新高考数学一轮复习课件 第8章　§8.7　抛物线（含详解）

这是一份新高考数学一轮复习课件 第8章　§8.7　抛物线（含详解），共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练，或22，所以FN＝16，解得xM＝5，∵MA⊥MB，y2＝4x等内容，欢迎下载使用。

1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用.
1.抛物线的概念把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的______，直线l叫做抛物线的_____.
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
1.通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.(　 　)(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1,0).(　 　)(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.(　 　)(4)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.(　 　)
2.过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于A.9 B.8 C.7 D.6
抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
3.抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为A.y2＝8x B.y2＝4x C.y2＝2x D.y2＝x
例1　(1)(2022·全国乙卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|等于
方法一　由题意可知F(1,0)，抛物线的准线方程为x＝－1.
因为|BF|＝3－1＝2，
解得y0＝±2，所以A(1,2)或A(1，－2).不妨取A(1,2)，
方法二　由题意可知F(1,0)，故|BF|＝2，所以|AF|＝2.因为抛物线的通径长为2p＝4，所以AF的长为通径长的一半，所以AF⊥x轴，
(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________.
当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.
当点M(20,40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.
解得p＝22或p＝58.当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去.综上，p＝42或p＝22.
“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.
(2)若P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动点Q的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________.
圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4的圆心为C(－3,3)，半径r＝2，抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，因为P是抛物线y2＝8x上的动点，P到y轴的距离为d1，到圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝4上动点Q的距离为d2，所以要使d1＋d2最小，即P到抛物线的焦点与到圆C的圆心的距离最小，
如图，连接PF，FC，则d1＋d2的最小值为|FC|减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，
例2　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)准线方程为2y＋4＝0；
准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0).
(2)过点(3，－4)；
∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0).把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0).∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
求抛物线的标准方程的方法(1)定义法.(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.
跟踪训练2　(1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为
如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则|BC|＝2a，由抛物线的定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，∴在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，∴3＋3a＝6，解得a＝1，
因此抛物线的方程为y2＝3x.
则抛物线方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
例3　(1)在抛物线y2＝8x上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为△ABC的重心，则|AF|＋|BF|＋|CF|等于A.6　　　B.8　　　C.9　　　D.12
由题意得，F为△ABC的重心，
设点A，B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，∵抛物线y2＝8x，F为其焦点，∴F(2,0)，
∴x1＋x2＋x3＝6，
因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，所以|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p＝8，得p＝4，故A正确；
因为|AE|＝|EF|＝2|PF|，且PF∥AE，
因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以|BD|＝2|BM|＝2|BF|，故C正确；因为|BD|＝2|BF|，
应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.
跟踪训练3　(1)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为_________.
所以tan∠OPF＝tan∠PQF，
|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，
易知焦点F的坐标为(4,0)，准线l的方程为x＝－4，如图，抛物线准线与x轴的交点为A，作MB⊥l于点B，NC⊥l于点C，
又|CN|＝4，|OF|＝4，
2.(2023·榆林模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)上的一点M(x0,1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为A.6 B.4 C.3 D.2
3.(2023·福州质检)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2,0)的距离小1，则P的轨迹方程为A.y2＝2x B.y2＝4xC.y2＝－4x D.y2＝－8x
由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2,0)的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2,0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.
4.(2022·北京模拟)设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若∠OFM＝120°，则|FM|等于
过点M作抛物线的准线l的垂线，垂足为点N，连接FN，如图所示，因为∠OFM＝120°，MN∥x轴，则∠FMN＝60°，由抛物线的定义可得|MN|＝|FM|，所以△FNM为等边三角形，则∠FNM＝60°，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，设直线x＝－1交x轴于点E，则∠ENF＝30°，易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，则|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4.
5.(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m,2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是A.p＝4B.抛物线方程为y2＝16xC.直线l的方程为y＝2x－4D.|AB|＝10
由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；则抛物线的方程为y2＝8x，焦点F(2,0)，故B错误；
若M(m,2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，
∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；
又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确.
7.如图是抛物线形拱桥，当水面为l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.则水位下降1米后，水面宽______米.
8.(2021·北京)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是_____，作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝_______.
因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1,0)，
9.过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.(1)求抛物线C的方程；
当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程.
∵点M(－2，y0)在抛物线C上，
又直线l过点F(0,1)，∴设直线l的方程为y＝kx＋1.
得x2－4kx－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，∴－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2或k＝0.当k＝0时，l过点M，不符合题意，∴k＝2，∴直线l的方程为y＝2x＋1.
10.已知在抛物线C：x2＝2py(p>0)的第一象限的点P(x,1)到其焦点的距离为2.(1)求抛物线C的方程和点P的坐标；
故抛物线的方程为x2＝4y，当y＝1时，x2＝4，又因为x>0，所以x＝2，所以点P的坐标为(2,1).
由题意可得直线l的斜率存在，
所以Δ＝16k2＋4(4k＋2)>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k－2，因为∠APB的角平分线与y轴垂直，所以kPA＋kPB＝0，
即x1＋x2＋4＝0，所以k＝－1，x1＋x2＝－4，x1x2＝2，
11.(多选)(2023·唐山模拟)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线r：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点　 射入，经过r上的点A(x1，y1)反射后，再经r上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则下列结论正确的是A.y1y2＝－1B.|AB|＝C.PB平分∠ABQD.延长AO交直线x＝ 于点C，则C，B，Q三点共线
设抛物线的焦点为F，如图所示，
故△APB为等腰三角形，故∠ABP＝∠APB，而l1∥l2，故∠PBQ＝∠APB，即∠ABP＝∠PBQ，故PB平分∠ABQ，故C正确；
所以C，B，Q三点共线，故D正确.
12.(2022·阜宁模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，MH⊥l于H，若|MH|＝4，∠HFM＝60°，则抛物线C的方程为_________.
因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以|MF|＝|MH|＝4，又∠HFM＝60°，所以△MHF为正三角形，所以|HF|＝4，记准线l与x轴交于点Q，则∠QHF＝30°，所以p＝|QF|＝|HF|sin∠QHF＝4sin 30°＝2，所以该抛物线方程为y2＝4x.
13.(2023·泰州模拟)在平面直角坐标系Oxy中，点A(1,0)，B(9,6)，动点C在线段OB上，BD⊥y轴，CE⊥y轴，CF⊥BD，垂足分别是D，E，F，OF与CE相交于点P.已知点Q在点P的轨迹上，且∠OAQ＝120°，则|AQ|等于
设P(x，y)，则yC＝y，
∵FC∥y轴，∴△OPE∽△FPC，
∴P的轨迹方程为y2＝4x在第一象限的部分且0≤x≤9，故A(1,0)为该抛物线的焦点.