新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第8章8.8抛物线（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第8章8.8抛物线（含答案解析），共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1．在平面内，已知定点A及定直线l，记动点P到l的距离为d，则“|PA|＝d”是“点P的轨迹是以点A为焦点，直线l为准线的抛物线”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2．(2023·榆林模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)上的一点M(x0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为( )
A．6 B．4 C．3 D．2
3．(2023·福州质检)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2,0)的距离小1，则P的轨迹方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝－4x D．y2＝－8x
4．(2023·北京模拟)设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|等于( )
A．3 B．4 C.eq \f(4,3) D.eq \f(7,3)
5．已知抛物线y2＝16x的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：(x－6)2＋(y－2)2＝4上，则|PQ|＋|PF|的最小值为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
6．(2024·许昌模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P是C上异于原点O的任意一点，线段PF的中点为M，则以F为圆心且与直线OM相切的圆的面积最大值为( )
A．π B.eq \f(π,2) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,4)
二、多项选择题
7．(2023·南京模拟)在平面直角坐标系Oxy中，点F是抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点，点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1))，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，则下列结论正确的是( )
A．C的准线方程为x＝eq \f(\r(2),4)
B．b＝eq \r(2)
C.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝2
D.eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(16\r(2),15)
8．(2024·大庆模拟)已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上的两点，下列结论正确的是( )
A．|MF|的最小值为2
B．若|MF|＋|NF|＝12，则线段MN的中点P到x轴的距离为6
C．若直线MN过点F，则x1x2＝4
D．若eq \(MF,\s\up6(→))＝λeq \(NF,\s\up6(→))，则|MN|的最小值为8
三、填空题
9．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A在抛物线C上，若点A到x轴的距离是|AF|－2，则p＝________.
10．(2023·洛阳模拟)清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部轴截面均近似为抛物线形状，碗盖深为3 cm，碗盖口直径为8 cm，碗体口直径为10 cm，碗体深6.25 cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为(碗体和碗盖的厚度忽略不计)________．
11．A，B是抛物线x2＝2y上的两点，O为坐标原点．若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为12eq \r(3)，则∠AOB＝________.
12．已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2＝2px(p>0)上，若|AF|＋|BF|＝4，线段AB的中点到直线x＝eq \f(p,2)的距离为1，则p的值为________．
四、解答题
13．已知动点M与点F(2,0)的距离与其到直线x＝－2的距离相等．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)求点M与点A(6,0)的距离的最小值，并指出此时M的坐标．
14．已知动圆过定点(4,0)，且在y轴上截得的弦长为8.
(1)求动圆圆心C的轨迹方程；
(2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线y＝x＋4和y轴的距离之和的最小值．
15.小明同学在一个宽口半径为1，高度为1的抛物面杯子中做小球放入实验，如图所示，要求小球能与杯底接触，则他能放入小球的最大半径是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(2),2) D．1
16．(2024·宣城模拟)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与C相交于A，B两点，且A，B两点在准线上的射影分别为M，N，eq \f(S△MNF,S△MAF)＝λ，eq \f(S△NBF,S△MNF)＝μ，则eq \f(λ,μ)＝____________.
§8.8 抛物线
1．C 2.D 3.D 4.B
5．C [如图，过点P向准线作垂线，垂足为A，则|PF|＝|PA|，
当CP垂直于抛物线的准线时，|CP|＋|PA|最小，
此时线段CP与圆C的交点为Q，因为准线方程为x＝－4，C(6,2)，
半径为2，所以|PQ|＋|PF|的最小值为|AQ|＝|CA|－2＝10－2＝8.]
6．B [由题意，作图如图所示，
设P(t2,2t)(不妨令t>0)，由已知可得F(1，0)，
则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t2＋1,2)，t))，
所以直线OM的方程为y＝eq \f(2t,t2＋1)x，
设k＝eq \f(2t,t2＋1)，则k＝eq \f(2,t＋\f(1,t))≤1，当且仅当t＝1时取等号，
所以点F到直线OM的距离为
eq \f(|k|,\r(k2＋1))＝eq \f(1,\r(1＋\f(1,k2)))≤eq \f(\r(2),2)，
即圆F的半径最大值为eq \f(\r(2),2)，面积最大值为eq \f(π,2).]
7．BD [点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1))(a>0)，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(12＝\f(a2,2)，,b2＝a2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\r(2)，,b＝\r(2)，))
则抛物线C：y2＝eq \r(2)x，
Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))，B(eq \r(2)，eq \r(2))，
抛物线C的准线方程为x＝－eq \f(\r(2),4)，故A错误，B正确；
eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \f(\r(2),2)×eq \r(2)＋1×eq \r(2)＝1＋eq \r(2)，故C错误；
抛物线C的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)，0))，
则|AF|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)－\f(\r(2),2)))2＋0－12)＝eq \f(3\r(2),4)，
|BF|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),4)－\r(2)))2＋0－\r(2)2)
＝eq \f(5\r(2),4)，
则eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2\r(2),3)＋eq \f(2\r(2),5)＝eq \f(16\r(2),15)，故D正确．]
8．AD [对于A，x2＝8y，则p＝4，焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2，
∴|MF|＝y1＋2，
∵y1≥0，∴|MF|≥2，当且仅当y1＝0时等号成立，故A正确；
对于B，∵|MF|＋|NF|＝12，
根据抛物线定义得y1＋2＋y2＋2＝12，则y1＋y2＝8，
而由中点坐标公式得点P的纵坐标yP＝eq \f(y1＋y2,2)＝4，
即点P到x轴的距离为4，故B错误；
对于C，由题意可知直线MN斜率存在，∵直线MN过点F，设直线MN的方程为y＝kx＋2，
代入抛物线方程整理得x2－8kx－16＝0，∴x1＋x2＝8k，x1x2＝－16，故C错误；
对于D，若eq \(MF,\s\up6(→))＝λeq \(NF,\s\up6(→))，则M，F，N三点共线，由题得|MF|＋|NF|＝y1＋2＋y2＋2＝y1＋y2＋4＝eq \f(x\\al(2,1)＋x\\al(2,2),8)＋4＝eq \f(x1＋x22－2x1x2,8)＋4
＝eq \f(64k2＋32,8)＋4，
当k＝0时，|MN|的最小值即为抛物线的通径长，此时最小值为8，故D正确．]
9．4 10.7 cm
11．60°
解析 如图，
∵|OA|＝|OB|，
∴A，B两点关于y轴对称，
设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a，\f(a2,2)))，
Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a2,2)))，
∴S△AOB＝eq \f(1,2)×2a×eq \f(a2,2)＝12eq \r(3)，
解得a＝2eq \r(3)，
∴B(2eq \r(3)，6)，∴tan θ＝eq \f(2\r(3),6)＝eq \f(\r(3),3)，
∴θ＝30°，∴∠AOB＝2θ＝60°.
12．1或3
解析 分别过点A，B作准线l：x＝－eq \f(p,2)的垂线，垂足分别为C，D，
设AB的中点M在准线上的射影为点N，连接MN，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
根据抛物线的定义，得|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝4，
所以在梯形ACDB中，中位线|MN|＝eq \f(1,2)(|AC|＋|BD|)＝2，
可得x0＝2－eq \f(p,2)，
因为线段AB的中点到直线x＝eq \f(p,2)的距离为1，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x0－\f(p,2)))＝1，
所以|2－p|＝1，解得p＝1或p＝3.
13．解 (1)由题意知动点M到F(2,0)的距离与它到直线x＝－2的距离相等，所以动点M的轨迹为以F(2,0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线，
因此动点M的轨迹方程为y2＝8x.
(2)设Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m2,8)，m))，
由两点间的距离公式得|MA|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m2,8)－6))2＋m2)＝eq \r(\f(m4,64)－\f(m2,2)＋36)＝eq \r(\f(1,64)m2－162＋32)，
当m2＝16，即m＝±4时，
|MA|min＝4eq \r(2)，
即当M(2,4)或M(2，－4)时，点M与点A的距离最小，最小值为4eq \r(2).
14．解 (1)设圆心C的坐标为(x，y)，
则半径r＝eq \r(x－42＋y2)，
又动圆在y轴上截得的弦长为8，
所以42＋x2＝(x－4)2＋y2，
化简得y2＝8x，
即动圆圆心C的轨迹方程为y2＝8x.
(2)如图，设轨迹C的焦点为F，点P到直线y＝x＋4的距离为|PP1|，到y轴的距离为|PP2|，点F到直线y＝x＋4的距离为|FF1|，
由抛物线的定义，
可知|PP2|＝|PF|－2，
所以|PP1|＋|PP2|＝|PP1|＋|PF|－2，
由图可知|PP1|＋|PF|的最小值为点F到直线y＝x＋4的距离，
所以(|PP1|＋|PF|)min＝|FF1|＝eq \f(6,\r(1＋1))＝3eq \r(2)，所以|PP1|＋|PP2|的最小值为3eq \r(2)－2.
15．B [作杯子的截面得一抛物线，如图，
建立平面直角坐标系，则点(1,1)在抛物线上，
设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，则1＝2p，p＝eq \f(1,2)，抛物线方程为x2＝y，
设球心为A(0，a)(a>0)，球半径为r，P(x，y)是抛物线上任一点，|AP|＝eq \r(x2＋y－a2)＝eq \r(y2＋1－2ay＋a2)，
则r＝|AP|min，小球与杯底接触，则上式在y＝0时取得最小值，
|AP|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(2a－1,2)))2＋\f(4a－1,4))，
此时eq \f(2a－1,2)≤0，即0