高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册数学归纳法导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册数学归纳法导学案，共9页。学案主要包含了模块一 目标引领，模块二 预习导航，归纳奠基，归纳递推，模块三 知识点梳理，温馨提示，课堂探究活动，模块四 范例导学等内容，欢迎下载使用。
一、我能说出数学归纳法的两个基本步骤，知道什么是归纳奠基，什么是归纳递推。
二、我能判断一个命题是否适合用数学归纳法证明，找准命题成立的初始值n₀。
三、我能用数学归纳法证明简单的数列通项公式和等式问题，每一步都写清楚依据。
四、我能在证明n=k+1时，主动寻找n=k时的结构影子，正确使用归纳假设。
【模块二 预习导航】
一、概念填空
1. 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）【归纳奠基】证明当n取_时命题成立；
（2）【归纳递推】假设当n=k（k≥n₀，k∈N）时命题成立，推出当_时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n₀开始的所有正整数n都成立。
2. 数学归纳法的两个步骤缺一不可。只有第一步没有第二步，属于_归纳法，结论不一定正确；只有第二步没有第一步，假设就失去了成立的基础。
二、判断正误（对的打√，错的打×）
1. 数学归纳法只能证明与正整数有关的命题。（ ）
2. 用数学归纳法证明时，第一步必须验证n=1时成立。（ ）
3. 证明n=k+1时，可以不用归纳假设，直接用其他方法证明。（ ）
4. 多米诺骨牌游戏中，第一张骨牌倒下对应归纳奠基，前一张倒下能推倒后一张对应归纳递推。（ ）
三、生活应用
你在生活中见过类似"递推"的现象吗？举一个例子写在下面。比如：排队传话、鞭炮连锁爆炸、共享单车扫码解锁后下一辆也能解锁……
【模块三 知识点梳理】
一、问题链驱动学习
问题一：为什么需要数学归纳法？
我们之前学过等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d，是通过观察前几项的规律猜出来的。这种由有限个特殊事例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法。说白了，就是"看了几个例子就下结论"。这样得出的结论一定对吗？不一定。比如你看到三只天鹅都是白的，就说"所有天鹅都是白的"，这就不对。那怎么证明对所有正整数n都成立呢？总不能一个一个验证吧，正整数有无穷多个。数学归纳法就是解决这个问题的，用有限的两步证明无限的情形。
问题二：数学归纳法的原理是什么？
数学归纳法的原理可以用多米诺骨牌来理解。想象一排多米诺骨牌，如果满足两个条件：第一张骨牌倒下；任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定能推倒后一张。那么所有的骨牌都会倒下。数学归纳法也是这个道理：第一步证明n=n₀时成立（第一张倒下），第二步证明如果n=k时成立那么n=k+1时也成立（前一张推倒后一张），这样就能推出对所有n≥n₀的正整数都成立。
【注意】这里的k是任意的，不是某个具体的数。只要假设k成立能推出k+1成立，这个递推链条就建立起来了。
问题三：数学归纳法的步骤怎么写才规范？
第一步（归纳奠基）：验证当n=n₀时，命题成立。n₀不一定是1，要看题目具体要求。比如证明"对n≥3的正整数成立"，那n₀就是3。
第二步（归纳递推）：假设当n=k（k≥n₀，k∈N）时命题成立，然后利用这个假设去证明n=k+1时命题也成立。这一步是核心，必须用到归纳假设，不然就不是数学归纳法了。
第三步（结论）：根据（1）和（2），可知命题对从n₀开始的所有正整数n都成立。
【温馨提示】第二步中，n=k+1时的表达式一定要先写出来，然后想办法把它拆成"n=k时的部分+新增的部分"，这样才能代入归纳假设。
问题四：数学归纳法可以用来证明哪些问题？
数学归纳法主要用来证明与正整数有关的命题，常见的有：数列通项公式的证明、等式的证明、不等式的证明、整除性问题、几何计数问题等等。在数列这一章，我们主要用它来证明数列的通项公式或者前n项和公式。
【课堂探究活动】
前后桌四人一组，讨论一个问题：如果用数学归纳法证明"1+2+3+…+n=n(n+1)/2"，那么n=k+1时，左边的式子比n=k时多了哪一项？请每组派代表回答。
教师提问："同学们，n=k时左边是1+2+…+k，那n=k+1时左边是什么呀？"
学生活动：先独立思考1分钟，然后小组讨论2分钟，最后举手回答。
参考答案：多了第k+1项，也就是(k+1)。n=k+1时左边=1+2+…+k+(k+1)。
问题五：为什么两个步骤缺一不可？
只有第一步没有第二步，那就是不完全归纳，结论不可靠。比如证明"n²+n+41是质数"，n=1到n=39都成立，但n=40时就不成立了。只有第二步没有第一步呢？那假设就成了空中楼阁。比如假设"n=k时，k=k+1"，确实能推出n=k+1时k+1=k+2，但第一步就不成立，整个证明毫无意义。
【重点】
学生在学习数学归纳法时，最常出现的问题是第二步不会用归纳假设。很多同学证明n=k+1时，直接用等差数列求和公式或者其他方法把结果算出来，然后说"看，n=k+1时也成立"。这是典型的伪证，不是数学归纳法。为什么会这样？因为学生没有真正理解归纳递推的意义，只是机械地背步骤。递推的本质是"由前一个成立推出后一个成立"，如果不用前一个的结论，那递推链条就断了。就像多米诺骨牌，第二张不是被第一张推倒的，是自己倒的，那第三张会不会倒就不知道了。所以做第二步的时候，一定要问自己：我用到n=k时的假设了吗？如果没用到，那肯定写错了。
【难点】
学生理解数学归纳法的原理是难点，尤其是"为什么假设n=k成立就能推出所有的都成立"。很多同学觉得"假设成立，这不就是循环论证吗"。突破这个难点，可以用多米诺骨牌的类比，再配合一个5分钟的课堂活动。具体做法是：准备10张卡片，每张卡片上写一个正整数，从1到10。请第一位同学验证n=1时命题成立（对应归纳奠基），然后请第二位同学说"如果n=1成立，那么n=2也成立"，第三位同学说"如果n=2成立，那么n=3也成立"，依此类推。说完一轮后，问全班："现在我们能确定n=5成立吗？"同学们会说能，因为1成立推出2成立，2成立推出3成立，一直推到5。然后再问："那n=100呢？"同学们也会说能，因为这个递推关系是通用的，对任意k都成立。通过这个活动，学生就能直观地感受到，只要有了奠基和递推，就能推到任意大的n，不是循环论证。
二、板书设计
数学归纳法
一、原理：多米诺骨牌类比
二、步骤：
1. 归纳奠基：n=n₀时成立
2. 归纳递推：假设n=k成立 → n=k+1成立
3. 结论：对所有n≥n₀成立
三、关键：第二步必须用归纳假设
四、应用：数列、等式、不等式、整除
【模块四 范例导学】
一、例题一（证明等式）
题目：用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n-1)=n²（n∈N）。
证明：
（1）当n=1时，左边=2×1-1=1，右边=1²=1，左边=右边，等式成立。
（2）假设当n=k（k∈N）时等式成立，即1+3+5+…+(2k-1)=k²。
那么当n=k+1时，
左边=1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]
=k²+(2k+1) （这里用了归纳假设）
=k²+2k+1
=(k+1)²
=右边
所以当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N都成立。
方法总结：证明等式时，n=k+1的左边先写出完整的式子，然后把前k项换成归纳假设的结果，再化简看是否等于右边。
二、例题二（证明数列通项）
题目：已知数列{aₙ}满足a₁=2，aₙ₊₁=aₙ+2n（n∈N），猜想通项公式并用数学归纳法证明。
解：先算前几项找规律：
a₁=2
a₂=a₁+2×1=2+2=4
a₃=a₂+2×2=4+4=8
a₄=a₃+2×3=8+6=14
观察发现：a₁=1²-1+2=2，a₂=2²-2+2=4，a₃=3²-3+2=8，a₄=4²-4+2=14。
猜想：aₙ=n²-n+2。
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，a₁=1²-1+2=2，与已知相符，猜想成立。
（2）假设当n=k（k∈N）时猜想成立，即aₖ=k²-k+2。
那么当n=k+1时，
aₖ₊₁=aₖ+2k
=(k²-k+2)+2k （用了归纳假设）
=k²+k+2
=(k²+2k+1)-(k+1)+2
=(k+1)²-(k+1)+2
所以当n=k+1时猜想也成立。
根据（1）和（2），可知猜想对任何n∈N都成立。
方法总结："归纳—猜想—证明"是数列中常用的模式。先算前几项找规律，猜出通项，再用数学归纳法证明。证明n=k+1时，要利用递推关系把aₖ₊₁用aₖ表示，再代入假设。
三、例题三（初始值不是1）
题目：用数学归纳法证明：当n≥3，n∈N时，n边形的内角和等于(n-2)×180°。
证明：
（1）当n=3时，三角形内角和为180°，(3-2)×180°=180°，命题成立。
（2）假设当n=k（k≥3，k∈N）时命题成立，即k边形的内角和等于(k-2)×180°。
那么当n=k+1时，我们可以在k+1边形中连接一条对角线，把它分成一个k边形和一个三角形。
k边形的内角和是(k-2)×180°（归纳假设），三角形内角和是180°，
所以k+1边形的内角和=(k-2)×180°+180°=(k-1)×180°=[(k+1)-2]×180°。
所以当n=k+1时命题也成立。
根据（1）和（2），可知命题对所有n≥3的正整数都成立。
方法总结：不是所有命题都从n=1开始，要看清题目要求。初始值错了，整个证明就错了。
【模块五 学以致用】
一、必做题
1. 用数学归纳法证明"2+4+6+…+2n=n²+n"，第一步验证n=1时，左边是（ ）
A. 1 B. 2 C. 1+2 D. 2+4
2. 用数学归纳法证明1+2+2²+…+2ⁿ⁻¹=2ⁿ-1的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（ ）
A. 1+2+2²+…+2ᵏ⁻¹+2ᵏ=2ᵏ⁺¹-1
B. 1+2+2²+…+2ᵏ+2ᵏ⁺¹=2ᵏ-1+2ᵏ⁺¹
C. 1+2+2²+…+2ᵏ⁻¹+2ᵏ=2ᵏ⁻¹-1+2ᵏ
D. 1+2+2²+…+2ᵏ⁻¹+2ᵏ=2ᵏ-1+2ᵏ
3. 用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=n(n+1)/2（n∈N）。
4. 已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1，猜想aₙ的通项公式并用数学归纳法证明。
5. 判断下列说法是否正确，并说明理由：
"用数学归纳法证明时，只要第二步写对了，第一步可以省略。"
二、选做题
6. 用数学归纳法证明：1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6（n∈N）。
7. 已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且Sₙ=2n-aₙ，求a₁,a₂,a₃,a₄，猜想aₙ的表达式并用数学归纳法证明。
【模块六 参考答案】
一、必做题答案
1. 【答案】B
【解析】n=1时，左边只有第一项2×1=2，选B。
2. 【答案】D
【解析】n=k时左边是1+2+2²+…+2ᵏ⁻¹，n=k+1时左边多了一项2ᵏ，所以是1+2+2²+…+2ᵏ⁻¹+2ᵏ。根据归纳假设，前k项等于2ᵏ-1，所以左边=2ᵏ-1+2ᵏ，选D。
3. 【答案】
证明：
（1）当n=1时，左边=1，右边=1×(1+1)/2=1，左边=右边，等式成立。
（2）假设当n=k（k∈N）时等式成立，即1+2+3+…+k=k(k+1)/2。
那么当n=k+1时，
左边=1+2+3+…+k+(k+1)
=k(k+1)/2 + (k+1) （用了归纳假设）
=(k+1)(k/2 + 1)
=(k+1)(k+2)/2
=(k+1)[(k+1)+1]/2
=右边
所以当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N都成立。
4. 【答案】
解：a₁=1，
a₂=2a₁+1=2×1+1=3，
a₃=2a₂+1=2×3+1=7，
a₄=2a₃+1=2×7+1=15。
观察：a₁=2¹-1=1，a₂=2²-1=3，a₃=2³-1=7，a₄=2⁴-1=15。
猜想：aₙ=2ⁿ-1。
证明：
（1）当n=1时，a₁=2¹-1=1，与已知相符，猜想成立。
（2）假设当n=k（k∈N）时猜想成立，即aₖ=2ᵏ-1。
那么当n=k+1时，
aₖ₊₁=2aₖ+1
=2(2ᵏ-1)+1 （用了归纳假设）
=2ᵏ⁺¹-2+1
=2ᵏ⁺¹-1
所以当n=k+1时猜想也成立。
根据（1）和（2），可知猜想对任何n∈N都成立。
5. 【答案】错误。
【解析】第一步归纳奠基是递推的基础，没有第一步，第二步的假设就没有起点。比如假设"n=k时，k=k+1"，第二步能推出n=k+1时k+1=k+2，但第一步n=1时1=2就不成立，整个证明毫无意义。所以两个步骤缺一不可。
二、选做题答案
6. 【答案】
证明：
（1）当n=1时，左边=1²=1，右边=1×(1+1)×(2×1+1)/6=1×2×3/6=1，左边=右边，等式成立。
（2）假设当n=k（k∈N）时等式成立，即1²+2²+…+k²=k(k+1)(2k+1)/6。
那么当n=k+1时，
左边=1²+2²+…+k²+(k+1)²
=k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)² （用了归纳假设）
=(k+1)[k(2k+1)/6 + (k+1)]
=(k+1)[(2k²+k)/6 + (6k+6)/6]
=(k+1)(2k²+7k+6)/6
=(k+1)(k+2)(2k+3)/6
=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]/6
=右边
所以当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N都成立。
7. 【答案】
解：当n=1时，S₁=a₁=2×1-a₁，解得a₁=1。
当n=2时，S₂=a₁+a₂=2×2-a₂，即1+a₂=4-a₂，解得a₂=3/2。
当n=3时，S₃=a₁+a₂+a₃=2×3-a₃，即1+3/2+a₃=6-a₃，解得a₃=7/4。
当n=4时，S₄=a₁+a₂+a₃+a₄=2×4-a₄，即1+3/2+7/4+a₄=8-a₄，解得a₄=15/8。
观察：a₁=1=(2¹-1)/2⁰，a₂=3/2=(2²-1)/2¹，a₃=7/4=(2³-1)/2²，a₄=15/8=(2⁴-1)/2³。
猜想：aₙ=(2ⁿ-1)/2ⁿ⁻¹=2-1/2ⁿ⁻¹。
证明：
（1）当n=1时，a₁=2-1/2⁰=2-1=1，与计算结果相符，猜想成立。
（2）假设当n=k（k∈N）时猜想成立，即aₖ=2-1/2ᵏ⁻¹。
那么当n=k+1时，
Sₖ₊₁=2(k+1)-aₖ₊₁，
Sₖ=2k-aₖ，
两式相减：aₖ₊₁=Sₖ₊₁-Sₖ=2(k+1)-aₖ₊₁-(2k-aₖ)，
整理得：2aₖ₊₁=2+aₖ，
所以aₖ₊₁=1 + aₖ/2
=1 + (2-1/2ᵏ⁻¹)/2 （用了归纳假设）
=1 + 1 - 1/2ᵏ
=2 - 1/2ᵏ
=2 - 1/2⁽ᵏ⁺¹⁾⁻¹
所以当n=k+1时猜想也成立。
根据（1）和（2），可知猜想对任何n∈N都成立。
【模块七 知识网络】
一、反思提问
1. 学完这节课，你能说清楚数学归纳法为什么能证明对所有正整数都成立吗？用自己的话讲讲原理。
2. 做数学归纳法的题目时，你最容易在哪一步出错？以后怎么提醒自己避免这个错误？
3. 除了数列和等式，你觉得数学归纳法还能用来证明什么类型的问题？举一个例子。
二、学习建议
1. 理解原理比背步骤重要。多米诺骨牌的类比要记牢，每做一道题都想想这道题里"第一张骨牌"是什么，"前一张推倒后一张"是怎么体现的。
2. 第二步一定要检查用没用到归纳假设。写完证明后，回头看看第二步的推导过程中，有没有出现"假设n=k时成立"的那个结论。如果没出现，那大概率写错了。
3. 多练"归纳—猜想—证明"的题型。先算前几项找规律，猜出结论，再证明。这是数列中非常重要的一种思维模式。
4. 注意初始值n₀不一定是1。做题时先看清题目说的是对哪些正整数成立，别上来就验证n=1。