新高考数学一轮复习考点学案第8章§8.10圆锥曲线中的综合问题（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点学案第8章§8.10圆锥曲线中的综合问题（含答案解析），共18页。
题型一 求值与证明问题
例1 (2024·六盘水模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)过点M(3，4)，左、右顶点分别为A，B，直线MA与直线MB的斜率之和为3.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过双曲线右焦点F2的直线l交双曲线右支于P，Q(P在第一象限)两点，PF2＝3F2Q，E是双曲线上一点，△PQE的重心在x轴上，求点E的坐标.
思维升华 (1)求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解.
(2)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).
跟踪训练1 (2024·雅安模拟)设F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，椭圆的短轴长为2，M是直线x＝2上除(2，0)外的任意一点，且直线MF2的斜率与直线MF1的斜率之比为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过右焦点F2且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，设直线MA，MF2，MB的斜率分别为k1，k2，k3，证明：k1，k2，k3成等差数列.
题型二 定点与定值问题
例2 (2024·北京模拟)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的离心率为12，左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为F1，F2.过右焦点F2的直线l交椭圆于点M，N，且△F1MN的周长为16.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值.
思维升华 (1)求解直线或曲线过定点问题的基本思路
①把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.
②由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx+m，则直线必过定点(0，m).
(2)圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
①求代数式为定值.依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可求得.
②求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形即可求得.
③求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据题设条件对解析式进行化简、变形即可求得.
跟踪训练2 已知抛物线E：y2＝4x，点A，B，C，D都在抛物线E上.
(1)若点A与点C的纵坐标之和为2，求直线AC的斜率；
(2)若直线AC，BD均过定点(2，0)，且AC⊥BD，M，N分别为AC，BD的中点，证明：直线MN过定点.
题型三 范围与最值问题
例3 (2025·商洛模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，实轴的左、右顶点分别为A1，A2，虚轴的上、下顶点分别为B1，B2，且四边形A1B1A2B2的面积为23.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知直线l：y＝kx+m(km≠0)与双曲线C交于P，Q两点，若|B1P|＝|B1Q|，求实数m的取值范围.
思维升华 圆锥曲线中最值的求法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.
跟踪训练3 (2024·咸阳模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点(4，a)到其准线的距离为5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点(2，1)的直线与抛物线C交于A，B两点，与x轴交于点H(x0，0)，圆H：(x−x0)2+y2＝4与x轴交于点M，求△ABM面积的最小值.
答案精析
例1 解 (1)依题意双曲线的左、右顶点分别为A(－a，0)，B(a，0)，
所以kMA+kMB＝43+a+43−a＝249−a2＝3，
解得a2＝1，
将M(3，4)代入x2－y2b2＝1，
得9－16b2＝1，解得b2＝2，
故双曲线C的标准方程为
x2－y22＝1.
(2)易知F2(3，0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为
x＝ty+3，
将x＝ty+3代入x2－y22＝1，
整理得(2t2－1)y2+43ty+4＝0，
则2t2－1≠0，且Δ＝16(t2+1)>0，
则t2≠12，所以y1+y2＝−43t2t2−1，
y1y2＝42t2−1，
又由PF2＝3F2Q⇒y1＝－3y2，
代入上式得−2y2＝−43t2t2−1,−3y22＝42t2−1,
得t2＝111，－3y22＝42t2−1＝－449⇒y2＝－2339，
因为△PQE的重心在x轴上，
所以yE+y1+y2＝0，
所以yE＝2y2＝－4339，
代入双曲线的方程得
xE＝±3459，
故E−3459，−4339或
E3459，−4339.
跟踪训练1 (1)解 由已知得2b＝2，所以b＝1.
设M(2，y0)(y0≠0)，
F1(－c，0)，F2(c，0)，
则kMF2kMF1＝y02−c·2+cy0＝2+c2−c＝3，
所以c＝1，a＝b2+c2＝2，
所以椭圆C的方程为x22+y2＝1.
(2)证明 如图，设直线AB的方程为x＝my+1(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(2，t)(t≠0)，
由x22+y2＝1,x＝my+1,得
(m2+2)y2+2my－1＝0，
Δ＝8m2+8>0，
则y1+y2＝－2mm2+2，
y1y2＝－1m2+2，
k1+k3＝y1−tx1−2+y2−tx2−2＝y1−tmy1−1+y2−tmy2−1＝
(y1−t)(my2−1)+(y2−t)(my1−1)(my1−1)(my2−1)
＝2m−1m2+2−(mt+1)−2mm2+2+2tm2−1m2+2−m−2mm2+2+1
＝2t，
又k2＝t，所以k1+k3＝2k2.
所以k1，k2，k3成等差数列.
例2 (1)解 由△F1MN的周长为16，及椭圆的定义，
可知4a＝16，即a＝4，
又离心率为e＝ca＝12，所以c＝2，
b2＝a2－c2＝16－4＝12.
所以椭圆C的标准方程为
x216+y212＝1.
(2)证明 依题意，
直线l与x轴不重合，F2(2，0)，
设l的方程为x＝my+2.
联立x216+y212＝1,x＝my+2,
得(3m2+4)y2+12my－36＝0，
因为点F2在椭圆C内，所以Δ>0，
即(12m)2+4(3m2+4)×36>0，
易知该不等式恒成立，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由根与系数的关系，得
y1+y2＝−12m3m2+4，y1y2＝−363m2+4.
又A(－4，0)，B(4，0)，
则k1k2＝y1x1+4y2x2−4＝y1(x2−4)y2(x1+4)
＝y1(my2−2)y2(my1+6)＝my1y2−2y1my1y2+6y2，
又y1+y2y1y2＝−12m−36＝m3，
即my1y2＝3(y1+y2)，
故k1k2＝my1y2−2y1my1y2+6y2
＝3(y1+y2)−2y13(y1+y2)+6y2
＝y1+3y23y1+9y2＝13，为定值.
跟踪训练2 (1)解 设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则y1+y2＝2，
由y12＝4x1,y22＝4x2,
所以y12－y22＝4(x1－x2)，
即y1−y2x1−x2＝4y1+y2＝2，
所以直线AC的斜率为2.
(2)证明 由题意可知直线AC，BD的斜率均存在，设直线AC的方程为x＝my+2(m≠0)，A(x1，y1)，
C(x2，y2)，
则由x＝my+2,y2＝4x,
得y2－4my－8＝0，
Δ＝16m2+32>0，则y1+y2＝4m，
设线段AC的中点M的坐标为(xM，yM)，
则yM＝y1+y22＝2m，
xM＝myM+2＝2m2+2，
所以M(2m2+2，2m)，
同理N2+2m2，−2m，
①当m＝±1时，M，N两点的坐标为(4，2)和(4，－2)，直线MN的方程为x＝4；
②当m≠±1时，直线MN的斜率为kMN＝2m+2m2m2−2m2＝1m−1m
＝mm2−1，
则直线MN的方程为
y－2m＝mm2−1(x－2m2－2)，
即y＝mm2−1x－4mm2−1
＝mm2−1(x－4)，
所以直线MN过定点(4，0)，
综合①②可知直线MN过定点(4，0).
例3 解 (1)由双曲线的几何性质可知，四边形A1B1A2B2是菱形，
且|A1A2|＝2a，|B1B2|＝2b，
∴四边形A1B1A2B2的面积为
12×2a×2b＝23，①
又离心率为e＝ca＝2，②
a2+b2＝c2，③
联立①②③可得a＝1，b＝3，c＝2，
∴双曲线C的标准方程为
x2－y23＝1.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，B1(0，3)，
线段PQ的中点为M(x0，y0)，
联立x2−y23＝1,y＝kx+m,
消去y整理可得
(k2－3)x2+2kmx+m2+3＝0，
∴k2−3≠0,Δ＝4k2m2−4(k2−3)(m2+3)>0,
即m2－k2+3>0且k≠±3，④
∴x1+x2＝2km3−k2，x1x2＝m2+3k2−3.
∴x0＝km3−k2，
y0＝kx0+m＝3m3−k2.
∵|B1P|＝|B1Q|，∴B1M⊥PQ.
∴kB1M＝y0−3x0＝3m3−k2−3km3−k2
＝－1k，
∴3－k2＝433m，⑤
又k2＝3－433m>0，⑥
由④⑤⑥得m