新高考数学一轮复习考点学案第9章§9.2用样本估计总体（含答案解析）

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1.百分位数
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据 这个值.
2.平均数、中位数和众数
(1)平均数：x＝ .
(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最 的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的 (当数据个数是偶数时).
(3)众数：一组数据中出现次数 的数据(即频数最大值所对应的样本数据).
3.方差和标准差
(1)方差：s2＝ 或1nnΣi=1xi2－x2.
(2)标准差：s＝ .
4.总体方差和总体标准差
(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为Y，则总体方差S2＝1NNΣi=1(Yi－Y)2.
(2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S2＝1NkΣi=1fi(Yi－Y)2.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近.( )
(2)方差与标准差具有相同的单位.( )
(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变.( )
(4)在频率分布直方图中，可以用最高的小长方形底边中点的横坐标作为众数的估计值.( )
2.在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量是( )
A.平均数B.众数
C.百分位数D.标准差
3.已知在高考前最后一次模拟考试中，高三某班8名同学的物理成绩分别为84，79，84，86，95，84，87，93，则该组数据的平均数和众数分别是( )
A.86，84B.84.5，85
C.85，84D.86.5，84
4.(2024·周口模拟)已知一组从小到大排列的数据为a，2，2，4，4，5，6，b，8，8，若其第70百分位数等于其极差，则2a+b＝ .
1.若x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2，那么mx1+a，mx2+a，…，mxn+a的平均数为mx+a，方差为m2s2.
2.数据x1，x2，…，xn与数据x1'＝x1+a，x2'＝x2+a，…，xn'＝xn+a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变.

题型一 样本数字特征的估计
例1 (1)(多选)(2024·郴州模拟)随机抽取8位同学对他们2024年数学新课标全国Ⅰ卷的平均分进行预估，得到一组样本数据：97，98，99，100，101，103，104，106，则下列关于该样本的说法正确的有( )
A.平均数为101B.极差为9
C.方差为8D.第60百分位数为101
(2)如图是2023年11月中国的10个城市地铁运营里程(单位：公里)及运营线路条数的统计图，下列判断正确的是( )
A.这10个城市中北京的地铁运营里程最长且运营线路条数最多
B.这10个城市地铁运营里程的中位数是516公里
C.这10个城市地铁运营线路条数的平均数为15.4
D.这10个城市地铁运营线路条数的极差是12
思维升华 计算一组n个数据第p百分位数的步骤
跟踪训练1 (多选)随着互联网的发展，网上购物几乎成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，这也使得快递行业市场规模呈现出爆发式的增长.陈先生计划在家所在的小区内开一家快递驿站，为了确定驿站规模的大小，他统计了隔壁小区的A驿站和B驿站一周的日收件量(单位：件)，得到折线图如图，则下列说法正确的是( )
A.B驿站一周的日收件量的极差为80
B.A驿站日收件量的中位数为160
C.A驿站日收件量的平均值大于B驿站的日收件量的平均值
D.A驿站和B驿站的日收件量的方差分别记为s12，s22，则s12>s22
题型二 总体集中趋势的估计
例2 某考试机构举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划.在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)求出图中a的值并估计本次考试的及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占的比例)；
(2)估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数；
(3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数.
思维升华 频率分布直方图中的数字特征
(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标.
(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等.
(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和.
跟踪训练2 (多选)(2024·佛山模拟)某企业是一所大学的社会实践基地，实践结束后学校对学生进行考核评分，其得分的频率分布直方图如图所示，该学校规定，把成绩位于后25%的学生划定为不及格，把成绩位于前25%的学生划定为优秀，则下列结论正确的是( )
A.本次测试分数的极差在50~70之间
B.本次测试优秀分数线的估计值为76.2分
C.本次测试分数中位数的估计值为70
D.本次测试分数的平均数小于中位数
题型三 总体离散程度的估计
例3 (2024·安康模拟)首届中国航协航空大会在各个展区中设置了多项互动体验活动，吸引了很多的中小学生.现从某个有互动体验的展区中随机抽取60名中小学生，统计他们的参观时间(从进入该展区到离开该展区的时长，单位：分钟，时间取整数)，将时间分成[40，50)，[50，60)，…，[90，100]六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)由频率分布直方图，估计样本的平均数x和方差s12；(每组数据以区间的中点值为代表)
(2)为对比展区是否有体验区对中小学生的吸引程度，某工作人员给出了一份该展区中没有体验区的参观时间的随机数据，经计算得到该组数据的平均值为y＝65，方差为s22＝178，试判断有体验区的参观时间的平均值比没有体验区的参观时间的平均值是否有显著提高？(如果x－y≥s12+s2212，则认为有显著提高，否则不认为有显著提高)
(3)利用(2)中的结果，你认为展区是否应该设置互动体验展区？请说明理由.
思维升华 总体离散程度的估计
标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小.
跟踪训练3 (1)(多选)(2024·佛山统考)甲、乙两台机床同时生产同一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为：
甲：0，1，2，2，0，2，3，3，3，4；
乙：1，3，1，1，0，2，0，1，0，1.
则下列说法正确的是( )
A.甲机床每天生产的次品数的平均数大于乙机床每天生产的次品数的平均数
B.甲机床每天生产的次品数的方差大于乙机床每天生产的次品数的方差
C.从这两组次品数的平均数和方差来看，乙机床的性能更好
D.从这两组次品数的平均数和方差来看，甲机床的性能更好
(2)(2024·珠海模拟)甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为72，方差为90；乙班的平均成绩为90，方差为60.那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是 ，方差是 .
答案精析
落实主干知识
1.p% 大于或等于
2.(1)1n(x1+x2+…+xn) (2)中间 平均数 (3)最多
3.(1)1nnΣi=1(xi－x)2
(2)1nnΣi=1(xi−x)2
自主诊断
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.D [标准差反映了数据离散程度的大小，所以说标准差是用来描述一组数据离散程度的统计量，
故D正确.]
3.D [将样本数据按升序排列为79，84，84，84，86，87，93，95，可得平均数x＝79+3×84+86+87+93+958
＝86.5，因为84出现次数最多，所以众数为84.]
4.10
解析 因为10×0.7＝7，所以a，2，2，4，4，5，6，b，8，8的第70百分位数为6+b2，其极差为8－a，所以6+b2＝8－a，解得2a+b＝10.
探究核心题型
例1 (1)ABD [平均数为97+98+99+100+101+103+104+1068
＝101，A正确；
极差为106－97＝9，B正确；
方差为(97−101)2+(98−101)2+…+(106−101)28
＝16+9+4+1+0+4+9+258＝172，C错误；
因为60%×8＝4.8，故第60百分位数为101，D正确.]
(2)C [北京的地铁运营线路条数最多，而运营里程最长的是上海，A错误；
地铁运营里程的中位数是558.6+5162＝537.3(公里)，B错误；
地铁运营线路条数的平均数为20+27+18+14+17+12+14+10+14+810
＝15.4，C正确；
地铁运营线路条数的极差是27－8＝19，D错误.]
跟踪训练1 BC [对于A选项，B驿站一周的日收件量的极差为160－40＝120，故A错误；
对于B选项，A驿站日收件量从小到大排列为：130，150，160，160，180，190，200，所以中位数为160，故B正确；
对于C选项，由图可知，A驿站日收件量每天都比B驿站的日收件量多，所以A驿站日收件量的平均值大于B驿站的日收件量的平均值，故C正确；
对于D选项，由图可知，A驿站日收件量的波动比B驿站的日收件量的波动小，所以s12