(新高考)高考数学一轮复习学案9.7《抛物线》(含详解)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习学案9.7《抛物线》(含详解)，共15页。学案主要包含了知识梳理，教材衍化等内容，欢迎下载使用。

第7讲　抛物线


一、知识梳理
1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中
P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋
常用结论
与焦点弦有关的常用结论

(以图为依据)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)．
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
(6)过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p(通径)．
二、教材衍化
1．若抛物线的焦点是F，则抛物线的标准方程为________．
答案：x2＝－2y
2．抛物线y2＋4x＝0的准线方程________．
答案：x＝1
3．抛物线y2＝12x上与焦点的距离等于6的点的坐标是________．
答案：(3，±6)

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)
(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　)
(3)若一抛物线过点P(－2，3)，则其标准方程可写为y2＝2px(p＞0)．(　　)
(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、易错纠偏
(1)不注意抛物线方程的标准形式；
(2)忽视p的几何意义．
1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－x B．x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y
解析：选D．设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.
2．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是________．
解析：由已知可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．
设抛物线方程为y2＝±2px(p＞0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.
答案：y2＝±4x

考点一　抛物线的定义(基础型)
了解抛物线的定义及几何图形．
核心素养：　直观想象
(1)(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P在C上，且|PF|＝，则p＝(　　)
A． B．
C． D．1
(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
【解析】　(1)抛物线的准线方程为y＝－，因为P 在抛物线上，所以点P到准线的距离d＝＋＝|PF|＝，则p＝，故选B．
(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.

则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
【答案】　(1)B　(2)4
【迁移探究1】　(变条件)若将本例(2)中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．
解：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．
因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，
所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝＝2，
即|PB|＋|PF|的最小值为2.
【迁移探究2】　(变设问)若本例(2)条件不变，求P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是________．
解析：由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离，所以点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1，0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.
答案：2

抛物线定义的应用
(1)利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.　

1．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)
A． B．1
C． D．
解析：选C．如图所示，设抛物线的准线为l，AB的中点为M，作AA1⊥l于点A1，BB1⊥l于点B1，MM1⊥l于点M1，由抛物线的定义知p＝，|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，则点M到y轴的距离为|MM1|－＝(|AA1|＋|BB1|)－＝.故选C．

2．(2020·沈阳市质量监测(一))抛物线y2＝6x上一点M(x1，y1)到其焦点的距离为，则点M到坐标原点的距离为________．
解析：由y2＝6x，知p＝3，由焦半径公式得x1＋＝，即x1＝3.代入得y＝18，则|MO|＝＝3(O为坐标原点)，故填3.
答案：3
考点二　抛物线的标准方程及性质(基础型)
了解抛物线的标准方程及其简单的几何性质．
核心素养：　数学运算、直观想象
(1)(2020·陕西榆林二模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，则抛物线的标准方程为(　　)
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝8x
(2)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】　(1)抛物线y2＝2px(p＞0)上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，由抛物线的定义可得xM＋＝xM＋，所以p＝1，所以抛物线方程为y2＝2x.故选B．
(2)由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，
由|AB|＝4，|DE|＝2，
可取A，D，
设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，
得＋8＝＋5，得p＝4，故选B．
【答案】　(1)B　(2)B

(1)求抛物线标准方程的方法
①先定位：根据焦点或准线的位置；
②再定形：即根据条件求p.
(2)抛物线性质的应用技巧
①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程；
②要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．　

1．若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程为________．
解析：令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.所以抛物线的焦点是(4，0)或(0，－2)，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.
答案：y2＝16x或x2＝－8y
2．(2020·沈阳质量检测(一))已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶点A，B在抛物线y2＝3x上，则△AOB的边长是________．
解析：如图，设△AOB的边长为a，则A，因为点A在抛物线y2＝3x上，所以a2＝3×a，所以a＝6.

答案：6
3．(2020·东北四市模拟)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为________．
解析：由题意知x2＝y，则F，
设P(x0，2x)，
则|PF|＝ ＝＝2x＋，
所以当x＝0时，|PF|min＝.
答案：
考点三　直线与抛物线的位置关系(综合型)
了解圆锥曲线的简单应用，了解抛物线的实际背景．
核心素养：数学运算、逻辑推理
(2019·高考全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.
【解】 设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝.
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－.
从而－＝，得t＝－.
所以l的方程为y＝x－.
(2)由＝3可得y1＝－3y2.
由可得y2－2y＋2t＝0.
所以y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝.
故|AB|＝.

解决直线与抛物线位置关系问题的方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
[注意]　涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．　

1．已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为(　　)
A．x2＝y B．x2＝6y
C．x2＝－3y D．x2＝3y
解析：选D．设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由消去y得x2－2ax＋2a＝0，
所以＝＝3，即a＝3，
所以所求的抛物线方程是x2＝3y.
2．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选D．法一：过点(－2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由
得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以＝(0，2)，＝(3，4)，所以·＝8.故选D．
法二：过点(－2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＞0，y2＞0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1，0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝4－5＋1＋8＝8.故选D．
3．过点(－2，1)斜率为k的直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则由k的值组成的集合为________．
解析：设l的方程为y－1＝k(x＋2)，
由方程组得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0，①当k＝0时，y＝1，此时x＝，l与抛物线仅有一个公共点；②当k≠0时，由Δ＝－16(2k2＋k－1)＝0，得k＝－1或k＝，所以k的值组成的集合为.
答案：

[基础题组练]
1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　)
A．(－1，0) B．(1，0)
C．(0，－1) D．(0，1)
解析：选B．抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－且过点(－1，1)，故－＝－1，解得p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1，0)．
2．(2020·湖南省湘东六校联考)抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m，－3)到焦点的距离为4，则抛物线方程为(　　)
A．x2＝8y B．x2＝4y
C．x2＝－4y D．x2＝－8y
解析：选C．依题意，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，则＋3＝4，所以p＝2，所以抛物线的方程为x2＝－4y，故选C．
3．(2020·甘肃张掖第一次联考)已知抛物线C1：x2＝2py(y＞0)的焦点为F1，抛物线C2：y2＝(4p＋2)x的焦点为F2，点P在C1上，且|PF1|＝，则直线F1F2的斜率为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选B．因为|PF1|＝，
所以＋＝，解得p＝.
所以C1：x2＝y，C2：y2＝4x，F1，F2(1，0)，
所以直线F1F2的斜率为＝－.故选B．
4. (应用型)(2020·河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m，跨径为12 m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为(　　)

A． m B． m
C． m D． m
解析：选D．建立如图所示的平面直角坐标系．

设抛物线的解析式为x2＝－2py，p＞0，
因为抛物线过点(6，－5)，所以36＝10p，可得p＝，
所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 m．故选D．
5．(2020·河北衡水三模)设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若A，B，C三点坐标分别为(1，2)，(x1，y1)，(x2，y2)，且||＋||＋||＝10，则x1＋x2＝(　　)
A．6　　　　　　　　　 B．5
C．4 D．3
解析：选A．根据抛物线的定义，知||，||，||分别等于点A，B，C到准线x＝－1的距离，所以由||＋||＋||＝10，可得2＋x1＋1＋x2＋1＝10，即x1＋x2＝6.故选A．
6．在直角坐标系xOy中，有一定点M(－1，2)，若线段OM的垂直平分线过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．
解析：依题意可得线段OM的垂直平分线的方程为2x－4y＋5＝0，把焦点坐标代入可求得p＝，所以准线方程为y＝－.
答案：y＝－
7．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为________．
解析：由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，
得＋8＝＋5，得p＝4.
答案：4
8．(2020·湖南师大附中月考改编)抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________，抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为________．
解析：抛物线的焦点坐标为，准线方程为y＝－，准线方程与双曲线方程联立可得－＝1，解得x＝±，因为△ABF为等边三角形，所以|AB|＝p，即×2＝p，解得p＝6.则抛物线的焦点坐标为(0，3)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，则抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为＝.
答案：6　
9．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长|AB|＝3，求此抛物线方程．
解：设所求的抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线y＝2x－4代入y2＝ax，
得4x2－(a＋16)x＋16＝0，
由Δ＝(a＋16)2－256＞0，得a＞0或a＜－32.
又x1＋x2＝，x1x2＝4，
所以|AB|＝＝ ＝3，
所以5＝45，
所以a＝4或a＝－36.
故所求的抛物线方程为y2＝4x或y2＝－36x.
10．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，
于是4＋＝5，所以p＝2.
所以抛物线方程为y2＝4x.
(2)因为点A的坐标是(4，4)，
由题意得B(0，4)，M(0，2)．
又因为F(1，0)，所以kFA＝，
因为MN⊥FA，所以kMN＝－.
又FA的方程为y＝(x－1)，①
MN的方程为y－2＝－x，②
联立①②，解得x＝，y＝，
所以点N的坐标为.
[综合题组练]
1．(多选)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF＝60°，则(　　)
A．∠FQP＝60°　　　　　　　 B．|QM|＝1
C．|FP|＝4 D．|FR|＝2
解析：选ACD．如图，连接FQ，FM，因为M，N分别为PQ，PF的中点，所以MN∥FQ，又PQ∥x轴，∠NRF＝60°，所以∠FQP＝60°，由抛物线的定义知，|PQ|＝|PF|，所以△FQP为等边三角形，则FM⊥PQ，|QM|＝2，等边三角形FQP的边长为4，|FP|＝|PQ|＝4，|FN|＝|PF|＝2，则△FRN为等边三角形，所以|FR|＝2.故选ACD．

2．(多选)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，则直线AB的斜率为(　　)
A．　　　　　　　　 B．
C．－ D．－
解析：选BD．如图所示，当点A在第一象限时，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作x轴的垂线，与EB交于点C，则四边形ADEC为矩形．由抛物线的定义可知|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，设|AF|＝3|BF|＝3m，所以|AD|＝|CE|＝3m，所以|AB|＝4m，在Rt△ABC中，|BC|＝2m，所以∠ABC＝60°，所以直线l的斜率为；当点B在第一象限时，同理可知直线l的斜率为－.

3．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为________．
解析：由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＞0，y2＜0)，如图所示，|AF|＝x1＋1＝3，
所以x1＝2，y1＝2.

设AB的方程为x－1＝ty，
由
消去x得y2－4ty－4＝0.
所以y1y2＝－4，所以y2＝－，x2＝，
所以S△AOB＝×1×|y1－y2|＝.
答案：
4．过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则l的斜率为________．
解析：设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作AA′⊥m，NN′⊥m，BB′⊥m，垂足分别为A′，N′，B′.
因为直线l过抛物线的焦点，所以|BB′|＝|BF|，|AA′|＝|AF|.
又N是线段AB的中点，|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝(|BB′|＋|AA′|)＝(|BF|＋|AF|)＝|AB|＝|MN|，所以∠MNN′＝60°，则直线MN的倾斜角为120°.又MN⊥l，所以直线l的倾斜角为30°，斜率是.
答案：
5．设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为2.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝2，
故直线AB的斜率k＝＝＝1.
(2)由y＝，得y′＝x.
设M(x3，y3)，由题设知x3＝1，于是M.
设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(1，1＋m)，|MN|＝.
将y＝x＋m代入y＝，得x2－2x－2m＝0.
由Δ＝4＋8m＞0，得m＞－，x1，2＝1±.
从而|AB|＝|x1－x2|＝2.
由题设知|AB|＝2|MN|，
即＝，
解得m＝或m＝－(舍)．
所以直线AB的方程为y＝x＋.
6．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.
(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．
解：设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，
则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①
(1)由x2＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率的乘积为＝－，
因为点N在以AB为直径的圆上，所以AN⊥BN，
所以－＝－1，所以p＝2.
(2)易得直线AN：y－y1＝(x－x1)，直线BN：y－y2＝(x－x2)，
联立，得
结合①式，解得即N(pk，－1)．
|AB|＝|x2－x1|＝·＝，
点N到直线AB的距离d＝＝，
则△ABN的面积S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，当k＝0时，取等号，
因为△ABN的面积的最小值为4，
所以2＝4，所以p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.