新高考数学一轮复习考点学案第8章§8.4直线与圆的位置关系（含答案解析）

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1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
2.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝ .
(2)代数法：设直线y＝kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝ .
3.直线与圆相切
圆C的圆心为C，半径为r，切线为l，切点为P，则|CP|＝r，CP⊥l.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)过点P有两条与圆C相切的直线.( )
(2)过任意一点作直线与圆相交，且弦长等于半径，这样的直线有两条.( )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切.( )
(4)在圆中最长的弦是直径.( )
2.直线3x+4y＝5与圆x2+y2＝16的位置关系是( )
A.相交且直线经过圆心
B.相切
C.相离
D.相交且直线不经过圆心
3.直线2x－y+1＝0与圆x2+y2＝2交于A，B两点，则弦AB的长度为( )
A.425B.655C.225D.355
4.若点A(0，1)在圆C：(x－1)2+y2＝r2(r>0)上，则过点A的圆的切线方程为 .
牢记三个相关结论
(1)过圆x2+y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x+y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2+(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2+y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x+y0y＝r2.
题型一 直线与圆位置关系的判断
例1 已知直线l：y＝kx+1与圆C：(x+1)2+y2＝r2(r>0)，则“∀k∈R，直线l与圆C有公共点”是“r>2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系判断.
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
跟踪训练1 (多选)已知圆C：(x－2)2+y2＝16，直线l：mx+y－3m－1＝0，则下列结论中正确的是( )
A.直线l恒过定点(3，1)
B.直线l与圆C相切
C.直线l与圆C相交
D.直线l与圆C相离
题型二 直线与圆的弦长问题
例2 (1)(2025·赣州模拟)若圆C的圆心为C(3，1)，y轴被圆C截得的弦长为8，则圆C的一般方程为( )
A.x2+y2－6x+2y－15＝0
B.x2+y2－6x+2y－7＝0
C.x2+y2－6x－2y－15＝0
D.x2+y2－6x－2y－7＝0
(2)一条直线经过点M−3，−32，被圆x2+y2＝25截得的弦长等于8，则这条直线的方程为( )
A.x＝－3或3x+6y+5＝0
B.x＝－3或y＝－32
C.3x+6y+5＝0
D.x＝－3或3x+4y+15＝0
思维升华 弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长.
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2r2−d2.
跟踪训练2 (2025·江西省重点中学盟校联考)已知直线l过点P(1，－1)，且与圆C：x2+y2－6x+6y＝0交于A，B两点，则线段AB的长度的取值范围是( )
A.10，32B.210，62
C.42，210D.10，62
题型三 直线与圆的切线问题
例3 (多选)过点A(4，－3)作圆(x－3)2+(y－1)2＝1的切线，所得切线方程为( )
A.x＝4B.15x+8y－36＝0
C.y＝－3D.8x－15y－3＝0
思维升华 当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况.
跟踪训练3 在平面直角坐标系中，已知圆C：(x－1)2+y2＝4，若直线l：x+y+m＝0上有且只有一个点P满足：过点P作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为( )
A.1B.22
C.3D.7
题型四 直线与圆位置关系中的最值问题
例4 已知P是直线3x+4y+8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2+y2－2x－2y+1＝0的两条切线，A，B是切点，则四边形PACB面积的最小值为 .
思维升华 涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.
跟踪训练4 (2024·邵阳模拟)已知直线l：x－y－2＝0与圆O：x2+y2＝1，过直线l上的任意一点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，则∠APB的最大值为( )
A.3π4B.2π3
C.π2D.π6
答案精析
落实主干知识
1.< ＝ > > ＝ 0)的圆心为C(－1，0)，半径为r，
当∀k∈R，直线l与圆C有公共点时，|1−k1+k2≤r恒成立，
即(r2－1)k2+2k+r2－1≥0恒成立，
则r2－1>0且Δ＝4－4(r2−1)2≤0，
解得r2－1≥1，即r≥2或r≤－2(舍去)，
所以“∀k∈R，直线l与圆C有公共点”是“r>2”的必要不充分条件.
方法二 直线l恒过定点P(0，1)，要使对任意直线l与圆C有公共点，只需点P(0，1)在圆内或圆上即可，
即(0+1)2+12≤r2，即r≥2，
所以“∀k∈R，直线l与圆C有公共点”是“r>2”的必要不充分条件.]
跟踪训练1 AC [圆C：(x－2)2+y2＝16的圆心C(2，0)，半径r＝4，直线l：m(x－3)+y－1＝0恒过定点(3，1)，显然(3−2)2+12＝21，
可知直线l与圆O相离，
因为∠APB∈(0，π)，
所以∠APO＝12∠APB∈0，π2，
且sin∠APO＝|OA||OP|＝1|OP|，
当|OP|最小时，
sin∠APO最大，
可得∠APO最大，
即∠APB最大，
又因为|OP|的最小值即为圆心O到直线l的距离为2，
此时sin∠APO＝22，∠APO＝π4，
所以∠APB的最大值为π2.]
相离
相切
相交
图形
量
化
方程
观点
Δ 0
Δ 0
Δ 0
几何
观点
d r
d r
d r