新高考数学一轮复习考点学案第9章§9.1随机抽样、统计图表（含答案解析）

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课标要求 1.了解获取数据的基本途径.2.会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样.3.能根据实际问题的特点选择恰当的统计图表，体会使用统计图表的重要性.
1.总体、个体、样本
调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为 ，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为 ，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为 ，样本中包含的个体数称为 ，简称样本量.
2.简单随机抽样
和 是比较常用的两种方法.
3.分层随机抽样
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为 ，每一个子总体称为 .
4.统计图表
(1)常见的统计图表有 、 、 、 等.
(2)作频率分布直方图的步骤
①求 ；
②决定 与 ；
③将数据 ；
④列频率分布表；
⑤画频率分布直方图.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会与先后顺序有关.( )
(2)抽签法和随机数法都是简单随机抽样.( )
(3)在按比例分配的分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.( )
(4)在频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大.( )
2.从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法不正确的是( )
A.该年级500名学生的体重是总体
B.该年级每名学生的体重是个体
C.抽取的60名学生的体重是一个样本
D.抽取的60名学生的体重是样本容量
3.“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜，是具有我国自主知识产权、世界最大、最灵敏的单口径射电望远镜.建造“中国天眼”的目的是( )
A.通过调查获取数据B.通过试验获取数据
C.通过观察获取数据D.通过查询获取数据
4.从某校随机抽取某次数学考试100分以上(含100分，满分150分)的学生成绩，将他们的分数绘制成如图所示的频率分布直方图.若共抽取了100名学生的成绩，则分数在[120，130)内的人数为 .
1.利用按比例分配的分层随机抽样要注意按比例抽取，若各层应抽取的个体数不都是整数，可以进行一定的技术处理，比如将结果取成整数等.
2.频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不要和条形图混淆.
题型一 抽样方法
例1 (1)(2024·西安模拟)某高校对中文系新生进行体测，利用随机数法对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号：001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下面提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是( )
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38
12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86
23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75
22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A.623B.328C.072D.457
(2)某课题组对甲、乙、丙三地的空气质量进行调查，按地域特点分别在三地设置空气质量观测点.已知甲、乙、丙三地内观测点的个数分别为20，y，z且依次构成等差数列，而20，y－10，z成等比数列，若用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取观测点的30个数据，则丙地应抽取的数据个数为( )
A.18B.16C.10D.4
思维升华 (1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②等可能抽取.
(2)在按比例分配的分层随机抽样中，抽样比＝样本容量总体容量＝各层样本容量各层个体总量.
跟踪训练1 (1)下列抽样方法是简单随机抽样的是( )
A.某医院从200名医生中，挑选出50名最优秀的医生去参加培训
B.从10部手机中逐个不放回地随机抽取2部进行质量检验
C.从空间直角坐标系中抽取10个点作为样本
D.饮料公司从仓库中的500箱饮料中一次性抽取前10箱进行质量检查
(2)(2024·驻马店模拟)某电影上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行按比例分配的分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多( )
A.6人B.9人C.12人D.18人
题型二 统计图表
例2 (1)(多选)根据不同年龄段学生身心发展特点，小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时.某机构调查了1万名学生睡眠及学习的时间，利用信息得出如图所示的折线图，则以下判断正确的有( )
A.高三年级学生平均学习时间最长
B.中小学生的平均睡眠时间都没有达到标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准
C.大多数年龄段学生平均睡眠时间长于学习时间
D.与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠
(2)(多选)(2025·赤峰模拟)某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2 000名学生，每名学生依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个社团，各个社团的人数比例的扇形图如图所示，其中参加朗诵社团的学生有8名，参加太极拳社团的学生有12名，则( )
A.这五个社团的总人数为100
B.脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%
C.这五个社团的总人数占该校学生人数的5%
D.从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45%
思维升华 统计图表的主要应用
(1)扇形图：直观描述各类数据占总数的比例.
(2)折线图：描述数据随时间的变化趋势.
(3)条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率.
跟踪训练2 (1)(多选)(2024·深圳模拟)为丰富优质旅游资源，释放旅游消费潜力，推动旅游业高质量发展，某地政府从2024年国庆期间到该地旅游的游客中，随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和对景区服务是否满意的数据，并绘制统计图如图所示，则下列结论正确的是( )
A.到该地旅游的游客中，青年人是老年人的2倍多
B.到该地旅游的老年人的满意人数是青年人的2倍
C.到该地旅游的游客中满意的中年人占总游客人数的24.5%
D.到该地旅游的游客满意人数超过一半
(2)(多选)空气质量指数(AQI)是反映空气质量状况的指数，AQI值越小，表明空气质量越好，AQI不超过50，空气质量为“优”；AQI大于50且不超过100，空气质量为“良”；AQI大于100，空气质量为“污染”.如图是某市2023年空气质量指数(AQI)折线图.下列关于该市2023年空气质量的叙述中，说法正确的是( )
A.2023年全年平均AQI对应的空气质量等级为优或良
B.每月都至少有一天空气质量等级为优
C.2月、8月、9月和12月均出现污染天气
D.空气质量为“污染”的天数最多的月份是2月份
题型三 频率分布直方图
例3 某公司为了了解顾客对其旗下产品的满意程度，随机抽取n名顾客进行满意度问卷调查，所得评分(满分100分)均在[40，100]内，按从低到高将满意度分为四个等级：
并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在[70，80)内的顾客为80人.
(1)求n的值及频率分布直方图中t的值；
(2)若某段时间有10 000名顾客购买该公司的产品，请估计这10 000名顾客中对该公司产品满意度等级达到“满意”的人数；
(3)该公司设定的预案是：以抽取的样本作为参考，若顾客调查评分的均值低于80分，则需要对该公司旗下产品进行调整，否则不需要调整，根据你所学的统计知识，判断该公司是否需要对旗下产品进行调整，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替)
思维升华 频率分布直方图的相关结论
(1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.
(2)频率分布直方图中纵轴表示频率组距，每组样本的频率为组距×频率组距，即小长方形的面积.
(3)频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数.
跟踪训练3 某校为了解学生学习的效果，进行了一次摸底考试，从中选取60名学生的成绩，分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]六组后，得到不完整的频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题：
(1)求分数在区间[70，80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)根据评奖规则，排名在前10%的学生可以获奖，请你估计获奖的学生至少需要多少分？
答案精析
落实主干知识
1.总体 个体 样本 样本容量
2.抽签法 随机数法
3.分层随机抽样 层
4.(1)条形图 扇形图 折线图 频率分布直方图 (2)①极差 ②组距 组数 ③分组
自主诊断
1.(1)× (2)√ (3)× (4)√
2.D [由题可知，从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，其中总体是该年级500名学生的体重，个体是该年级每名学生的体重，样本是抽取的60名学生的体重，样本容量是60，故只有D不正确.]
3.C [“中国天眼”主要是通过观察获取数据.]
4.30
解析 因为频率分布直方图中所有的小矩形面积和为1，所以(0.005+0.035+a+0.020+0.010)×10＝1，解得a＝0.030，所以分数在[120，130)内的人数为100×0.030×10＝30.
探究核心题型
例1 (1)A [从第5行第6列开始向右读取数据，第一个数为253，第二个数是313，第三个数是457，下一个数是860，不符合要求，下一个数是736，不符合要求，下一个数是253，重复，第四个数是007，第五个数是328，第六个数是623，故A正确.]
(2)B [依题意得20+z＝2y,(y−10)2＝20z,
解得y＝50,z＝80或y＝10,z＝0(舍去).
所以丙地应抽取的数据个数为8020+50+80×30＝16.]
跟踪训练1 (1)B [A选项中，挑选出50名最优秀的医生去参加培训，每个人被抽到的概率不相等，故A错误；
B选项中，从10部手机中逐个不放回地随机抽取2部进行质量检验，是简单随机抽样，故B正确；
C选项中，由于被抽取的样本总体的个数是无限的，所以不是简单随机抽样，故C错误；
D选项中，一次性抽取前10箱，每箱被抽到的概率不相等，所以不是简单随机抽样，故D错误.]
(2)B [设中年人抽取x人，青少年抽取y人，由按比例分配的分层随机抽样可知200480＝x36，80480＝y36，解得x＝15，y＝6，故中年人比青少年多9人.]
例2 (1)BC [根据图象可知，高三年级学生平均学习时间没有高二年级学生平均学习时间长，故A错误；
根据图象可知，中小学生的平均睡眠时间都没有达到标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准，
故B正确；
根据图象可知，学习时间长于睡眠时间的有初二、初三、高一、高二、高三，占比为516，睡眠时间长于学习时间的占比为1116，所以大多数年龄段学生平均睡眠时间长于学习时间，故C正确；
从高三到大学一年级，学习时间减少了9.65－5.71＝3.94(小时/天)，睡眠时间增加了8.52－7.91＝0.61(小时/天)，故D错误.]
(2)BD [对于A，参加朗诵社团的学生有8名，占比为10%，所以这五个社团的总人数为8÷10%＝80(人)，故A错误；
对于B，参加太极拳社团的学生有12名，可知其占五个社团总人数的12÷80＝15%，
因此脱口秀社团的人数占五个社团总人数的1－30%－10%－25%－15%＝20%，故B正确；
对于C，该校共有2 000名学生，所以这五个社团的总人数占该校学生人数的80÷2 000＝4%，故C错误；
对于D，由选项B易知脱口秀社团共有80×20%＝16(人)，舞蹈社团共有80×25%＝20(人)，两社团共有36人，所以从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为36÷80＝45%，故D正确.]
跟踪训练2 (1)ACD [由扇形图可知青年人占比45%，是老年人占比20%的2倍多，故A正确；
其中满意的青年人占总人数的0.45×0.4×100%＝18%，满意的中年人占总人数的(1－0.45－0.2)×0.7×100%＝24.5%，满意的老年人占总人数的0.2×0.8×100%＝16%，故B错误，C正确；
总满意率为18%+24.5%+16%＝58.5%>50%，故D正确.]
(2)ABC [根据折线图可知，每月平均AQI都小于100，故2023年全年平均AQI小于100，对应的空气质量等级为优或良，故A正确；
每月AQI的最小值不超过50，
故B正确；
2月、8月、9月和12月的AQI的最大值超过100，故C正确；
从折线图只能知道，2月AQI的最大值最大，不能说明2月的空气质量为“污染”的天数最多，
故D不正确.]
例3 解 (1)由题意知
0.02×10n＝80，
10t+0.06+0.1+0.2+60t+90t＝1，
所以n＝400，t＝0.004.
(2)6t＝6×0.004＝0.024，
则估计这10 000名顾客中对该公司产品满意度等级达到“满意”的人数为10 000×0.024×10＝2 400.
(3)由频率分布直方图得，顾客调查评分的均值为45×0.04+55×0.06+65×0.1+75×0.2+85×0.36+95×0.24＝80(分)，
由题意知该公司不需要对旗下产品进行调整.
跟踪训练3 解 (1)设分数在[70，80)内的频率为x，
根据频率分布直方图，可得(0.01+0.015+0.02+0.025+0.005)×10+x＝1，解得x＝0.25，
所以分数在[70，80)内的频率为0.25，
补全这个频率分布直方图，如图所示.
(2)因为分数在区间[80，90)内的频率为0.25，在区间[90，100]内的频率为0.05，
而0.05