高中数学第四章 数列本章综合与测试学案

这是一份高中数学第四章 数列本章综合与测试学案，共9页。

期末复习敲重点
学习目标整合
思维导图回顾知识
重难知识易混易错
重难知识点
1.数列的通项公式：如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
2.数列的前n项和：
①数列的前n项和的定义：数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前n项和，记作，即.
②数列的前n项和公式：如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式.
③由求通项公式：，，所以
3.等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中项. 根据等差数列的定义可以知道，.
4.等差数列的通项公式：首项为，公差为d的等差数列的通项公式为.
5.等差数列前项和公式：，.
6.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 此时，.
7.等比数列的通项公式：首项为，公比为q的等比数列的通项公式为.
8.等比数列的前n项和公式：当时，或.
易混易错例题
1.数列的通项公式可能是( ).
A.B.C.D.
答案：C
解析：根据题意，数列的前4项为，，，，则有，，，，故数列的通项公式可以为.故选C.
2.已知数列中，，，若为等差数列，则( ).
A.0B.C.D.2
答案：A
解析：因为，，故，，所以，即.故选A.
3.在等比数列中，若，，且公比为整数，则__________.
答案：512
解析：由得，，故.
4.已知是等差数列，是其前n项和，，，则的值为___________.
答案：168
解析：数列是等差数列，设其公差为d.由已知可得，，则，所以，即.
5.已知数列的前n项和为，，数列是以为公差的等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
答案：（1）
（2）
解析：（1），，
又数列为以2为公差的等差数列，
，即，
时，，
时，符合上式，
数列的通项公式为.
（2）由（1）可得
所以
，
数列的前项和.
核心素养对接高考
考情分析
1.本专题内容在高考试题中小题多以考查数列概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容为主，属中低档题；解答题以考查等差（比）数列通项公式、求和公式，错位相减求和、简单递推为主.
2.本专题重点考查的学科核心素养为数学运算和逻辑推理.
情境真题应用
1.【2023年 新课标Ⅱ卷】记为等比数列的前n项和，若，，则( )
A.120B.85C.-85D.-120
答案：C
解析：法一：设等比数列的公比为，由题意易知，则，化简整理得.所以.故选C.
法二：易知，，，，……为等比数列，所以，解得或.当时，由，解得；当时，结合得，化简可得，不成立，舍去.所以，故选C.
2.【2023年 新课标Ⅰ卷】记为数列的前n项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列.则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案：C
解析：若为等差数列，设其公差为d，则，所以，所以，所以，为常数，所以为等差数列，即甲乙；若为等差数列，设其公差为t，则，所以，所以当时，，当时，也满足上式，所以，所以，为常数，所以为等差数列，即甲乙.所以甲是乙的充要条件，故选C.
3.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？( )
A.6斤B.7斤C.9斤D.15斤
答案：D
解析：因为每一尺的重量构成等差数列，，，，
数列的前5项和为.即金锤共重15斤，故选D.
4.【2023年 新课标Ⅱ卷】已知为等差数列，.记，分别为数列，的前n项和，若，.
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，.
答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)设等差数列的公差为d.
因为，
所以，，.
因为，，
所以，
整理，得，解得，
所以的通项公式为.
(2)由(1)知，
所以.
当n为奇数时，
.
当时，，
所以.
当n为偶数时，
.
当时，，
所以.
综上.可知，当时，.
5.【2023年 新课标Ⅰ卷】设等差数列的公差为d，且，令，记，分别为数列，的前n项和.
(1)若，，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求d.
答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，所以，
所以，所以，所以.
因为，所以，
所以，.
因为，所以，解得或，
因为，所以.
所以的通项公式为.
(2)因为，且为等差数列，
所以，即，
所以，所以，
解得或.
①当时，，所以，
，
.
因为，所以，
即，解得或(舍去).
②当时，，所以，
，
.
因为，所以，
即，解得(舍去)或(舍去).
综上，.
数列的概念和递推公式
（1）了解数列的概念及表示方法，理解数列的通项公式的意义.
（2）理解数列的递推公式，能根据递推公式写出数列的前几项.
（3）理解与的关系.
等差数列
（1）理解等差数列的概念和通项公式的意义.
（2）掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.
（3）了解等差数列与一次函数的关系.
等比数列
（1）理解等比数列的概念和通项公式的意义.
（2）掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.
（3）了解等比数列与指数函数的关系.