.p1C.p2
(2)(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝8x过焦点的弦的两个端点，焦点为F，则( )
A.焦点F的坐标为(4，0)
B.|AB|＝x1+x2+4
C.y1y2＝－8
D.1|FA|+1|FB|＝12
思维升华 应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.
跟踪训练3 (1)(多选)对于抛物线18x2＝y，下列描述正确的是( )
A.开口向上，焦点为(0，2)
B.开口向上，焦点为0，116
C.焦点到准线的距离为4
D.准线方程为y＝－4
(2)(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1，2)，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则( )
A.p＝2B.|AB|≥4
C.OA·OB＝－4D.k1k2＝－4
答案精析
落实主干知识
1.相等 焦点 准线
2.p2，0 −p2，0 0，p2 0，−p2 x＝－p2 x＝p2
y＝－p2 y＝p2 x轴 y轴
(0，0) 1
自主诊断
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.AD [对于抛物线y2＝－2x，开口向左，焦点坐标为−12，0，准线方程为x＝12，对称轴为x轴，故AD正确.]
3.A [抛物线C：y2＝2px(p>0)，准线方程为x＝－p2，P(6，y0)，
由抛物线的定义可知
|PF|＝6+p2＝152，解得p＝3.]
4.52
解析 由题意22＝2p×2，解得
p＝1，所以抛物线的准线方程为
x＝－12，
故所求距离为2+12＝52.
探究核心题型
例1 (1)A [如图，过点M分别向x轴和准线作垂线，垂足分别为A，N，
根据抛物线定义，
有|MF|＝|MN|＝2，
所以p＝|MN|+|MF|·cs 60°＝3.]
(2)B [过点A作准线x＝－1的垂线，垂足为D，则|AF|＝|AD|，则|AF|+|AB|＝|AD|+|AB|≥3，如图所示，所以|AF|+|AB|的最小值为3.
]
延伸探究 解 令x＝2，y2＝80)或x2＝－2p1y(p1>0).
把点(3，－4)的坐标分别代入
y2＝2px和x2＝－2p1y中，
得(－4)2＝2p·3，
32＝－2p1·(－4)，
则2p＝163，2p1＝94.
∴所求抛物线的标准方程为
y2＝163x或x2＝－94y.
(2)D [方法一 如图，过点P作PM⊥F1F2于点M，
∵|PF1|
＝2|PQ|＝8，
∴|OM|＝2，
则xP＝－2，
又点P在抛物线C1：
y2＝－2px(p>0)上，
∴yP2＝4p，
则|PM|＝2p，
在Rt△PMF1中，|MF1|＝p2－2，
∵|PM|2+MF1|2＝PF1|2，
∴(2p)2+p2−22＝82，
∴p＝12(p＝－20舍去).
方法二 设P(x0，y0)，
则x01，即p>2.]
(2)BD [由抛物线y2＝8x，可得焦点为F(2，0)，故A错误；
由抛物线的性质可得|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+2+x2+2＝x1+x2+4，故B正确；
方法一 设直线AB的方程为x＝my+2，与抛物线的方程联立，可得y2－8my－16＝0，Δ>0，
则y1+y2＝8m，y1y2＝－16，
1|FA|+1|FB|＝1x1+2+1x2+2
＝1y128+2+1y228+2
＝8y12+16+8y22+16
＝8y12+8×16+8y22+8×16y12y22+16y12+16y22+162
＝8(y1+y2)2−16y1y2+162(y1y2)2+16(y1+y2)2−32y1y2+162
＝8×(8m)2+162+162162+16×(8m)2+32×16+162
＝12，故C错误，D正确.
方法二 因为p＝4，
所以y1y2＝－p2＝－16，
1|FA|+1|FB|＝2p＝12，故C错误，D正确.]
跟踪训练3 (1)AC [由抛物线18x2＝y，即x2＝8y，可知抛物线开口向上，焦点坐标为(0，2)，焦点到准线的距离为4，准线方程为y＝－2.]
(2)ABD [因为抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1，2)，
所以22＝2p，解得p＝2，故A正确；
所以抛物线方程为y2＝4x，
则焦点为F(1，0)，
设直线l：x＝my+1，
联立y2＝4x,x＝my+1,
消去x整理得y2－4my－4＝0，
则Δ＝16m2+16>0，
所以y1+y2＝4m，y1y2＝－4，
则x1+x2＝m(y1+y2)+2＝4m2+2，
x1x2＝(my1+1)(my2+1)
＝m2y1y2+m(y1+y2)+1＝1，
所以|AB|＝x1+x2+2
＝4m2+4≥4，故B正确；
因为OA＝(x1，y1)，OB＝(x2，y2)，
所以OA·OB＝x1x2+y1y2＝－3，故C错误；
由题意知，x1≠0且x2≠0，所以k1k2＝y1x1·y2x2＝－4，故D正确.]
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
图形
范围
x≥0，
y∈R
x≤0，
y∈R
y≥0，
x∈R
y≤0，
x∈R
焦点
准线
方程
对称
轴
顶点
离心
率
e＝