新高考数学一轮复习学案 第8章 §8.7　抛物线（含解析）

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1．抛物线的概念
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹．
(2)焦点：点F叫做抛物线的焦点．
(3)准线：直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
微思考
1．抛物线定义中，若l经过点F，则点的轨迹会怎样？
提示 若l经过点F，则到F与到l距离相等的点的轨迹是过点F且与l垂直的直线．
2．怎样计算抛物线的焦半径(抛物线上的点到焦点的距离)？抛物线的焦点弦的最小值是多少？
提示 抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点的距离(焦半径)为x0＋eq \f(p,2)；抛物线的焦点弦的最小值是2p(通径的长度)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，0))，准线方程是x＝－eq \f(a,4).( × )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( × )
题组二 教材改编
2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
答案 B
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
3．抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为______．
答案 2
解析 设P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，得x1＝3，y1＝±2eq \r(6).故满足条件的点的个数为2.
4．已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上一点，则|AB|的最小值为________．
答案 eq \f(\r(7),2)
解析 设点B(x，y)，则x＝y2≥0，
所以|AB|＝eq \r(x－22＋y2)＝eq \r(x－22＋x)＝eq \r(x2－3x＋4)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))2＋\f(7,4)).
所以当x＝eq \f(3,2)时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝eq \f(\r(7),2).
题组三 易错自纠
5．(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点P(－2,3)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝eq \f(9,2)x B．x2＝eq \f(4,3)y
C．y2＝－eq \f(9,2)x D．x2＝－eq \f(4,3)y
答案 BC
解析 设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－eq \f(9,2)，m＝eq \f(4,3)，
所以y2＝－eq \f(9,2)x或x2＝eq \f(4,3)y.
6．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是______．
答案 [－1,1]
解析 Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，
解得－1≤k≤1.
题型一 抛物线的定义和标准方程
1．(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于( )
A．2 B．3 C．6 D．9
答案 C
解析 设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋eq \f(p,2)＝12.
又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，
所以9＋eq \f(p,2)＝12，
解得p＝6.
2．设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝－4 B．x＝－3
C．x＝－2 D．x＝－1
答案 A
解析 直线2x＋3y－8＝0与x轴的交点为(4,0)，∴抛物线y2＝2px的焦点为(4,0)，∴准线方程为x＝－4.
3．动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．
答案 y2＝4x
解析 设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
4．(2020·佛山模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，点P(4，y0)在抛物线上，K为l与y轴的交点，且|PK|＝eq \r(2)|PF|，则y0＝________，p＝________.
答案 2 4
解析 作PM⊥l，垂足为M，由抛物线定义知|PM|＝|PF|，又知|PK|＝eq \r(2)|PF|，
∴在Rt△PKM中，sin∠PKM＝eq \f(|PM|,|PK|)＝eq \f(|PF|,|PK|)＝eq \f(\r(2),2)，
∴∠PKM＝45°，∴△PMK为等腰直角三角形，∴|PM|＝|MK|＝4，又知点P在抛物线x2＝2py(p>0)上，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(py0＝8，,y0＋\f(p,2)＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(p＝4，,y0＝2.))
思维升华 (1)应用抛物线定义的两个关键点
①由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．②抛物线焦点到准线的距离为p.
(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
题型二 抛物线的几何性质及应用
命题点1 焦半径和焦点弦
例1 (1)已知抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )
A．4 B．9
C．10 D．18
答案 C
解析 抛物线y2＝2px的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，准线方程为x＝－eq \f(p,2).
由题意可得4＋eq \f(p,2)＝9，解得p＝10，
所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.
(2)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.eq \f(3\r(3),4) B.eq \f(9\r(3),8) C.eq \f(63,32) D.eq \f(9,4)
答案 D
解析 由已知得焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，
因此直线AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))，即4x－4eq \r(3)y－3＝0.
方法一 联立直线方程与抛物线方程化简得4y2－12eq \r(3)y－9＝0，Δ>0显然成立，
则yA＋yB＝3eq \r(3)，yAyB＝－eq \f(9,4)，
故|yA－yB|＝eq \r(yA＋yB2－4yAyB)＝6.
因此S△OAB＝eq \f(1,2)|OF||yA－yB|＝eq \f(1,2)×eq \f(3,4)×6＝eq \f(9,4).
方法二 联立直线方程与抛物线方程得x2－eq \f(21,2)x＋eq \f(9,16)＝0，
Δ>0显然成立，故xA＋xB＝eq \f(21,2).
根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝eq \f(21,2)＋eq \f(3,2)＝12，
同时原点到直线AB的距离为d＝eq \f(|－3|,\r(42＋－4\r(3)2))＝eq \f(3,8)，
因此S△OAB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(9,4).
命题点2 与抛物线有关的最值问题
例2 (1)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________．
答案 2
解析 由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值．依据抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．
答案 eq \r(5)
解析 如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，
由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．
于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，
显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，
此时最小值为eq \r([1－－1]2＋0－12)＝eq \r(5).
思维升华 (1)由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．
(2)与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．
转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
跟踪训练1 (1)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(3,2) C．1 D．2
答案 D
解析 由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝eq \f(|AA1|＋|BB1|,2).因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故选D.
(2)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是( )
A．2 B.eq \f(13,5) C.eq \f(14,5) D．3
答案 A
解析 由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即eq \f(|3＋7|,\r(32＋42))＝2.故选A.
题型三 直线与抛物线
例3 (2021·湖州模拟)如图，已知抛物线x2＝y，点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,4)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(9,4)))，抛物线上的点P(x，y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)(1)求直线AP斜率的取值范围；
(2)求|PA|·|PQ|的最大值．
解 (1)设直线AP的斜率为k，
k＝eq \f(x2－\f(1,4),x＋\f(1,2))＝x－eq \f(1,2)，
因为－eq \f(1,2)所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．
(2)联立直线AP与BQ的方程
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kx－y＋\f(1,2)k＋\f(1,4)＝0，,x＋ky－\f(9,4)k－\f(3,2)＝0，))
解得点Q的横坐标是xQ＝eq \f(－k2＋4k＋3,2k2＋1).
因为|PA|＝eq \r(1＋k2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))＝eq \r(1＋k2)(k＋1)，
|PQ|＝eq \r(1＋k2)(xQ－x)＝－eq \f(k－1k＋12,\r(k2＋1))，
所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.
令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，
所以f(k)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))上单调递增，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上单调递减，
因此当k＝eq \f(1,2)时，|PA|·|PQ|取得最大值eq \f(27,16).
思维升华 (1)求解直线与抛物线问题，一般利用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则可用弦长公式．
跟踪训练2 (1)(2020·济南期末)直线y＝x＋b交抛物线y＝eq \f(1,2)x2于A，B两点，O为抛物线顶点，OA⊥OB，则b的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 D
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝x＋b代入y＝eq \f(1,2)x2，化简可得x2－2x－2b＝0，故x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，所以y1y2＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝b2.又OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即－2b＋b2＝0，则b＝2或b＝0，经检验b＝0时，不符合题意，故b＝2.
(2)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
答案 A
解析 抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为－eq \f(1,k)，故l1：y＝k(x－1)，
l2：y＝－eq \f(1,k)(x－1)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝kx－1，))消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)＝2＋eq \f(4,k2)，
由抛物线定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋eq \f(4,k2).
同理得|DE|＝4＋4k2，
∴|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋eq \f(4,k2)≥8＋2eq \r(16)＝16.
当且仅当eq \f(1,k2)＝k2，即k＝±1时取等号．
故|AB|＋|DE|的最小值为16.
课时精练
1．(2019·全国Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆eq \f(x2,3p)＋eq \f(y2,p)＝1的一个焦点，则p等于( )
A．2 B．3 C．4 D．8
答案 D
解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，椭圆的焦点坐标为(±eq \r(2p)，0)，所以eq \f(p,2)＝eq \r(2p)，解得p＝8，故选D.
2．(2020·全国Ⅲ)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)) C．(1,0) D．(2,0)
答案 B
解析 方法一 ∵抛物线C关于x轴对称，
∴D，E两点关于x轴对称．
可得出直线x＝2与抛物线的两交点的坐标分别为(2,2eq \r(p))，(2，－2eq \r(p))．
不妨设D(2,2eq \r(p))，E(2，－2eq \r(p))，
则eq \(OD,\s\up6(→))＝(2,2eq \r(p))，eq \(OE,\s\up6(→))＝(2，－2eq \r(p))．
又∵OD⊥OE，
∴eq \(OD,\s\up6(→))·eq \(OE,\s\up6(→))＝4－4p＝0，解得p＝1，
∴C的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)).
方法二 ∵抛物线C关于x轴对称，
∴D，E两点关于x轴对称．
∵OD⊥OE，∴D，E两点横、纵坐标的绝对值均相等．
不妨设点D(2,2)，将点D的坐标代入C：y2＝2px，
得4＝4p，解得p＝1，故C的焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)).
3.中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m．若水面下降1 m，则水面宽度为( )
A．2eq \r(6) m B．4eq \r(6) m C．4eq \r(2) m D．12 m
答案 B
解析 由题意，以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
由题意知，抛物线经过点A(－4，－2)和点B(4，－2)，
代入抛物线方程解得p＝4，
所以抛物线方程为x2＝－8y，
水面下降1米，即y＝－3，解得x1＝2eq \r(6)，x2＝－2eq \r(6)，
所以此时水面宽度d＝2x1＝4eq \r(6).
4．(2020·北京)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线( )
A．经过点O B．经过点P
C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
答案 B
解析 如图所示，P为抛物线上异于O的一点，
则|PF|＝|PQ|，
∴QF的垂直平分线经过点P.
5．(多选)设抛物线y＝ax2(a>0)的准线与对称轴交于点P，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A和B，则( )
A．点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,4a)))
B．直线AB的方程为y＝eq \f(1,4a)
C．PA⊥PB
D．|AB|＝eq \f(1,2a)
答案 ABC
解析 由y＝ax2得，x2＝eq \f(1,a)y，则焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4a))).
∵a>0，∴2p＝eq \f(1,a)，∴p＝eq \f(1,2a)，
其准线方程为y＝－eq \f(1,4a)，∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,4a)))，A正确；
设切线方程为y＝kx－eq \f(1,4a)(k≠0)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝ax2，,y＝kx－\f(1,4a)，))
得ax2－kx＋eq \f(1,4a)＝0，
令Δ＝k2－4×a×eq \f(1,4a)＝0，解得k＝±1.
∴设切点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)，\f(1,4a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2a)，\f(1,4a)))，
因此直线AB的方程为y＝eq \f(1,4a)，B正确；
又eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)，\f(1,2a)))，eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2a)，\f(1,2a)))，
∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4a2)＋eq \f(1,4a2)＝0.
从而eq \(PA,\s\up6(→))⊥eq \(PB,\s\up6(→))，即PA⊥PB，C正确；
|AB|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2a)))))＝eq \f(1,a)，D错误．
6．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，斜率为eq \r(3)且经过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是( )
A．p＝2 B．F为AD的中点
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2
答案 ABC
解析 如图．
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，直线l的斜率为eq \r(3)，
则直线l的方程为y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，))
得12x2－20px＋3p2＝0.
解得xA＝eq \f(3,2)p，xB＝eq \f(1,6)p，
由|AF|＝eq \f(3,2)p＋eq \f(p,2)＝2p＝4，得p＝2.
∴抛物线方程为y2＝4x.
xB＝eq \f(1,6)p＝eq \f(1,3)，
则|BF|＝eq \f(1,3)＋1＝eq \f(4,3)；
|BD|＝eq \f(|BF|,cs 60°)＝eq \f(\f(4,3),\f(1,2))＝eq \f(8,3)，
∴|BD|＝2|BF|，
|BD|＋|BF|＝eq \f(8,3)＋eq \f(4,3)＝4，则F为AD的中点．
故选ABC.
7．(2020·新高考全国Ⅰ)斜率为eq \r(3)的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.
答案 eq \f(16,3)
解析 如图，由题意得，抛物线焦点为F(1,0)，
设直线AB的方程为y＝eq \r(3)(x－1)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)x－1，,y2＝4x，))
得3x2－10x＋3＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(10,3)，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝eq \f(16,3).
8．已知直线l是抛物线y2＝2px(p>0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F与l相切，则抛物线的方程为________．
答案 y2＝8x
解析 ∵半径为3的圆与抛物线的准线l相切，
∴圆心到准线的距离等于3，
又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝eq \f(p,2)，
∴eq \f(p,2)＋eq \f(p,4)＝3，∴p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x.
9．直线l过抛物线C：y2＝2px (p > 0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝____，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝________.
答案 2 1
解析 由题意知eq \f(p,2)＝1，从而p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x.
当直线AB的斜率不存在时，将x＝1代入抛物线方程，解得|AF|＝|BF|＝2，
从而eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝1.
当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝k(x－1)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,y2＝4x，))
整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(2k2＋4,k2)，,x1x2＝1，))
从而eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,x1＋1)＋eq \f(1,x2＋1)＝eq \f(x1＋x2＋2,x1＋x2＋x1x2＋1)＝eq \f(x1＋x2＋2,x1＋x2＋2)＝1.
综上，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝1.
10．点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2,1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则：
(1)|PA|＋|PF|的最小值为________；
(2)|PA|－|PF|的最小值为________，最大值为________．
答案 (1)3 (2)－eq \r(2) eq \r(2)
解析 (1)如图1，由抛物线定义可知，|PF|＝|PH|，|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|，从而最小值为A到准线的距离为3.
(2)如图2，当P，A，F三点共线，且P在FA延长线上时，|PA|－|PF|有最小值为－|AF|＝－eq \r(2).当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|PA|－|PF|有最大值为|AF|＝eq \r(2).故|PA|－|PF|的最小值为－eq \r(2)，最大值为eq \r(2).
11．定长为3的线段AB的端点A，B在抛物线y2＝x上移动，求AB的中点到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点的坐标．
解 如图所示，F是抛物线y2＝x的焦点，
过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为C，D，
过AB的中点M作准线的垂线MN，垂足为N，
则|MN|＝eq \f(1,2)(|AC|＋|BD|)．
连接AF，BF，由抛物线的定义知|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|，
所以|MN|＝eq \f(1,2)(|AF|＋|BF|)≥eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(3,2).
设点M的横坐标为x，则|MN|＝x＋eq \f(1,4)，
所以x≥eq \f(3,2)－eq \f(1,4)＝eq \f(5,4).
当弦AB过点F时等号成立，
此时，点M到y轴的距离最短，最短距离为eq \f(5,4).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2x.
当x＝eq \f(5,4)时，易知y1y2＝－p2＝－eq \f(1,4)，
所以(y1＋y2)2＝yeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,2)＋2y1y2＝2x－eq \f(1,2)＝2.
所以y1＋y2＝±eq \r(2)，得y＝±eq \f(\r(2),2)，即Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，±\f(\r(2),2))).
12．(2021·沈阳模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，且l1与l2交于点M.
(1)求p的值；
(2)若l1⊥l2，求△MAB面积的最小值．
解 (1)由题意知，抛物线焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))，
准线方程为y＝－eq \f(p,2)，
焦点到准线的距离为2，即p＝2.
(2)由(1)知抛物线的方程为x2＝4y，
即y＝eq \f(1,4)x2，所以y′＝eq \f(1,2)x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
l1：y－eq \f(x\\al(2,1),4)＝eq \f(x1,2)(x－x1)，
l2：y－eq \f(x\\al(2,2),4)＝eq \f(x2,2)(x－x2)，
由于l1⊥l2，所以eq \f(x1,2)·eq \f(x2,2)＝－1，
即x1x2＝－4.
设直线l的方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,x2＝4y，))
所以x2－4kx－4m＝0，Δ＝16k2＋16m>0，
x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m＝－4，所以m＝1，即l：y＝kx＋1.
联立方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(x1,2)x－\f(x\\al(2,1),4)，,y＝\f(x2,2)x－\f(x\\al(2,2),4)，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2k，,y＝－1，))即M(2k，－1)．
M点到直线l的距离d＝eq \f(|k·2k＋1＋1|,\r(1＋k2))＝eq \f(2|k2＋1|,\r(1＋k2))，
|AB|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝4(1＋k2)，
所以S＝eq \f(1,2)×4(1＋k2)×eq \f(2|k2＋1|,\r(1＋k2))＝ SKIPIF 1 < 0 ≥4，
当k＝0时，△MAB的面积取得最小值4.
13．抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为eq \f(\r(3),3)的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是( )
A．4 B．3eq \r(3) C．4eq \r(3) D．8
答案 C
解析 由抛物线的定义可得|AF|＝|AH|，
∵AF的斜率为eq \f(\r(3),3)，∴直线AF的倾斜角为30°，
∵AH垂直于准线，∴∠FAH＝60°，
故△AHF为等边三角形．
设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(m2,4)))，m>0，
过F作FM⊥AH于M，则在Rt△FAM中，
|AM|＝eq \f(1,2)|AF|，∴eq \f(m2,4)－1＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m2,4)＋1))，
解得m＝2eq \r(3)，故等边三角形AHF的边长|AH|＝4，
∴△AHF的面积是eq \f(1,2)×4×4sin 60°＝4eq \r(3).故选C.
14．过抛物线C：x2＝4y的焦点F作直线l交C于A，B两点，设D(0,3)．若(eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，则弦AB的长为________．
答案 4
解析 若(eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，
则线段AB的垂直平分线过点D.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则xeq \\al(2,1)＝4y1，xeq \\al(2,2)＝4y2，
两式相减得x1＋x2＝eq \f(4y1－y2,x1－x2)＝4kAB，
即kAB＝eq \f(x1＋x2,4)，
则弦AB的中点与点D(0,3)的连线的斜率k＝eq \f(\f(y1＋y2,2)－3,\f(x1＋x2,2))＝－eq \f(4,x1＋x2)，
所以y1＋y2＝2，
所以|AB|＝y1＋y2＋2＝4.
15．(2020·湖南名校大联考)已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x－4与x轴、 y轴交于M，N两点，点A(2，－4)且eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＋μeq \(AN,\s\up6(→))，则λ＋μ的最小值为________．
答案 eq \f(7,4)
解析 由题意得M(2,0)，N(0，－4)，
设P(x，y)，由eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＋μeq \(AN,\s\up6(→))得(x－2，y＋4)＝λ(0,4)＋μ(－2,0)，
∴x－2＝－2μ，y＋4＝4λ.
因此λ＋μ＝eq \f(y＋4,4)－eq \f(x－2,2)＝eq \f(x2,4)－eq \f(x,2)＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(1,2)))2＋eq \f(7,4)≥eq \f(7,4)，故λ＋μ的最小值为eq \f(7,4).
16．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作一条倾斜角为eq \f(π,4)的直线与抛物线相交于A，B两点．
(1)用p表示A，B之间的距离；
(2)证明：∠AOB的大小是与p无关的定值，并求出这个值．
解 (1)焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，过点F且倾斜角为eq \f(π,4)的直线方程是y＝x－eq \f(p,2).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,y＝x－\f(p,2)，))得x2－3px＋eq \f(p2,4)＝0.
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝3p，xAxB＝eq \f(p2,4)，
故|AB|＝xA＋xB＋p＝4peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或|AB|＝\f(2p,sin2\f(π,4))＝4p)).
(2)在△AOB中，由余弦定理可知，
cs∠AOB＝eq \f(|AO|2＋|BO|2－|AB|2,2|AO|·|BO|)＝eq \f(x\\al(2,A)＋y\\al(2,A)＋x\\al(2,B)＋y\\al(2,B)－xA－xB2－yA－yB2,2\r(x\\al(2,A)＋y\\al(2,A)x\\al(2,B)＋y\\al(2,B)))
＝eq \f(xAxB＋yAyB,\r(x\\al(2,A)＋y\\al(2,A)x\\al(2,B)＋y\\al(2,B)))＝eq \f(2xAxB－\f(p,2)xA＋xB＋\f(p2,4),\r(xAxB[xAxB＋2pxA＋xB＋4p2]))＝－eq \f(3\r(41),41).
即∠AOB的大小是与p无关的定值，
且cs∠AOB＝－eq \f(3\r(41),41).标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦点
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
对称轴
x轴
y轴
顶点
(0,0)
离心率
e＝1