新高考数学一轮复习教案第8章第7节 直线与圆锥曲线的位置关系（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习教案第8章第7节 直线与圆锥曲线的位置关系（含解析），共18页。
1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养；
2．了解圆锥曲线的简单应用，凸显数学抽象、数学运算的核心素养．
3．通过学习直线与圆锥曲线的位置关系，凸显直观想象的核心素养．
[理清主干知识]
1．直线与圆锥曲线的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线C：F(x，y)＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0))消去y得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l与圆锥曲线C有两个公共点；
Δ＝0⇔直线l与圆锥曲线C有一个公共点；
Δ＜0⇔直线l与圆锥曲线C有零个公共点．
(2)当a＝0，b≠0时，圆锥曲线C为抛物线或双曲线．
当C为双曲线时，l与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个．
当C为抛物线时，l与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个．
2．圆锥曲线的弦长公式
设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(y1＋y22－4y1y2).
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(直线与圆锥曲线的位置关系)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．故选C.
2．(弦长公式)过抛物线y＝eq \f(1,4)x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
题中的抛物线x2＝4y的焦点坐标是F(0,1)，
直线AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)x＋1，
即x＝eq \r(3)(y－1)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝4y，,x＝\r(3)y－1，))
消去x得3(y－1)2＝4y，
即3y2－10y＋3＝0，y1＋y2＝eq \f(10,3)，
|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝y1＋y2＋2＝eq \f(16,3).
答案：eq \f(16,3)
二、易错点练清
1．(忽视相切与交点个数的关系)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点．故选A.
2．(忽略直线过定点)直线y＝kx－k＋1与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的位置关系为( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：选A 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．故选A.
考点一 直线与圆锥曲线的位置关系
[典例] (1)过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )
A．有且只有一条 B．有且只有两条
C．有且只有三条 D．有且只有四条
(2)若直线y＝kx＋1与椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5，＋∞)
[解析] (1)设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋eq \f(p,2)＋xB＋eq \f(p,2)＝xA＋xB＋1＝3>2p＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．
(2)由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则02，所以e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)>eq \r(1＋4)＝eq \r(5).
考点二 弦长问题
[典例] 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点P(2,1)，且离心率e＝eq \f(\r(3),2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l的斜率为eq \f(1,2)，直线l与椭圆C交于A，B两点．求△PAB面积的最大值．
[解] (1)∵e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(3,4)，∴a2＝4b2.
又椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点P(2,1)，
∴eq \f(4,a2)＋eq \f(1,b2)＝1，∴a2＝8，b2＝2.
故所求椭圆方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1.
(2)设l的方程为y＝eq \f(1,2)x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,2)x＋m，,\f(x2,8)＋\f(y2,2)＝1，))整理得x2＋2mx＋2m2－4＝0.
∵Δ＝4m2－8m2＋16>0，解得|m|0)的焦点，与C交于A，B两点，且|AB|＝eq \f(16,3)，则p＝( )
A.eq \f(1,2) B．1
C．2 D．4
解析：选C 因为斜率为eq \r(3)的直线过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，所以直线方程为y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px))得3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))2＝2px，
整理得3x2－5px＋eq \f(3,4)p2＝0，
所以x1＋x2＝eq \f(5p,3)，因此eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝x1＋x2＋p＝eq \f(8p,3)，
又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝eq \f(16,3)，所以eq \f(8p,3)＝eq \f(16,3)，解得p＝2.
3．(2020·新高考全国卷Ⅰ)斜率为eq \r(3)的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：由题意得直线方程为y＝eq \r(3)(x－1)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)x－1，,y2＝4x，))得3x2－10x＋3＝0，∴xA＋xB＝eq \f(10,3)，
∴|AB|＝1＋xA＋1＋xB＝2＋eq \f(10,3)＝eq \f(16,3).
答案：eq \f(16,3)
考点三 中点弦问题
[典例] 已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,2)，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上，且△ABC面积的最大值为2eq \r(3).
(1)求椭圆E的方程；
(2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝－4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD平分线段MN.
[解] (1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(e＝\f(c,a)＝\f(1,2)，,ab＝2\r(3)，,a2＝b2＋c2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝\r(3)，))
故椭圆E的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(－4，n)，
线段MN的中点P(x0，y0)，则2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2，由(1)可得F(－1,0)，
则直线DF的斜率为kDF＝eq \f(n－0,－4－－1)＝－eq \f(n,3)，
当n＝0时，直线MN的斜率不存在，
根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN.
当n≠0时，直线MN的斜率kMN＝eq \f(3,n)＝eq \f(y1－y2,x1－x2).
∵点M，N在椭圆E上，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),4)＋\f(y\\al(2,1),3)＝1，,\f(x\\al(2,2),4)＋\f(y\\al(2,2),3)＝1，))
整理得：eq \f(x1＋x2x1－x2,4)＋eq \f(y1＋y2y1－y2,3)＝0，
又2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2，
∴eq \f(y0,x0)＝－eq \f(n,4)，直线OP的斜率为kOP＝－eq \f(n,4)，
∵直线OD的斜率为kOD＝－eq \f(n,4)，
∴直线OD平分线段MN.
[方法技巧]
1．“点差法”的4步骤
处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：
2．“点差法”的常见结论
设AB为圆锥曲线的弦，点P为弦AB的中点：
(1)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中的中点弦问题：kAB·kOP＝－eq \f(b2,a2)；
(2)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)中的中点弦问题：kAB·kOP＝eq \f(b2,a2)；
(3)抛物线y2＝2px(p＞0)中的中点弦问题：kAB＝eq \f(p,y0)(y0为中点P的纵坐标)．
[针对训练]
1．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(5),5)
解析：选C 设直线x－y＋5＝0与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直线AB的斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝1.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))两式相减得，eq \f(x1＋x2x1－x2,a2)＋eq \f(y1＋y2y1－y2,b2)＝0，所以eq \f(y1－y2,x1－x2)＝ －eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，于是椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(3),2).故选C.
2．在椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1中，以点M(1,2)为中点的弦所在直线方程为______________．
解析：设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
代入椭圆方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),16)＋\f(y\\al(2,1),9)＝1，,\f(x\\al(2,2),16)＋\f(y\\al(2,2),9)＝1，))
两式相减得eq \f(x1＋x2x1－x2,16)＋eq \f(y1＋y2y1－y2,9)＝0，
所以eq \f(x1＋x2x1－x2,16)＝－eq \f(y1＋y2y1－y2,9)，
即－eq \f(9x1＋x2,16y1＋y2)＝eq \f(y1－y2,x1－x2)，
因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，所以eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(9,32)，
故该直线方程为y－2＝－eq \f(9,32)(x－1)，
即9x＋32y－73＝0.
答案：9x＋32y－73＝0
3．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，且左焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N，线段MN的中点记为A，且线段MN的垂直平分线过定点Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，0))，求k的取值范围．
解：(1)设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，
∵抛物线y2＝－4x的焦点坐标为(－1,0)，
∴椭圆的左焦点F1的坐标为(－1,0)，∴c＝1，
又∵椭圆过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，
∴2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，
∴a＝2，∴b＝eq \r(3).
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x，y)．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),4)＋\f(y\\al(2,1),3)＝1，,\f(x\\al(2,2),4)＋\f(y\\al(2,2),3)＝1，))两式相减得eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(2,2),4)＝－eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),3)，
即eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(3,4)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)，
∴k＝－eq \f(3,4)·eq \f(2x,2y)，
∴点A的坐标满足方程y＝－eq \f(3,4k)x.①
又∵AG⊥MN，且直线AG过点Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，0))，
∴线段MN的垂直平分线AG：y＝－eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,8))).②
联立①②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\f(3,4k)x，,y＝－\f(1,k)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,8)))，))
解得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,8k))).
∵点A在椭圆内部，∴eq \f(1,16)＋eq \f(3,64k2)eq \f(1,20)，∴k>eq \f(\r(5),10)或k0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
结论1：x1·x2＝eq \f(p2,4).
结论2：y1·y2＝－p2.
结论3：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α是直线AB的倾斜角)．
结论4：eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点)．
应用(一) 利用结论3或4解决问题
[例1] 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A．4 B.eq \f(9,2)
C．5 D．6
[解析] 法一：由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图．
设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，
设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，
则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cs θ＝eq \f(|AE|,|AB|)＝eq \f(1,3)，所以tan θ＝2eq \r(2).则sin2θ＝8cs2θ，所以sin2θ＝eq \f(8,9).又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)＝eq \f(9,2).
法二：因为|AF|＝2|BF|，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,2|BF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(3,2|BF|)＝eq \f(2,p)＝1，解得|BF|＝eq \f(3,2)，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(9,2).
[答案] B
应用(二) 利用结论3解决问题
[例2] 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.eq \f(3\r(3),4) B.eq \f(9\r(3),8) C.eq \f(63,32) D.eq \f(9,4)
[解析] 由2p＝3，及|AB|＝eq \f(2p,sin2α)，
得|AB|＝eq \f(2p,sin2α)＝eq \f(3,sin230°)＝12.
原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝eq \f(3,8)，
故S△AOB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×12×eq \f(3,8)＝eq \f(9,4).
[答案] D
应用(三) 利用结论1或4解决问题
[例3] 如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A．5 B．6
C.eq \f(16,3) D．eq \f(20,3)
[解析] 法一：过A作l的垂线交l于点D，设l与x轴交于点E，由于F为AC的中点，所以EF为△ACD的中位线，所以p＝eq \f(1,2)|AD|＝eq \f(1,2)|AF|＝2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝eq \f(p2,4)＝1，所以x2＝eq \f(1,3)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋eq \f(1,3)＋2＝eq \f(16,3).
法二：过A作l的垂线交l于点D，设l与x轴的交点为E，由于F为AC的中点，所以EF为△ACD的中位线，
所以p＝eq \f(1,2)|AD|＝eq \f(1,2)|AF|＝2.
因为eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)，|AF|＝4，所以|BF|＝eq \f(4,3)，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋eq \f(4,3)＝eq \f(16,3).
[答案] C
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、综合练——练思维敏锐度
1．直线y＝eq \f(b,a)x＋3与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的交点个数是( )
A．1 B．2
C．1或2 D．0
解析：选A 因为直线y＝eq \f(b,a)x＋3与双曲线的渐近线y＝eq \f(b,a)x平行，所以它与双曲线只有1个交点．
2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为eq \f(10,3)，则|AB|＝( )
A.eq \f(13,3) B．eq \f(14,3)
C．5 D．eq \f(16,3)
解析：选D 过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|＝p＋x1＋x2.∵p＝2，∴|AB|＝2＋eq \f(10,3)＝eq \f(16,3).
3．(2021·佛山模拟)过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为( )
A．2 B．eq \f(3,2)
C.eq \r(3) D．eq \r(2)
解析：选D ∵过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，∴根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线y＝eq \f(b,a)x平行，∴eq \f(b,a)＝1，由e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(2).
4．已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为( )
A．y＝x－1 B．y＝－2x＋5
C．y＝－x＋3 D．y＝2x－3
解析：选D 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1，①,y\\al(2,2)＝4x2， ②))①－②得yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝4(x1－x2)，由题可知x1≠x2.∴eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2)＝eq \f(4,2)＝2，即kAB＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.故选D.
5．(多选)设椭圆的方程为eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．下列结论正确的是( )
A．直线AB与OM垂直
B．若点M坐标为(1,1)，则直线方程为2x＋y－3＝0
C．若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(4,3)))
D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝eq \f(4\r(2),3)
解析：选BD 对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质kAB·kOM＝－eq \f(4,2)＝ －2≠－1，所以A项不正确；对于B项，根据kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，
所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B项正确；
对于C项，若直线方程为y＝x＋1，点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(4,3)))，则kAB·kOM＝1·4＝4≠－2，所以C项不正确；
对于D项，若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1联立，得到2x2＋(x＋2)2－4＝0，整理得：3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－eq \f(4,3)，所以|AB|＝eq \r(1＋12)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)－0))＝eq \f(4\r(2),3)，所以D项正确．
6.如图，过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若eq \f(1,3)