高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.4* 数学归纳法第2课时教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.4* 数学归纳法第2课时教学设计，共10页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时

一、教学目标
1.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题.
2.让学生熟悉用数学归纳法证明数学命题的基本过程和表述规范.
3.通过用数学归纳法证明一个数学命题，使学生学会数学演绎证明的方法，理解将无限问题转化为有限问题的化归思想，培养数学探究的意识.

二、教学重难点
重点：进一步理解数学归纳法中n和n+1的关系；能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题.
难点：用n=k时的假设推导n=k+1时的命题
三、教学过程
（一）创设情境
回顾：
数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n＝n0（n0∈N∗）时命题成立；
（2）（归纳递推）以“当n＝k（k∈N∗，k≥n0）时命题成立”为条件，
推出“当n＝k+1时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.
用途：数学归纳法用于解决关于正整数的猜想与命题.
师生活动:学生作答，师生共同回顾、巩固相关内容.
设计意图：本节课的主要内容是数学归纳法的应用，其目的是让学生熟悉数学归纳法的两个步骤，深刻理解数学原理的本质，不断积累使用数学归纳法解决数学问题的经验，领悟数学归纳法的思想方法.
（二）探究新知
任务1：探索数学归纳法的应用
思考：什么时候需要应用数学归纳法？
数学归纳法一般被用于证明某些与无限多个正整数n有关的命题.
证明对任意的正整数n，等式(n−1)(n+2)=n2+n−2恒成立,不必应用数学归纳法.
证明(1+1n)n(n∈N∗)的单调性,难以应用数学归纳法.
探究：下面这道题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？
用数学归纳法证明：如果{an}是一个公差为d的等差数列，那么
an=a1+(n−1)d ① 对任何n∈N∗都成立.
证明：假设当n=k(k∈N∗)时，①式成立，即ak=a1+(k−1)d ，
则当n=k+1时，有ak+1=a1+[(k+1)−1]d,
所以当n=k+1时等式也成立.
由此得出，对任何n∈N∗，等式都成立.
答案：有错误.
思考：这道题需要证明n=1的情况吗？
需要，当n=1时，左边=a1，右边=a1+0×d=a1，①式成立.
上述证法如果加上证明n=1的情况，还有错误吗？
证明 n=k+1也成立的时候有错误.
如何修改上述证法？
假设当n=k 时该式成立，当成已知条件.比较一下已知条件和要证明的式子，进行化简即可. 说明n=k时该式成立能推出n=k+1时该式也成立，加之k的任意性，可知：对任何n∈N∗，等式都成立.
正确的证明过程如下：
证明：（1）当n＝1时，左边=a1，右边=a1+0×d=a1，①式成立.
（2）假设当n＝k（k∈N∗）时，①式成立，即ak=a1+(k−1)d ，
根据等差数列的定义，有ak+1−ak=d ，
于是ak+1=ak+d=[a1+(k−1)d]+d
＝a1+［（k−1）+1］d
＝a1+［（k+1）−1］d，
即当n＝k+1时，①式也成立.
由（1）（2）可知，①式对任何n∈N∗都成立.
思考：怎样正确地使用数学归纳法？
不能缺少第一步的验证；
第二步要证命题“若P(k)（k∈N∗，k≥n0）为真, 则P(k＋1)也为真”.
用上假设，递推才真!
（三）应用举例
例1用数学归纳法证明：
12+22+⋯+n2=16nn+12n+1n∈N∗
分析：用数学归纳法证明时，第二步要证明的是一个以“当n=k时，①式成立”为条件，得出“当n=k+1时，①式也成立”的命题，证明时必须用上述条件.
证明：(1)当n＝1时，①式的左边=12 =1，
右边＝eq \f(1×2×3,6)=1 ，等式成立．
(2)假设n＝kk∈N∗时,①式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＝eq \f(k(k＋1)(2k＋1),6)，
那么，当n＝k＋1时，有
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＝eq \f(k(k＋1)(2k＋1),6)＋(k＋1)2
＝eq \f((k＋1)(2k2＋k＋6k＋6),6)＝eq \f((k＋1)(2k2＋7k＋6),6)
＝eq \f((k＋1) (k＋2) (2k＋3),6)＝eq \f((k＋1) [(k＋1)＋1][ 2(k＋1)＋1],6)
所以当n＝k＋1时，①式成立．
根据(1)(2)可知，①式对任何n∈N*，等式都成立．
师生活动： 学生独立思考并书写证明过程，然后教师在全班展示部分学生的证明过程，同学进行点评.在展示交流过程中，教师引导学生重点关注：
（1）证明过程中，两个步骤是否清晰；
（2）在第二步用归纳递推证明n=k+1时命题成立时，是否用到了n=k时成立这一条件；
（3）是否标注了k的取值范围.
设计意图：这是一个证明恒等式的问题，使学生进一步熟悉用数学归纳法证明数学命题的基本过程和表述规范.
总结：
用数学归纳法证明恒等式、不等式时,应关注以下三点:
(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;
(2) 弄清从n=k到n=k+1等式、不等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;
(3) 证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
例2 已知数列{an}满足a1=0，2an+1−anan+1=1n∈N∗,试猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
分析：先将数列{an}的递推关系2an+1−anan+1=1 化为 an+1=12−an (n∈N∗)，通过计算a2 ，a3，a4，a5的值，归纳共性并作出猜想，再应用数学归纳法证明猜想.
解：由2an+1−anan+1=1，可得 an+1=12−an (n∈N∗)
由a1=0可得a2=12−0=12 .
同理可得a3=12−12=23,a4=12−23=34,a5=12−34=45
归纳上述结果，猜想an=n−1n(n∈N∗) ②
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当n=1时， ②式的左边=a1=0，右边=1−11=0, 猜想成立.
（2） 假设当n=k(n∈N∗)时， ②式成立，即ak=k−1k
那么ak+1=12−ak=12−k−1k=kk+1=(k+1)−1k+1
即当n=k+1时，猜想也成立.
由（1）（2）可知，猜想对任何n∈N∗都成立.
师生活动：学生独立思考、解答，并进行展示.同时，教师引导学生思考如下几个问题：
（1）数列{an}的递推关系是什么？
（2）根据递推关系，a2，a3，a4的值各是多少？
（3）根据a2，a3，a4的值猜想数列{an}的的通项公式是什么？
（4）怎样用数学归纳法证明所猜想的通项公式？
通过这几个问题，把整个题目进行分解，引导学生逐步解决以上问题，最终达到解决问题的目的.
设计意图：例2与第1课时中的探究问题十分相似，设计本题目的有二：一是让学生进一步体会“先猜后证”的探究问题的方式，即观察—归纳—猜想—证明；二是让学生体会“递推关系相同，而初始条件不同，则数列的通项公式不一定相同”，培养学生在学习中养成不断总结和反思的习惯.
总结：“归纳——猜想——证明”的一般环节:
计算
归纳
猜想
证明
根据题意，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的基础
通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论
对一般结论用数学归纳法进行证明
例3 设x为实数，且x>−1，x≠0，n为大于1的正整数，若数列
x，x1+x，x1+x2，⋯，x1+xn−1，⋯
的前n项和为Sn，试比较Sn与nx的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
分析：该问题中涉及两个字母，x是大于-1且不等于零的实数，n 是大于1的正整数.
一种思路是不求和，而直接通过n取特殊值比较Sn与nx的大小关系，并作出猜想；
另一种思路是先由等比数列的求和公式求出Sn，再通过n取特殊值比较Sn与nx的大小关系后作出猜想.两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想.
解法1：由已知可得Sn=x+x1+x+x1+x2+⋯+x1+xn−1
当n=2时，S2=x+x(1+x)=x2+2x,由x≠0，知x2>0可得S2>2x；
当n=3时，S3=x+x(1+x)+x（1+x）2=x2(x+3)+3x,由x>-1，且x≠0，知x2(x+3)>0，可得S3>3x
由此，我们猜想，当x>−1且x≠0，n∈N∗且n>1时，Sn>nx.
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1） 当n=2时，由上述过程知，不等式成立.
（2） 假设当n=k(k∈N∗,且k≥2)时，不等式成立，即Sk>kx，
则Sk+1=Sk+x(1+x)k>kx+x(1+x)k
①当x>0时，因为k>1,所以(1+x)k>1,所以x(1+x)k>x
②当−11且x≠0时Sk+1>kx+x(1+x)k>kx+x=(k+1)x.
所以，当n=k+1时，猜想也成立.
由（1）（2）可知，不等式Sn>nx.对任何大于1的正整数n都成立.
解法2：因为x>−1,x≠0，所以所给数列是等比数列，公比为1+x，于是
Sn=x+x1+x+x1+x2+⋯+x1+xn−1=x[1−(1+x)n]1−(1+x)=(1+x)n−1
当n=2时，S2=(1+x)2−1=x2+2x,由x≠0，知x2>0可得S2>2x；
当n=3时，S3=(1+x)3−1=x2(x+3)+3x,,由x>-1，且x≠0得x2(x+3)>0，可得S3>3x.
由此，我们猜想，当x>−1且x≠0，n∈N∗且n>1时，Sn>nx.
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1） 当n=2时，由上述过程知，猜想成立.
（2） 假设当n=k(k∈N∗,且k≥2)时，不等式Sk>kx成立，即(1+x)k−1>kx，
亦即(1+x)k>1+kx，
由x>−1，得x+1>0.又因为k>1,x≠0,所以kx2>0.于是
Sk+1=(1+x)k+1−1=(1+x)k(1+x)−1>(1+kx)(1+x)−1=kx2+(k+1)x>(k+1)x.
所以，当n=k+1时，猜想也成立.
由（1）（2）可知，不等式Sn>nx对任何大于1的正整数n都成立.
师生活动：教师先引导学生思考下面的问题：
（1）数列的前n项和Sn怎么求？
（2）这里n的值是从多少开始的？当n=2，3，4时，Sn与nx的大小关系怎样？
（3）用数学归纳法证明猜想时，第二步归纳递推中P（k）与Pk+1的关系是怎样的？
在此基础上，学生独立思考，书写解答过程，并以小组为单位进行讨论，然后请部分学生展示其解答过程.
设计意图：例3将等比数列求和、不等式的性质和“先猜后证”的探究方法结合起来，意在让学生明白：数学归纳法除了能证明关于正整数n的恒等式问题之外，还可以用于证明关于正整数n的不等式问题.到此，运用数学归纳法不仅证明了数列中的等差数列、等比数列等特殊数列的通项公式，而且还可以解决一些具有递推关系的非特殊数列的通项公式求解问题，从而把数学归纳法真正融入数列的整体知识结构之中.
总结：用数学归纳法证明不等式的四个关键
(1)验证第一个n的值时不等式成立，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0=k+1 ．
(2)证明不等式的第二步中，从n=k到n=k+1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不运用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．
(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.第二种形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，再用数学归纳法证明．
(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k时成立得出n=k+1时也成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．
例4 是否存在正整数m，使得对任意自然数n，f(n)=(2n+7)∙3n+9都能被m整除?若存在，求出m的最大值，并证明你的结论；若不存在，说明理由.
解：由f(n)=(2n+7)∙3n+9得f(1)=36，f(2)=3×36，f(3)=10×36，f(4)=4×36，
由此猜想m=36.
用数学归纳法证明如下:
①当n=1时，显然成立.
②假设当n=k时，f(k)能被36整除，即f(k)=(2k+7)∙3k+9能被36整除，
当n=k+1时，f(k+1)=[2(k+1)+7]∙3k+1+9=3[(2k+7)∙3k+9]+18(3k−1−1)
由于3k−1−1是2的倍数，故18(3k−1−1)能被36整除，
从而当n=k+1时，f(k+1)也能被36整除.
由①②可知，对一切正整数n，都有f(n)=(2n+7)∙3n+9能被36整除，m的最大值为36.
师生活动：学生读懂题意，尝试解答.
设计意图： 通过例题，熟悉数学归纳法的应用步骤，并强化数学运算的核心素养．
课堂练习
1.已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=2n，bn=n4，其中n∈N ∗.试推断an>bn对哪些正整数n成立，证明你的结论．
解：当n=1时，21>14;当n=2，3，4，…，15时，2n174，
所以当n=1或n>16时，2n>n4．
下面利用数学归纳法进行证明．
①当n=17时，217>174成立，
②假设n⩾17，当n=k时，即2k>k4成立，
当n=k+1时，2k+1=2×2k>2k4，
而2k4−k+14=k4−4k3−6k2−4k−1=k4−4k3+6k2−4k+1−12k2−2
=k−14−12k2−2，
∵k⩾17
∴k−14−12k2−2>12k−13−k2−2
=12k3−4k2+3k−1−2
>12×162×12+3×16−1−2>0，
故2k4>k+14，即2k+1>k+14，
即n=k+1时不等式成立，
由①②知对任意n⩾17，n∈N∗，不等式2n>n4恒成立．
2.(本小题12分)
已知数列{xn}满足x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)(n∈N∗).试用数学归纳法证明xn>0，并比较xn与xn+1的大小关系．
解：用数学归纳法证明xn>0，
(1)当n=1时，x1=1>0，
(2)假设n=k时，xk>0，那么n=k+1时，若xk+1≤0，
则00，
由(1)(2)可知xn>0，n∈N∗
所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)>xn+1，因此0