新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第8章8.9直线与圆锥曲线的位置关系（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第8章8.9直线与圆锥曲线的位置关系（含答案解析），共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知直线kx－y＋2＝0与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,m)＝1恒有公共点，则实数m的取值范围为( )
A．(4,9] B．[4，＋∞)
C．[4,9)∪(9，＋∞) D．(9，＋∞)
2．(2023·长春模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，若使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．1 D．2
3．直线x＋4y＋m＝0交椭圆eq \f(x2,16)＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为1，则m等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
4．已知点F1(－1,0)，F2(1,0)，直线l：y＝x＋2.若以F1，F2为焦点的椭圆C与直线l有公共点，则椭圆C的离心率的最大值为( )
A.eq \f(\r(10),5) B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(\r(2),2)
5．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \r(2)x，左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且斜率为eq \r(3)的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若△MNF1的周长为36，则双曲线C的方程为( )
A.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,6)＝1 B.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,10)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1 D．x2－eq \f(y2,2)＝1
6．(2023·沈阳模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,2)＝1(a>eq \r(2))的离心率为eq \f(\r(6),3)，过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2)))的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足|PA|＝|PB|，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则|OM|的最小值为( )
A．1 B.eq \r(2) C．2 D．2eq \r(2)
二、多项选择题
7．关于双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1，下列说法正确的是( )
A．该双曲线与双曲线eq \f(y2,5)－eq \f(x2,4)＝1有相同的渐近线
B．过点F(3,0)作直线l与双曲线C交于A，B，若|AB|＝5，则满足条件的直线只有一条
C．若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)，\f(\r(5),2)))
D．过点P(1,2)能作4条直线与双曲线C仅有一个交点
8．(2022·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则( )
A．C的准线为y＝－1
B．直线AB与C相切
C．|OP|·|OQ|>|OA|2
D．|BP|·|BQ|>|BA|2
三、填空题
9．已知m为实数，直线mx＋y－1＝0与椭圆eq \f(x2,m2)＋y2＝1的交点个数为________．
10．已知椭圆T：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，过左焦点F作倾斜角为45°的直线交T于A，B两点，若|AB|＝eq \f(8\r(2),5)，则椭圆T的方程为________．
11．在平面直角坐标系中，动点P在椭圆C：eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1上运动，则点P到直线x－y－5＝0的距离的最大值为________．
12．已知斜率为2的直线l与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，若点P(2,1)是线段AB的中点，则C的离心率等于________．
四、解答题
13．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(1,2)，长轴长为4.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线l过定点Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0))，若椭圆C上存在两点A，B关于直线l对称，求直线l的斜率k的取值范围．
14．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，点P(5，eq \r(23))在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为2eq \r(2)，求直线l的方程．
§8.9 直线与圆锥曲线的位置关系
1．C 2.C 3.A 4.A 5.D
6．B [由题设，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，
即eq \f(c2,a2)＝1－eq \f(b2,a2)＝1－eq \f(2,a2)＝eq \f(2,3)，
可得a2＝6>2，
过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2)))的直线与椭圆C交于A，B两点，
且满足|PA|＝|PB|，
则P为线段AB的中点，
所以xA＋xB＝3，yA＋yB＝1，
又eq \f(x\\al(2,A),6)＋eq \f(y\\al(2,A),2)＝1，eq \f(x\\al(2,B),6)＋eq \f(y\\al(2,B),2)＝1，
则eq \f(x\\al(2,A)－x\\al(2,B),6)＋eq \f(y\\al(2,A)－y\\al(2,B),2)＝0，
即eq \f(xA＋xBxA－xB,6)＝
－eq \f(yA＋yByA－yB,2)，
所以eq \f(yA－yB,xA－xB)＝－eq \f(xA＋xB,3yA＋yB)＝－1，
故直线AB的方程为y－eq \f(1,2)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，
即x＋y－2＝0，
所以|OM|的最小值为eq \f(|－2|,\r(2))＝eq \r(2).]
7．ACD [双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1的渐近线方程可表示为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝0，双曲线eq \f(y2,5)－eq \f(x2,4)＝1的渐近线方程可表示为eq \f(y2,5)－eq \f(x2,4)＝0，整理后都是y＝±eq \f(\r(5),2)x，故A正确；
由于双曲线的实轴长为2a＝4，所以过焦点F与左右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是[4，＋∞)，存在关于x轴对称的两种情况，使其弦长为5，另外当直线垂直于x轴时，经计算可得弦长正好是5，故满足条件的直线有三条，故B错误；
由于双曲线的渐近线的斜率为±eq \f(\r(5),2)，焦点在x轴上，
所以若直线l与双曲线C的两支各有一个交点，则直线l的斜率k∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)，\f(\r(5),2)))，故C正确；
由于点P(1,2)在双曲线的两条渐近线的上方，如图所示，故过点P能作4条直线与双曲线C仅有一个交点，其中两条与渐近线平行，另外两条与双曲线相切，故D正确．]
8．BCD [如图，因为抛物线C过点A(1,1)，所以1＝2p，解得p＝eq \f(1,2)，所以C：x2＝y的准线为y＝－eq \f(1,4)，所以A错误；
因为x2＝y，所以y′＝2x，所以y′|x＝1＝2，所以C在点A处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，又点B(0，－1)在直线y＝2x－1上，所以直线AB与C相切，所以B正确；
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为y＝kx－1，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,x2＝y))得x2－kx＋1＝0，
所以x1＋x2＝k，x1x2＝1，且Δ＝k2－4>0，得k>2或k2＝|OA|2，所以C正确；
|BP|·|BQ|＝
eq \r(x\\al(2,1)＋y1＋12)·eq \r(x\\al(2,2)＋y2＋12)
＝eq \r(x\\al(2,1)＋x\\al(2,1)＋12)·eq \r(x\\al(2,2)＋x\\al(2,2)＋12)
＝eq \r(x\\al(4,1)＋3x\\al(2,1)＋1x\\al(4,2)＋3x\\al(2,2)＋1)
＝eq \r(x\\al(4,1)x\\al(4,2)＋3x\\al(2,1)x\\al(2,2)＋3x\\al(2,1)＋x\\al(2,2)＋x\\al(4,1)＋x\\al(4,2)＋9x\\al(2,1)x\\al(2,2)＋1)
＝eq \r(6x\\al(2,1)＋x\\al(2,2)＋x\\al(4,1)＋x\\al(4,2)＋11)
＝eq \r(6x\\al(2,1)＋x\\al(2,2)＋x\\al(2,1)＋x\\al(2,2)2＋9)
＝eq \r(6k2－2＋k2－22＋9)
＝eq \r(k2＋12)＝k2＋1>5＝|BA|2，所以D正确．]
9．2
解析 因为直线方程为mx＋y－1＝0，
所以直线过定点(0,1)，定点在椭圆上，又因为m≠0，所以直线与x轴不平行，所以直线和椭圆相交，所以交点个数为2.
10.eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1
解析 ∵a＝2b，则c＝eq \r(3)b，
∴椭圆T：eq \f(x2,4b2)＋eq \f(y2,b2)＝1，左焦点F(－eq \r(3)b,0)，直线AB：y＝x＋eq \r(3)b，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋\r(3)b，,\f(x2,4b2)＋\f(y2,b2)＝1，))
消去y得5x2＋8eq \r(3)bx＋8b2＝0，
∴x1＋x2＝－eq \f(8\r(3),5)b，x1x2＝eq \f(8b2,5)，
|AB|＝eq \r(2)eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8\r(3),5)b))2－\f(32b2,5))＝eq \f(8\r(2),5)，
可得b2＝2，
∴椭圆T：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1.
11．5eq \r(2) 12.eq \r(2)
13．解 (1)因为椭圆的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，长轴长为2a＝4，
解得a＝2，c＝1，则b2＝3，
所以椭圆C的标准方程是eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,4)))，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当直线l的斜率k＝0时，易得在椭圆C上有无数对A，B关于直线y＝0对称；
当k≠0时，有kAB＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(1,k)，
设AB中点的坐标为(x0，y0)，
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),4)＋\f(y\\al(2,1),3)＝1，,\f(x\\al(2,2),4)＋\f(y\\al(2,2),3)＝1，))
两式相减得3(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)(y1－y2)，
即3kx0＝4y0，
又y0＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(1,4)))，
解得x0＝1，y0＝eq \f(3k,4)，
因为线段AB的中点在椭圆内部，
所以eq \f(x\\al(2,0),4)＋eq \f(y\\al(2,0),3)