新高考数学一轮复习学案 第8章 §8.2　两条直线的位置关系（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习学案 第8章 §8.2　两条直线的位置关系（含解析），共13页。学案主要包含了两条直线的平行与垂直，两条直线的交点坐标，三种距离公式等内容，欢迎下载使用。


一、两条直线的平行与垂直
1．两条直线平行
(1)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
(2)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
2．两条直线垂直
(1)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
(2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
二、两条直线的交点坐标
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
三、三种距离公式
1．两点间的距离公式
(1)条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
(2)结论：|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(3)特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
2．点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
3．两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
微思考
1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1不同时为0；A2，B2不同时为0)，则l1∥l2的充要条件是什么，l1⊥l2的充要条件是什么？
提示 l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，且B1C2≠B2C1(或A1C2≠A2C1)；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
2．点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点的坐标是什么？
提示 (2a－x0,2b－y0)．
3．点P(x1，y1)，Q(x2，y2)关于直线y＝kx＋b(k≠0)对称，列出P，Q坐标的关系式．
提示 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y2－y1,x2－x1)·k＝－1，,\f(y1＋y2,2)＝k·\f(x1＋x2,2)＋b.))
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( × )
(2)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.( √ )
(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq \f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).( × )
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ )
题组二 教材改编
2．已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
答案 1
解析 由题意知eq \f(m－4,－2－m)＝1，
所以m－4＝－2－m，
所以m＝1.
3．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
答案 －9
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x，,x＋y＝3，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2.))
所以点(1,2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.
4．两平行直线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之间的距离为________．
答案 eq \f(2\r(13),13)
解析 因为l1∥l2，所以由两条平行直线间的距离公式得d＝eq \f(|－8－－10|,\r(22＋32))＝eq \f(2\r(13),13).
题组三 易错自纠
5．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于( )
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
答案 C
解析 直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有eq \f(2,m)＝eq \f(m＋1,3)≠eq \f(4,－2)(m≠0)，故m＝2或－3.故选C.
6．(多选)等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，若点A的坐标为(0,4)，则点B的坐标可能是( )
A．(2,0) B．(0,2)
C．(4,6) D．(6,4)
答案 AC
解析 设B(x，y)，根据题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kAC·kBC＝－1，,|BC|＝|AC|，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3－4,3－0)·\f(y－3,x－3)＝－1，,\r(x－32＋y－32)＝\r(0－32＋4－32)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝6，))所以B(2,0)或B(4,6)．
故选AC.
题型一 两条直线的平行与垂直
1．已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于( )
A．－1 B．2
C．0或－2 D．－1或2
答案 D
解析 方法一 ∵直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0的斜率存在．
又∵l1∥l2，∴eq \f(a－1,－2)＝－eq \f(1,a)，
∴a＝－1或a＝2，又两条直线在y轴上的截距不相等．
∴a＝－1或a＝2时满足两条直线平行．
方法二 由A1B2－A2B1＝0得，(a－1)a－1×2＝0，
解得a＝－1或a＝2.
由A1C2－A2C1≠0，得(a－1)×3－1×1≠0.
所以a＝－1或a＝2.
2．若直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c等于( )
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
答案 B
解析 由已知得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,4)))×eq \f(2,5)＝－1，a＋4c－2＝0,2－5c＋b＝0，解得a＝10，c＝－2，b＝－12.∴a＋b＋c＝－4.
3．经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是( )
A．6x－4y－3＝0 B．3x－2y－3＝0
C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0
答案 A
解析 因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，直线3x－2y＋5＝0的斜率为eq \f(3,2)，所以所求直线l的方程为y＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，化为一般式，得6x－4y－3＝0.
4．已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3)，\f(4,3)))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，－\f(2,3))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))
答案 D
解析 由题意得直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点．当直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0分别平行时，m＝eq \f(2,3)或－eq \f(4,3)；当直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，m＝－eq \f(2,3).所以实数m的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(2,3)，\f(2,3))).
思维升华 (1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
题型二 两直线的交点与距离问题
1．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－eq \f(1,2)x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,6)，\f(1,2)))
解析 由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2k＋1，,y＝－\f(1,2)x＋2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2－4k,2k＋1)，,y＝\f(6k＋1,2k＋1).))
(若2k＋1＝0，即k＝－eq \f(1,2)，则两直线平行)
∴交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2－4k,2k＋1)，\f(6k＋1,2k＋1))).
又∵交点位于第一象限，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2－4k,2k＋1)>0，,\f(6k＋1,2k＋1)>0，))
解得－eq \f(1,6)2．求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程为________________．
答案 5x＋3y－1＝0
解析 先解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))
得l1，l2的交点坐标为(－1,2)，
再由l3的斜率为eq \f(3,5)求出l的斜率为－eq \f(5,3)，
于是由直线的点斜式方程求出l：
y－2＝－eq \f(5,3)(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.
3．(2020·广州模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．
答案 [0,10]
解析 由题意得，点P到直线的距离为eq \f(|4×4－3×a－1|,5)＝eq \f(|15－3a|,5).
又eq \f(|15－3a|,5)≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，
所以a的取值范围是[0,10]．
4．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．
答案 eq \f(29,10)
解析 因为eq \f(3,6)＝eq \f(4,8)≠eq \f(－12,5)，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即eq \f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq \f(29,10)，所以|PQ|的最小值为eq \f(29,10).
思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法
先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．
题型三 对称问题
命题点1 中心对称
例1 (1)直线x－2y－3＝0关于定点M(－2,1)对称的直线方程是________________．
答案 x－2y＋11＝0
解析 设所求直线上任一点(x，y)，则关于M(－2,1)的对称点(－4－x,2－y)在已知直线上，∴所求直线方程为(－4－x)－2(2－y)－3＝0，即x－2y＋11＝0.
(2)过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
答案 x＋4y－4＝0
解析 设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
命题点2 轴对称
例2 (1)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________．
答案 6x－y－6＝0
解析 设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b－4,a－－3)·1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))
解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2,6)，
所以所求直线的方程为eq \f(y－0,6－0)＝eq \f(x－1,2－1)，即6x－y－6＝0.
(2)直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是______________．
答案 x－2y＋3＝0
解析 设所求直线上任意一点P(x，y)，
则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,x－x0＝－y－y0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝y－2，,y0＝x＋2，))
∵点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，
即x－2y＋3＝0.
思维升华 (1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)几个常用结论
①点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
②点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
③点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
跟踪训练1 (1)(2020·宝鸡模拟)光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有( )
A．a＝eq \f(1,3)，b＝6 B．a＝－3，b＝eq \f(1,6)
C．a＝3，b＝－eq \f(1,6) D．a＝－eq \f(1,3)，b＝－6
答案 D
解析 由题意，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，
所以直线y＝ax＋2上的点(0,2)关于直线y＝－x的对称点(－2,0)在直线y＝－3x＋b上，
所以(－3)×(－2)＋b＝0，所以b＝－6，
所以直线y＝－3x－6上的点(0，－6)关于直线y＝－x的对称点(6,0)在直线y＝ax＋2上，所以6a＋2＝0，所以a＝－eq \f(1,3).
(2)已知直线l：y＝3x＋3，则点P(4,5)关于l的对称点的坐标为________．
答案 (－2,7)
解析 设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，
则线段PP′的中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x′＋4,2)，\f(y′＋5,2)))在直线l上，
且直线PP′垂直于直线l，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y′＋5,2)＝3·\f(x′＋4,2)＋3，,\f(y′－5,x′－4)·3＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝－2，,y′＝7.))
∴点P′的坐标为(－2,7)．
题型四 直线系方程的应用
命题点1 平行直线系、垂直直线系
例3 (1)与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程为________．
答案 3x＋4y－11＝0
解析 由题意，可设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，
又因为直线l过点(1,2)，
所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.
因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.
(2)经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程为________．
答案 x－2y＝0
解析 因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋c＝0，又直线过点A(2,1)，
所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，
即所求直线方程为x－2y＝0.
命题点2 过两直线交点的直线系
例4 已知两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
解 方法一 解l1与l2组成的方程组得到交点P(0,2)，因为k3＝eq \f(3,4)，所以直线l的斜率k＝－eq \f(4,3)，方程为y－2＝－eq \f(4,3)x，即4x＋3y－6＝0.
方法二 设所求直线l的方程为4x＋3y＋c＝0，由法一可知P(0，2)，将其代入方程，得c＝－6，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
方法三 设所求直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，因为直线l与l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为4x＋3y－6＝0.
思维升华 几种常见的直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
跟踪训练2 求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3,1)，B(5,7)等距离的直线方程．
解 设所求直线方程为2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0，
即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0，
由点A(－3,1)，B(5,7)到所求直线距离相等，可得
eq \f(|2＋7λ×－3＋7－21λ×1－4－λ|,\r(2＋7λ2＋7－21λ2))
＝eq \f(|2＋7λ×5＋7－21λ×7－4－λ|,\r(2＋7λ2＋7－21λ2))，
整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，
解得λ＝eq \f(29,35)或λ＝eq \f(1,3)，
所以所求的直线方程为21x－28y－13＝0或x＝1.
课时精练
1．如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为( )
A.eq \f(1,a) B．a C．－eq \f(1,a) D．－eq \f(1,a)或不存在
答案 D
解析 设直线l1，l2的斜率分别是k1，k2，
当a≠0时，由l1⊥l2得k1·k2＝a·k2＝－1，∴k2＝－eq \f(1,a)；
当a＝0时，l1与x轴平行或重合，则l2与y轴平行或重合，
∴直线l2的斜率不存在．
故直线l2的斜率为－eq \f(1,a)或不存在．
2．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若两直线平行，则a(a＋1)＝2，即a2＋a－2＝0，
∴a＝1或－2，故a＝1是两直线平行的充分不必要条件．
3．已知直线l过点(0,7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为( )
A．y＝－4x－7 B．y＝4x－7
C．y＝4x＋7 D．y＝－4x＋7
答案 D
解析 过点(0,7)且与直线y＝－4x＋2平行的直线方程为y－7＝－4x，即直线l的方程为y＝－4x＋7，故选D.
4．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为( )
A．－12 B．－2 C．0 D．10
答案 A
解析 由2m－20＝0，得m＝10.
由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得p＝－2，
∴垂足坐标为(1，－2)．
又垂足在直线2x－5y＋n＝0上，得n＝－12.
5．(2021·河北五校联盟质检)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为( )
A.eq \r(2) B.eq \f(8\r(2),3) C.eq \r(3) D.eq \f(8\r(3),3)
答案 B
解析 因为a＝0或a＝2时，l1与l2均不平行，所以a≠0且a≠2.
因为l1∥l2，
所以eq \f(1,a－2)＝eq \f(a,3)≠eq \f(6,2a)，
解得a＝－1，
所以l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋eq \f(2,3)＝0，
所以l1与l2之间的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(6－\f(2,3))),\r(2))＝eq \f(8\r(2),3).
6．(多选)定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝eq \f(ax0＋by0＋c,\r(a2＋b2)).已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题不正确的是( )
A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行
B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直
C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直
D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交
答案 BCD
解析 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，对于A，若d1＝d2＝1，
则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝eq \r(a2＋b2)，直线P1P2与直线l平行，正确；
对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，P1P2不一定与l垂直，错误；
对于C，若d1＝d2＝0，满足d1＋d2＝0，
即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，
则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，错误；
对于D，若d1·d2≤0，
即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，
所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，
所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误．
7．(多选)点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为eq \r(2)，则点P的坐标为( )
A．(1,2) B．(2,1)
C．(2，－1) D．(－2,1)
答案 AC
解析 设P(x0，y0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x0＋y0－5＝0，,\f(|x0－y0－1|,\r(2))＝\r(2)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝1，,y0＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2，,y0＝－1，))
所以点P的坐标为(1,2)或(2，－1)．故选AC.
8．(多选)(2021·苏州模拟)已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是( )
A．不论a为何值时，l1与l2都互相垂直
B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(－1,0)
C．不论a为何值时，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称
D．如果l1与l2交于点M，则|MO|的最大值是eq \r(2)
答案 ABD
解析 对于A，a×1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1))×a＝0恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确；
对于B，直线l1：ax－y＋1＝0，当a变化时，x＝0，y＝1恒成立，
所以l1恒过定点A(0,1)；
l2：x＋ay＋1＝0，当a变化时，x＝－1，y＝0恒成立，
所以l2恒过定点B(－1,0)，故B正确．
对于C，在l1上任取点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，ax＋1))，
关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－ax－1，－x))，
代入l2：x＋ay＋1＝0，则左边不等于0，故C不正确；
对于D，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ax－y＋1＝0，,x＋ay＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(－a－1,a2＋1)，,y＝\f(－a＋1,a2＋1)，))
即Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－a－1,a2＋1)，\f(－a＋1,a2＋1)))，
所以|MO|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－a－1,a2＋1)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－a＋1,a2＋1)))2)＝eq \r(\f(2,a2＋1))≤eq \r(2)，
所以|MO|的最大值是eq \r(2)，故D正确.故选ABD.
9．直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是______________．
答案 3x＋4y＋5＝0
解析 在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在已知直线3x－4y＋5＝0上，
所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.
10．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为____．
答案 －eq \f(1,3)或－eq \f(7,9)
解析 由点到直线的距离公式得eq \f(|－3a－4＋1|,\r(a2＋1))＝eq \f(|6a＋3＋1|,\r(a2＋1))，
解得a＝－eq \f(1,3)或－eq \f(7,9).
11．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为_______．
答案 3x＋19y＝0
解析 过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－eq \f(4,5)，故所求直线方程为x－3y＋4－eq \f(4,5)(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.
12．设光线l从点A(－4，eq \r(3))出发，经过x轴反射后经过点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),3)))，则光线l与x轴的交点为________，若该入射光线l经x轴发生折射，折射角为入射角的一半，则折射光线所在直线的纵截距为________．
答案 (－1,0) －eq \r(3)
解析 点A(－4，eq \r(3))关于x轴的对称点为A′(－4，－eq \r(3))，则直线A′B：y＝eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(\r(3),3)与x轴交于点(－1,0)，所以光线l与x轴的交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，0))；由入射角是60°，得折射角是30°，且光线经过(－1,0)，得出折射光线所在直线方程为y＝－eq \r(3)x－eq \r(3)，所以纵截距为－eq \r(3).
13．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为( )
A.eq \r(5) B.eq \r(6) C．2eq \r(3) D．2eq \r(5)
答案 A
解析 联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x，,x＋y＝3，))解得x＝1，y＝2.
把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.
∴m＝－5－2n.
∴点(m，n)到原点的距离d＝eq \r(m2＋n2)＝eq \r(5＋2n2＋n2)＝eq \r(5n＋22＋5)≥eq \r(5)，
当n＝－2，m＝－1时取等号．
∴点(m，n)到原点的距离的最小值为eq \r(5).
14．在平面直角坐标系内，已知A(1,2)，B(1,5)，C(3，6)，D(7，－1)，则平面内任意一点到点A与点C的距离之和的最小值为________，平面内到A，B，C，D的距离之和最小的点的坐标是________．
答案 2eq \r(5) (2,4)
解析 设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|＝2eq \r(5)，当且仅当A，M，C共线，且M在A，C之间时取等号，同理，|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线，且M在B，D之间时取等号，连接AC，BD交于一点M，此时|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M为所求点．因为kAC＝eq \f(6－2,3－1)＝2，所以直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.①
又因为kBD＝eq \f(5－－1,1－7)＝－1，所以直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0.②
联立①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝0，,x＋y－6＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4，))所以M(2,4)．
15．(多选)(2020·福州期末)瑞士数学家欧拉(Lenhard Euler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－4,0)，B(0,4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是( )
A．(2,0) B．(0,2) C．(－2,0) D．(0，－2)
答案 AD
解析 设C(x，y)，AB的垂直平分线为y＝－x，
△ABC的外心为欧拉线方程x－y＋2＝0与直线y＝－x的交点M(－1,1)，
∴|MC|＝|MA|＝eq \r(10)，
∴(x＋1)2＋(y－1)2＝10，①
由Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，4))，△ABC重心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x－4,3)，\f(y＋4,3)))，
代入欧拉线方程x－y＋2＝0，得x－y－2＝0，②
由①②可得x＝2，y＝0或x＝0，y＝－2.故选AD.
16．已知点A(4，－1)，B(8,2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，则|PA|＋|PB|的最小值为________．
答案 eq \r(65)
解析 设点A1与A关于直线l对称，P0为A1B与直线l的交点，
∴|P0A1|＝|P0A|，|PA1|＝|PA|.
|PA1|＋|PB|≥|A1B|＝|A1P0|＋|P0B|＝|P0A|＋|P0B|，
∴|PA|＋|PB|≥|P0A|＋|P0B|＝|A1B|.
当P点运动到P0时，|PA|＋|PB|取得最小值|A1B|.
设点A关于直线l的对称点为A1(x1，y1)，则由对称的充要条件知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y1＋1,x1－4)·1＝－1，,\f(x1＋4,2)－\f(y1－1,2)－1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝0，,y1＝3，))∴A1(0,3)．
∴(|PA|＋|PB|)min＝|A1B|＝eq \r(82＋－12)＝eq \r(65).