新高考数学一轮复习考点学案第8章§8.6椭圆（含答案解析）

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1.椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 .
注意：(1)当动点M满足|MF1|+|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；
(2)当动点M满足|MF1|+|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；
(3)当动点M满足|MF1|+|MF2|＝常数0)的离心率为( )
A.105B.35C.225D.25
4.若椭圆C：x24+y23＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为 .
椭圆中常见结论：
P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大；当点P为长轴端点时，θ最小为0.
(2)|PF1|max＝a+c，|PF1|min＝a－c.
(3)|PF1|·|PF2|≤PF1|+PF2|22＝a2.
(4)4c2＝|PF1|2+|PF2|2－2|PF1||PF2|cs θ.
(5)焦点三角形的周长为2(a+c).
题型一 椭圆的定义及其应用
例1 (1)已知动圆M和圆C1：(x+1)2+y2＝36内切，并和圆C2：(x－1)2+y2＝4外切，则动圆圆心M的轨迹是( )
A.直线
B.圆
C.焦点在x轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的椭圆
(2)(2025·长沙模拟)已知点O为坐标原点，椭圆x29+y25＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，设线段PF1的中点为M，且|OF2|＝|OM|，则△PF1F2的面积为( )
A.15B.152C.37D.415
思维升华 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等.
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
跟踪训练1 (1)(2024·惠州模拟)已知椭圆的方程为x29+y24＝1，过椭圆中心的直线交椭圆于A，B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长的最小值为( )
A.8B.6+23C.10D.8+23
(2)设F1，F2为椭圆C：x24+y2＝1的两个焦点，点P在椭圆C上，若PF1·PF2＝0，则△PF1F2的面积为 .
题型二 椭圆的标准方程
例2 (1)过点P(2，2)且与椭圆x210+y2＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )
A.x222+y2229＝1B.x212+y23＝1
C.y216+x27＝1D.y212+x23＝1
(2)已知椭圆C的焦点在坐标轴上，且经过A(－3，－2)和B(－23，1)两点，则椭圆C的标准方程为 .
思维升华 根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；与椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为x2a2+m+y2b2+m＝1(a>b>0，m>－b2)；与椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为x2a2+y2b2＝λ或y2a2+x2b2＝λ(a>b>0，λ>0).
跟踪训练2 (1)(2025·九江模拟)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为π6的直线交C于第一象限内一点A.若线段AF1的中点在y轴上，△AF1F2的面积为23，则椭圆C的方程为( )
A.x23+y2＝1B.x23+y22＝1
C.x29+y23＝1D.x29+y26＝1
(2)(2025·开封模拟)已知椭圆C的中心为原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(3，0)，则椭圆C的标准方程为 .
题型三 椭圆的几何性质
命题点1 离心率
例3 (2024·衡水模拟)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2向圆x2+y2＝14b2引切线交椭圆于点P，O为坐标原点，若|OP|＝|OF2|，则椭圆的离心率为( )
A.12B.32C.53D.23
思维升华 求椭圆离心率或其范围的方法
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝ca求解.
(2)由a与b的关系，利用变形公式e＝1−b2a2求解.
(3)构造a，c的方程.可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
命题点2 与椭圆有关的范围(最值)
例4 (多选)已知椭圆x216+y24＝1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则( )
A.S△PF1F2的最大值为43
B.|PF1|的取值范围是[4－23，4+23]
C.不存在点P使PF1⊥PF2
D.|PB|的最大值为25
思维升华 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.
(2)利用函数，尤其是二次函数.
(3)利用不等式，尤其是基本不等式.
跟踪训练3 (1)(多选)已知椭圆x29+y2b2＝1(00)，则2a＝8,2c＝4,a2＝b2+c2,解得a2＝16,b2＝12,
故动点P的轨迹方程为x216+y212＝1.]
3.A [由椭圆的标准方程可得
a2＝5m，b2＝3m，所以离心率
e＝ca＝1−b2a2＝1−3m5m
＝25＝105.]
4.3
解析 由题意知a＝2，b＝3，所以c＝1，则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a+c＝3.
探究核心题型
例1 (1)C [设动圆的圆心M的坐标为(x，y)，半径为r，
因为动圆M与圆C1：(x+1)2+y2＝36内切，且与圆C2：(x－1)2+y2＝4外切，
可得|MC1|＝6－r，|MC2|＝r+2，
所以|MC1|+|MC2|
＝8>|C1C2|＝2，
根据椭圆的定义知，动点M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝8，2c＝2，
可得a＝4，c＝1，
则b＝a2−c2＝15，
所以动点M的轨迹方程为
x216+y215＝1，
所以其轨迹为焦点在x轴上的椭圆.]
(2)A [由题意可得a＝3，b＝5，
c＝9−5＝2.
如图，因为O，M分别是F1F2和PF1的中点，
所以|PF2|＝2|OM|＝2|OF2|＝2c＝4，
根据椭圆定义，
可得|PF1|＝2a－|PF2|＝2，
又因为|F1F2|＝2c＝4，
所以△PF1F2为等腰三角形，
且F2到PF1的距离为h＝
PF2|2−PF1|22＝15，
故△PF1F2的面积为12|PF1|·h＝15.]
跟踪训练1 (1)C [椭圆的方程为x29+y24＝1，则a＝3，b＝2，
设椭圆的左焦点为F1，连接AF1，BF1，如图.
则由椭圆的中心对称性可知
|OA|＝|OB|，
|OF1|＝|OF2|，
可知四边形AF1BF2为平行四边形，
则|BF2|＝|AF1|，
可得△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|＝|AF2|+|AF1|+|AB|＝2a+|AB|，
当A，B分别位于短轴的端点时，|AB|取最小值，最小值为2b＝4，
所以周长为
2a+|AB|≥6+4＝10.]
(2)1
解析 因为椭圆C：x24+y2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝3，
又因为PF1·PF2＝0，
所以PF1⊥PF2，即PF1⊥PF2，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m+n＝4，①
且m2+n2＝(23)2，②
由①2－②得到2mn＝4，即mn＝2，
所以S△PF1F2＝12mn＝1.
例2 (1)B [方法一 依题意，
所求椭圆的焦点为F1(－3，0)，
F2(3，0)，
∴2a＝|PF1|+|PF2|
＝(2+3)2+(2)2
+(2−3)2+(2)2
＝43，
∴a＝23，又c＝3，
∴b2＝a2－c2＝3，
∴所求椭圆的方程为x212+y23＝1.
方法二 椭圆x210+y2＝1的焦点为(±3，0)，
∴设与椭圆x210+y2＝1共焦点的椭圆的方程为x2a2+y2a2−9＝1，a2>9，
代入点(2，2)得4a2+2a2−9＝1，
解得a2＝12(a2＝3舍去)，
故所求椭圆的方程为x212+y23＝1.]
(2)x215+y25＝1
解析 设所求椭圆的方程为mx2+ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
将A和B的坐标代入方程得
3m+4n＝1,12m+n＝1,解得m＝115,n＝15,
则所求椭圆的标准方程为x215+y25＝1.
跟踪训练2 (1)D [如图，∵O为线段F1F2的中点，B为线段AF1的中点，
∴OB∥AF2，又OB⊥x轴，
∴AF2⊥x轴.
在Rt△AF1F2中，∠AF1F2＝π6，
设|AF2|＝t(t>0)，
则|AF1|＝2t，|F1F2|＝3t.
∵△AF1F2的面积为23，
∴12×3t×t＝23，t＝2.
∴2a＝|AF1|+|AF2|＝3t＝6，a＝3，
2c＝|F1F2|＝3t＝23，c＝3，b2＝a2－c2＝6，
则椭圆C的方程为x29+y26＝1.]
(2)x29+y2＝1或y281+x29＝1
解析 当椭圆C的焦点在x轴上时，设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，
由题可知2a＝6b,a＝3,所以b＝1,a＝3,
则椭圆C的标准方程为x29+y2＝1；
当椭圆C的焦点在y轴上时，
设椭圆C的标准方程为
y2a2+x2b2＝1(a>b>0)，
由题可知2a＝6b,b＝3,所以b＝3,a＝9,
则椭圆C的标准方程为y281+x29＝1.
例3 C [由椭圆的对称性，设P位于x轴上方，画出图形如图，设切点为M，连接PF1，OM，
由已知|OP|＝|OF2|＝|OF1|，
∴PF1⊥PF2，
∵OM⊥PF2，∴OM∥PF1，
又O是F1F2的中点，
圆x2+y2＝14b2的半径为12b，
则|PF1|＝2|OM|＝b，
|PF2|＝2a－b，
∴b2+(2a－b)2＝4c2＝4(a2－b2)，
即2a＝3b，得ba＝23，
故e＝ca＝a2−b2a2
＝1−ba2＝53.]
例4 AB [对于A，
依题意知a＝4，b＝2，c＝23，
当P为短轴端点时，(S△PF1F2)max＝12×2c×b＝43，故A正确；
对于B，由椭圆的性质知|PF1|的取值范围是[a－c，a+c]，
即[4－23，4+23]，故B正确；
对于C，sin∠F2BO＝ca＝32，
所以∠F2BO＝π3，所以∠F1BF2＝2π3，即∠F1PF2的最大值为2π3，
最小值为0，所以存在点P使PF1⊥PF2，故C错误；
对于D，设P(x0，y0)，所以|PB|＝x02+(y0−2)2，又x0216+y024＝1，
所以x02＝16－4y02，
所以|PB|＝16−4y02+(y0−2)2＝−3y02−4y0+20
＝−3y0+232+643，又－2≤y0≤2，故当y0＝－23时，|PB|max＝643＝833，故D错误.]
跟踪训练3 (1)BD [易知当AB⊥x轴时，即线段AB为通径时，|AB|最短，
∴|AB|＝2b23＝4，解得b2＝6，
∴椭圆方程为x29+y26＝1.
对于A，椭圆的短轴长为2b＝26，故A错误；
对于B，∵△ABF2的周长为
|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝4a＝12，
且|AB|min＝4，
∴(AF2|+BF2|)max
＝12－|AB|min＝8，故B正确；
对于C，∵c＝a2−b2＝3，a＝3，∴离心率e＝ca＝33，故C错误；对于D，易知当点P位于短轴端点时，∠F1PF2最大，
此时|PF1|＝|PF2|＝a＝3，
|F1F2|＝2c＝23，
∴cs∠F1PF2＝a2+a2−(2c)22a2＝13>0，又∠F1PF2为三角形内角，∴∠F1PF2∈0，π2，∴椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2＝π2，
故D正确.]
(2)12，1
解析 因为|PF1|＝3|PF2|，
则2a＝|PF1|+|PF2|＝4|PF2|，
解得|PF2|＝a2，
又因为|PF2|＝a2∈[a－c，a+c]，
则e＝ca≥12，
又00)
y2a2+x2b2＝1
(a>b>0)
范围
顶点
轴长
短轴长为 ，长轴长为
焦点
焦距
|F1F2|＝
对称性
对称轴： ，对称中心：
离心率
a，b，c
的关系