新高考数学一轮复习考点学案第8章§8.7双曲线（含答案解析）

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1.双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 等于非零常数( |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 .
注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在.
(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支.
(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )
(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )
(3)双曲线x2m2－y2n2＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是xm±yn＝0.( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.( )
2.双曲线x2－4y2＝1的离心率为( )
A.2B.3C.52D.5
3.(多选)已知双曲线方程x216－y29＝1，下列说法中正确的有( )
A.焦点坐标为(0，±5)
B.虚轴长为6
C.焦距为10
D.渐近线方程为y＝±54x
4.已知点P在双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上，双曲线的左、右焦点分别记为F1，F2，焦距为25，已知PF1⊥PF2，|PF1|＝2|PF2|，则该双曲线的实轴长为 .
1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a+c，|PF2|min＝c－a.
3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b2a.
题型一 双曲线的定义及应用
例1 (1)已知圆C1：(x+3)2+y2＝1和圆C2：(x－3)2+y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为( )
A.x2－y28＝1(x≥1) B.x2－y28＝1
C.x2－y28＝1(x≤－1) D.y28－x2＝1
(2)(2025·永州模拟)已知F1，F2分别是双曲线E：x24－y212＝1的左、右焦点，M是双曲线E的左支上一点，过F2作∠F1MF2平分线的垂线，垂足为N，O为坐标原点，则|ON|等于( )
A.4B.2C.3D.1
圆锥曲线的第二定义
平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹：
(1)当0b>0)，焦距为4，P为椭圆上任一点，若P到点(2，0)的距离与到直线x＝a22的距离之比为12，则椭圆方程为 .
(2)已知双曲线x29－y216＝1的右焦点为F2，M是双曲线右支上一点，定点A(9，2)，则|MA|+35|MF2|的最小值为 .
思维升华 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系，利用三角形的面积公式求解.对于选择题或填空题直接利用焦点三角形的面积公式计算即可.
跟踪训练1 (1)设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于( )
A.1B.17C.1或17 D.5或13
(2)F1，F2分别为双曲线C：x2a2－y26＝1(a>0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上的一点，PF1与双曲线C的左支交于点Q.已知△PQF2是等边三角形，则双曲线C的实轴长为 .
题型二 双曲线的标准方程
例2 (1)(2024·济南模拟)已知双曲线C1过点A(－15，1)，且与双曲线C2：x2－3y2＝1有相同的渐近线，则双曲线C1的标准方程为( )
A.x212－y24＝1B.y212－x24＝1
C.x215－y25＝1D.y215－x25＝1
(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且一个焦点在直线3x－4y+12＝0上的等轴双曲线的标准方程是 .
思维升华 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)，与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为x2a2+λ－y2b2−λ＝1(－a20)的实半轴长为3，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C的渐近线方程为( )
A.y＝±3xB.y＝±33x
C.y＝±32xD.y＝±233x
思维升华 (1)渐近线方程的求法：求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程xa±yb＝0或y＝±bax.
(2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±ba，满足关系式e2＝1+k2.
命题点2 离心率
例4 (1)(2024·武汉模拟)已知焦点在x轴上的双曲线的两条渐近线所成的角为π3，则双曲线的离心率为( )
A.233B.3
C.2或233D.2或3
(2)(2024·武汉模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△ABF1的周长为10a，则双曲线离心率的取值范围为( )
A.62，+∞B.102，+∞
C.1，62D.1，102
思维升华 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2+b2和e＝ca转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).
跟踪训练3 (1)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点恰好为矩形ABCD的长边中点，且该矩形的顶点都在双曲线上，矩形的长宽比为2∶1，则双曲线的离心率为( )
A.2+22B.3+22
C.1+2D.22－1
(2)(2024·绍兴模拟)若双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆C2：(x－2)2+y2＝1有公共点，则C1的离心率的取值范围为( )
A.1，233B.1，233
C.(1，2)D.(1，2]
答案精析
落实主干知识
1.绝对值 小于 焦点 焦距
2.F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) |F1F2|＝2c x≤－a
x≥a 坐标轴 原点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) A1A2 2a 2b a b y＝±bax y＝±abx (1，+∞) a2+b2
自主诊断
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.C [因为x2－4y2＝1，
即x2－y214＝1，
所以a＝1，b＝12，
c＝a2+b2＝52，
所以e＝ca＝52.]
3.BC [由双曲线方程x216－y29＝1，
得a＝4，b＝3，c＝16+9＝5，
又焦点在x轴上，所以焦点坐标为(±5，0)，A选项错误；
所以虚轴长为2b＝6，B选项正确；
焦距为2c＝10，C选项正确；
渐近线方程为y＝±bax＝±34x，D选项错误.]
4.2
解析 因为|PF1|＝2|PF2|，
由双曲线的定义得
|PF1|－|PF2|＝2a，
所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
因为PF1⊥PF2，
所以(4a)2+(2a)2＝(25)2＝20，
解得a＝1，则实轴长为2.
探究核心题型
例1 (1)C [设动圆M的半径为r，
则|MC1|＝r+1，|MC2|＝r+3，
则|MC2|－|MC1|
＝20，b>0)，
则2a＝4,42a2−32b2＝1,解得a＝2,b＝3,
故该双曲线的标准方程是
x24－y23＝1.]
例3 B [设双曲线C：y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的上焦点为(0，c)(c>0)，双曲线的渐近线方程为by±ax＝0，
由点到直线的距离公式可得
|bc±a×0|a2+b2＝|bc|c2＝b＝3，
又双曲线C：y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的实半轴长为3，所以a＝3，
所以双曲线C的渐近线方程为3y±3x＝0，即y＝±33x.]
例4 (1)C [依题意，双曲线的一条渐近线的倾斜角为π6或π3，
所以ba＝tan π6或ba＝tan π3，
即ba＝33或ba＝3，
所以e＝ca＝1+332＝233或e＝ca＝1+(3)2＝2，
综上，双曲线的离心率为233或2.]
(2)D [根据双曲线定义知，△ABF1的周长为4a+2|AB|，
所以4a+2|AB|＝10a，
所以|AB|＝3a，
又|AB|≥2b2a，所以3a≥2b2a，
即3a2≥2b2，
所以3a2≥2(c2－a2)，即5a2≥2c2，
解得e≤102，
故双曲线离心率的取值范围是1，102.]
跟踪训练3 (1)C [如图，连接CF1，
由题意知C(c，2c)，
|CF2|＝2c，|F1F2|＝2c，
则|CF1|＝22c，
则由双曲线的定义知|CF1|－|CF2|＝2a，
即22c－2c＝2a，a＝(2－1)c，
所以双曲线的离心率
e＝ca＝2+1.]
(2)B [∵双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，且渐近线与圆(x－2)2+y2＝1有公共点，
∴圆心到渐近线的距离小于等于半径，即2ba2+b2≤1，∴3b2≤a2，
∴c2＝a2+b2≤43a2，
∴10，b>0)
y2a2－x2b2＝1
(a>0，b>0)
图形
性
质
焦点
焦距
范围
或
，y∈R
y≤－a或
y≥a，x∈R
对称性
对称轴： ；对称中心：
性
质
顶点
轴
实轴：线段 ，长： ；虚轴：线段B1B2，长： ；实半轴长： ，虚半轴长：
渐近线
离心率
e＝ca∈
a，b，c
的关系
c2＝ (c>a>0，c>b>0)