高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法第1课时教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法第1课时教案，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
归纳法原理

一、教学目标
1.了解数学归纳法原理，会用数学归纳法原理证明一些简单的与正整数有关的命题;
2.通过对多米诺骨牌全部倒下的条件的类比和迁移，归纳得到数学数学归纳法的两个步骤,提高学生数学表达能力和推理论证能力;
3.体会从特殊到一般、无穷到有限的辩证思维过程，发展数学抽象素养.
二、教学重难点
重点：1.理解数学归纳法的原理；
2.理解数学归纳法中n和n+1的关系.
难点：1.理解构建递推关系；
2.让学生理解用数学归纳法证明数学命题的原理.

三、教学过程
（一）创设情境
我是多啦A梦
猜：多啦D梦
我是谁？
我是多啦C梦
我是多啦B梦
嘿嘿嘿，我是多啦咪子

不完全归纳：从一个几个（但不是全部）特殊情况作出一般性结论的归纳推理。这种归纳是以有限数量的事实作为基础而得出的一般性结论.受限于样本的数量，结论不具有必然性、普遍性、可靠性.
那么，如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
师生活动：教师展示不同的动漫形象，提出问题，引导学生推理第四个形象的名字，从而引入不完全归纳法的定义，并提出不完全归纳法存在的问题.
设计意图：通过直观观察，结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：探究“骨牌原理”
猜想
探究：已知数列an满足a1=1，an+1=12−ann∈N∗，计算a2，a3，a4，猜想其通项公式，并证明你的猜想.
a1=1 a2=1 a3=1 a4=1 an=1
思考1：如何证明这个猜想呢？
答：我们自然会想到从n=5开始一个个往下验证.
思考2：一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n比较大时，验证起来会很麻烦.特别是证明n所取的所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的.那么，能否通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立？
播放多米诺骨牌视频.
提供了基础
思考3：在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
答：（1）第一块骨牌倒下；
任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下.
第k+1块骨牌倒下
第k块骨牌倒下
思考4：你认为条件(2)的作用是什么?如何用数学语言描述它?
答：条件（2）给出了递推关系：
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
设计意图：通过多米诺骨牌游戏，寻找和构建递推关系.
任务2：类比多米诺“骨牌原理”，探究数学归纳法.
思考5：你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是an=1n∈N∗”与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
由a1=1及递推关系a2=1；
由a2=1及递推关系a3=1；
由a3=1及递推关系a4=1；
递推关系：ak=1 ak+1=1
命题：当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立.
如果n=k时猜想成立，即ak=1，那么
ak+1=12−ak=12−1=1
即当n=k+1时，猜想也成立.
“骨牌原理”与“猜想an=1的证明步骤”对比分析
探究：请根据“骨牌原理”与“猜想an=1的证明步骤”对比分析构建数学归纳法的结构框图：
证明一个与正整数nn>n0，n∈N∗有关的命题
（1）证明当n=n0n0∈N∗时命题成立
（2）假设“当n=kk∈N∗，k≥n0时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”
归纳 奠基
归纳 递推
两个步骤 缺一不可
对所有正整数nn>n0，n∈N∗，命题都成立
思考6：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1？
答：不一定.如证明n边形的内角和为（n-2）·180°，第一个值n0=3.
思考7：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系?
答：记Pn是一个关于正整数n的命题.
条件：
归纳递推
归纳奠基
Pn0为真；
若Pkk∈N∗，k≥n0为真，则Pk+1也为真
Pn0真，Pn0+1真真，Pk+1真
结论：Pn为真.
设计意图：通过类比骨牌原理，得出数学归纳法的证明步骤，将无限个步骤转化为有限个步骤，培养学生类比思想，便于理解和解释复杂的概念和现象．
（三）应用举例
①
例1 用数学归纳法证明：如果an是一个公差为d的等差数列，那么
an=a1+n−1d
对任何n∈N∗都成立.
分析：
第一步：证明n=1时命题成立；
第二步：明确证明目标：如果n=k时，①式是正确的，那么n=k+1时①式也是正确的.
证明：（1）当n=1时，左边=a1，右边=a1+0×d=a1，①式成立.
（2）假设当n=kk∈N∗时，①式成立，即
ak=a1+k−1d，
根据等差数列的定义，有
ak+1−ak=d，
于是
ak+1=ak+d
=a1+k−1d+d
=a1+k−1+1d
=a1+k+1−1d
即当n=k+1时，①式也成立.
由（1）（2）可知，①式对任何n∈N∗都成立.
【总结】
口诀：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.
用数学归纳法证明命题时，应关注以下三点：
弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；
弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；
证明n=k+1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
例2：已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an−1an+4．
(1)求a2,a3,a4,a5；
(2)猜想{an}的通项公式并用数学归纳法证明．
试题ID:4b76c2bc-507a-4826-8f35-385f89e037ea
解：(1)a1=2=31−1，
a2=2a1−1a1+4=12=32−1，
a3=2a2−1a2+4=0=33−1，
a4=2a3−1a3+4=−14=34−1，
a5=2a4−1a4+4=−25=35−1．
(2)猜想an=3n−1(n∈N∗)；
证明：①当n=1时a1=2=31−1，猜想成立，
②假设当n=k(k∈N∗)时命题成立，即ak=3k−1，
那么当n=k+1时，
有ak+1=2ak−1ak+4=2×(3k−1)−13k−1+4
=6k−33k+3=6−3k3+3k=2−kk+1=3k+1−1，
所以当n=k+1时命题也成立，
由①②得，对任意正整数n均有an=3n−1．
【总结】
①根据递推式依次计算a2，a3，a4，a5；
②由归纳推理得出数列的通项公式；
③先验证n=1时情况，假设n=k时猜想成立，证明n=k+1时结论正确．
设计意图：通过例题，熟悉数学归纳法的运用.
（四）课堂练习
1.在用数学归纳法证明等式g（n）=1+2+4+…+22n+1(n∈N∗)成立时，第一步要验证成立的等式是( )( )
A. g(1)=1B. g(1)=1+2
C. g(1)=1+2+4D. g(1)=1+2+4+8
试题ID: bfb39c4b-a540-4b8d-9bcc-af0509a32995
解：原等式右边有2n+2项，当n=1时，右边有2×1+2=4项，
故选D．
2.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n⋅1⋅3…(2n−1)”(n∈N+)时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是( )
A. 2k+1B. 2(2k+1)C. 2k+1k+1D. 2k+2k+1
试题ID: 84bf792a-c241-45ba-a462-c09d53826ec0
解：用数学归纳法证明(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n⋅1⋅3⋅5…(2n−1)(n∈N∗)时，
从n=k到n=k+1时左边需增乘的代数式是(k+1+k)(k+1+k+1)k+1=2(2k+1)．
故选：B．
3.用数学归纳法证明不等式1+12+14+⋯+12n−1>12764成立，起始值至少应取为n= ．
试题ID: e6bf7fa8-9e90-4d10-a7a0-96a8d1a7443e
解：1+12+14+⋯+12n−1 =2−12n−1>12764 ，
即12n−17，即n≥8，
∴起始值至少应取8．
故答案为8．
已知fn=1+12+13+14+⋅⋅⋅+14nn∈N∗，用数学归纳法证明fn>n时，fk+1比fk多了 项．
试题ID: 84679203-7492-4384-b932-6c0827bedbc1
解：因为f(k+1)=1+12+13+14+⋯+14k+1，f(k)=1+12+13+14+⋯+14k，
所以f(k+1)−f(k)=14k+1+14k+2+⋯+14k+3×4k，
所以fk+1比fk多了3×4k项.
故答案为：3×4k．
5.记数列{an}的前n项和为Sn，a1=5，且当n≥2时，an=3n2−3n+1．
(1)分别计算S2，S3，S4，S5，并由此猜想Sn的表达式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想．
试题ID: ccb1630d-3b38-43de-ac4d-e461283af309
解：(1)当n=2时，a2=3n2−3n+1=3×4−3×2+1=7，
所以S2=a1+a2=12，
同理可得S3=31,S4=68,S5=129，
因为S1=13+4,S2=23+4,S3=33+4,S4=43+4,S5=53+4，
所以猜想Sn=n3+4；
(2)证明：①当n=1时，S1=a1=13+4=5，猜想成立；
②假设当n=kk∈N∗时，猜想成立，Sk=k3+4，
Sk+1=Sk+ak+1
=k3+4+3k+12−3k+1+1
=k3+3k2+3k+1+4，
即Sk+1=k+13+4，
所以当n=k+1时，Sn=n3+4也成立，
根据①②，可以断定，Sn=n3+4对任何正整数n都成立．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固数学归纳法，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
骨牌原理
猜想an=1的证明步骤
①第一块骨牌已经倒下
①证明n=1时，a1=1的猜想正确
②证明“若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下”这句话是真实的
②证明“如果n=k时猜想正确，即ak=1，那么n=k+1时，猜想也正确”即ak+1=12−ak=12−1=1
③根据①②所有的骨牌都倒下
③根据①②，这个猜想对一切正整数n都成立