新高考数学一轮复习考点学案第8章§8.2两条直线的位置关系（含答案解析）

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1.两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x+b1，l2：y＝k2x+b2，l3：A1x+B1y+C1＝0，l4：A2x+B2y+C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).
②结论：|P1P2|＝ .
③特例：点P(x，y)到原点O(0，0)的距离|OP|＝ .
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C＝0的距离d＝ .
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax+By+C1＝0与l2：Ax+By+C2＝0间的距离d＝ .
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( )
(2)若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )
(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )
(4)若点A，B关于直线l：y＝kx+b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－1k，且线段AB的中点在直线l上.( )
2.(2025·福州模拟)若直线l1：ax+2y－1＝0与直线l2：(a－1)x－y－12＝0垂直，则实数a的值是( )
A.－1或2 B.－1C.2D.23
3.两条平行直线x+y+4＝0与2x+2y+3＝0间的距离为( )
A.28B.22C.324D.524
4.过直线x+y+1＝0和3x－y－3＝0的交点，且倾斜角为45°的直线方程为 .
谨防四个易误点
(1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况.
(2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.
(3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.
(4)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.
题型一 两条直线的平行与垂直
例1 (1)已知直线l1：ax+y－2＝0，l2：2x+(a+1)y+2＝0，l3：－2bx+y+1＝0，a，b∈R，若l1∥l2，l1⊥l3，则b等于( )
A.－12或14 B.12C.12或－14 D.14
(2)(2025·许昌模拟)已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(3，－2)，C(5，1)，D(2，3)，则四边形ABCD的形状是( )
A.平行四边形B.正方形
C.菱形D.矩形
思维升华 判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况.
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.
跟踪训练1 (1)已知直线l1：a2x－y+a2－3a＝0，l2：(4a－3)x－y－2＝0，若l1∥l2，则a等于( )
A.1B.1或2C.1或3D.3
(2)(多选)△ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是( )
A.边BC与直线3x－2y+1＝0平行
B.边BC上的高所在的直线方程为3x+2y－12＝0
C.过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x+y－13＝0
D.过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5)
题型二 两直线的交点与距离问题
例2 (1)(2024·南阳质检)点P为直线2x－3y+1＝0和x+y－2＝0的交点，则点P到直线l：kx－y+k+2＝0的最大距离为( )
A.55B.5C.655D.5
(2)(2024·武汉模拟)若两条平行直线l1：x－2y+m＝0(m>0)与l2：2x+ny－8＝0之间的距离是25，则m－n＝ .
思维升华 利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
(2)使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等.
跟踪训练2 (1)过两条直线l1：x+2y－4＝0，l2：2x－y－3＝0的交点，且与直线x+3y+1＝0垂直的直线的方程为( )
A.3x－y－5＝0B.6x－2y－3＝0
C.x－3y+3＝0D.3x+y－7＝0
(2)(多选)(2024·九江模拟)已知两条平行直线l1：x+3y+1＝0，l2：x+3y－3＝0.若直线l被l1，l2截得的线段长为22，则直线l的倾斜角可能是( )
A.15°B.75°
C.105°D.165°
直线系方程
常见的直线系方程
(1)与直线Ax+By+C＝0（A，B不同时为0)平行的直线系方程为Ax+By+C1＝0（C1≠C).
(2)与直线Ax+By+C＝0（A，B不同时为0)垂直的直线系方程为Bx－Ay+C2＝0.
(3)过直线l1：A1x+B1y+C1＝0与l2：A2x+B2y+C2＝0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2)＝0，λ∈R，但不包括直线l2.
典例 过两直线l1：x－3y+4＝0和l2：2x+y+5＝0的交点和原点的直线方程为（ )
A.3x－19y＝0B.19x－3y＝0
C.19x+3y＝0D.3x+19y＝0
题型三 对称问题
例3 已知直线l：2x－3y+1＝0，点A(－1，－2).求：
(1)点A关于直线l的对称点A'的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m'的方程；
(3)直线l关于点A的对称直线l'的方程.
思维升华 对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.
跟踪训练3 (1)直线3x－2y＝0关于点13，0对称的直线方程为( )
A.2x－3y＝0B.3x－2y－2＝0
C.x－y＝0D.2x－3y－2＝0
(2)设直线l1：x－2y－2＝0与l2关于直线l：2x－y－4＝0对称，则直线l2的方程是( )
A.11x+2y－22＝0B.11x+y+22＝0
C.5x+y－11＝0D.10x+y－22＝0
答案精析
落实主干知识
1.k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0) k1·k2＝－1 A1A2+B1B2＝0 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
2.(1)②(x2−x1)2+(y2−y1)2
③x2+y2 (2)Ax0+By0+CA2+B2
(3)|C1−C2|A2+B2
自主诊断
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.A [直线l1：ax+2y－1＝0与直线l2：(a－1)x－y－12＝0垂直，则有a(a－1)－2＝0，
解得a＝－1或a＝2.]
3.D [因为直线x+y+4＝0，
即2x+2y+8＝0，
原问题转化为求两条平行直线2x+2y+8＝0与2x+2y+3＝0间的距离，
由两条平行直线间的距离公式可得d＝|8−3|22+22＝522＝524.]
4.x－y－2＝0
解析 联立x+y+1＝0,3x−y−3＝0,
可得x＝12,y＝−32,
故交点为12，−32，又倾斜角为45°，所以斜率为1，故直线方程为
y+32＝x－12，即x－y－2＝0.
探究核心题型
例1 (1)B [已知直线l1：ax+y－2＝0，l2：2x+(a+1)y+2＝0，l3：－2bx+y+1＝0，a，b∈R，
由l1∥l2，得a(a+1)－2＝0，
解得a＝－2或a＝1，
当a＝－2时，l1：－2x+y－2＝0，即2x－y+2＝0，l2：2x－y+2＝0，所以l1与l2重合，不符合题意；
当a＝1时，l1：x+y－2＝0，l2：2x+2y+2＝0，即x+y+1＝0，所以l1∥l2.
故a＝1，
由l1⊥l3，得－2b+1＝0，故b＝12.]
(2)B [因为kAB＝－23，kBC＝32，
kCD＝－23，kAD＝32，
所以kAB＝kCD，kBC＝kAD，
所以AB∥CD，BC∥AD，
所以四边形ABCD是平行四边形，
又kABkAD＝－1，则AB⊥AD，
所以四边形ABCD是矩形，
又|AB|＝32+(−2)2＝13，
|BC|＝(3−5)2+(−2−1)2＝13，即|AB|＝|BC|，
所以四边形ABCD是正方形.]
跟踪训练1 (1)D [直线l1：a2x－y+a2－3a＝0，l2：(4a－3)x－y－2＝0，可化为
l1：y＝a2x+a2－3a，
l2：y＝(4a－3)x－2，
因为l1∥l2，
所以a2＝4a−3,a2−3a≠−2,解得a＝3.]
(2)BD [直线BC的斜率为
k＝7−36−0＝23，而直线3x－2y+1＝0的斜率为32，两直线不平行，
A错误；
边BC上的高所在直线斜率为－32，直线方程为y＝－32(x－4)，即3x+2y－12＝0，B正确；
过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为x+y－13＝0，过原点时方程为7x－6y＝0，C错误；
过点A且平分△ABC面积的直线过边BC的中点，中点坐标为(3，5)，D正确.]
例2 (1)B [由2x−3y+1＝0,x+y−2＝0,
得x＝1,y＝1,即P(1，1)，
直线l：k(x+1)+2－y＝0，
所以直线l过定点A(－1，2)，
所以当直线AP与直线l垂直时，点P到直线l的距离最大，
且最大值为|AP|＝
(1+1)2+(1−2)2＝5.]
(2)10
解析 由题意可得12＝－2n，
解得n＝－4，
此时l1的方程为x－2y+m＝0，
l2的方程为x－2y－4＝0，
则25＝m−(−4)|12+(−2)2，
即|m+4|＝10，
解得m＝6或m＝－14，
又m>0，所以m＝6，
故m－n＝10.
跟踪训练2 (1)A
[由x+2y−4＝0,2x−y−3＝0,得x＝2,y＝1,
设与直线x+3y+1＝0垂直的直线的方程为3x－y+m＝0，
则3×2－1+m＝0，得m＝－5，
所以所求直线方程为3x－y－5＝0.]
(2)AC [∵直线l被l1，l2截得的线段长为22，
两平行直线的距离
d＝|1−(−3)|12+(3)2＝2，
∴直线l和l1，l2的夹角为45°，
又直线l1，l2的倾斜角为150°，
∴直线l的倾斜角可能是15°或105°.]
微拓展
典例 D [设过两直线交点的直线系方程为
x－3y+4+λ(2x+y+5)＝0，
代入原点坐标，得4+5λ＝0，解得λ＝－45，
故所求直线方程为x－3y+4－45(2x+y+5)＝0，即3x+19y＝0.]
例3 解 (1)设A'(x，y)，
由已知条件得
y+2x+1×23＝−1,2×x−12−3×y−22+1＝0,
解得x＝−3313,y＝413.
所以A'−3313，413.
(2)在直线m上取一点，
如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M'必在直线m'上.
设对称点M'(a，b)，则
2×a+22−3×b+02+1＝0,b−0a−2×23＝−1,
得M'613，3013.
设直线m与直线l的交点为Q，
由2x−3y+1＝0,3x−2y−6＝0,
得Q(4，3).
又m'经过点Q(4，3)，
所以直线m'的方程为
y−33013−3＝x−4613−4，
即9x－46y+102＝0.
(3)方法一 在l：2x－3y+1＝0上任取两点，
如P(1，1)，Q(4，3)，
则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P'，Q'均在直线l'上，
易得P'(－3，－5)，Q'(－6，－7)，
所以l'的方程为y+5−7+5＝x+3−6+3，即2x－3y－9＝0.
方法二 因为l∥l'，
所以设l'的方程为2x－3y+C＝0(C≠1).
因为点A(－1，－2)到两直线l，l'的距离相等，
所以由点到直线的距离公式，
得|−2+6+C22+(−3)2＝|−2+6+1|22+(−3)2，得C＝－9，
所以l'的方程为2x－3y－9＝0.
跟踪训练3 (1)B [方法一 设所求直线上任一点为(x，y)，则其关于点13，0对称的点为23−x，−y，
因为点23−x，−y在直线
3x－2y＝0上，
所以323−x－2(－y)＝0，
化简得3x－2y－2＝0，
所以所求直线方程为3x－2y－2＝0.
方法二 在直线3x－2y＝0上任取两点O(0，0)，M(2，3)，
设点O，M关于点13，0的对称点分别为O'，M'，
则O'23，0，M'−43，−3，
所以所求直线方程为
y−(−3)0−(−3)＝x−−4323−−43，
即3x－2y－2＝0.]
(2)A [联立x−2y−2＝0,2x−y−4＝0,
得x＝2,y＝0,
取直线l1：x－2y－2＝0上一点(0，－1)，设点(0，－1)关于直线l：2x－y－4＝0的对称点为(a，b)，
则b+1a＝−12,2×a2−b−12−4＝0,
解得a＝125,b＝−115,
直线l2的斜率k＝−115−0125−2＝－112，
所以直线l2的方程为
y＝－112(x－2)，
整理为11x+2y－22＝0.]
位置
关系
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
垂直
相交