高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册数学归纳法优秀教学设计

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一、学习目标
（一）课程标准要求
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题。
（二）课时目标要求
1.了解数学归纳法的原理，培养数学抽象核心素养.
2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题，培养逻辑推理与数学运算核心素养.
3.通过对数学归纳法的学习、应用，使学生体验观察、归纳、猜想、证明的过程，培养由特殊到一般的思维方式和严格规范的论证意识，并初步掌握论证方法.
4.经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养用数学的眼光发现问题，解决问题的能力.
二、重点难点
重点：数学归纳法的原理及应用.
难点：(1)理解数学归纳法原理.(2)归纳递推中归纳假设的应用..
三、学习过程
环节一：创设情境，导入新课
情境1:
法国数学家费马观察到：,,,.于是归纳猜想：任何形如的数都是质数.半个世纪以后，数学家欧拉发现，第5个费马数不是质数，从而推翻了费马的猜想.
情境2:
已知数列满足，，计算，，，猜想通项公式，并证明你的猜想．
计算可得，，，再结合，由此猜想：．
通过对上述两个例子的探究可以发现用“不完全归纳法”得到的结论不一定可靠.为了寻求一种能够证明与正整数有关的数学问题的方法，我们这节课来学习数学归纳法.
环节二：结合情景，探究新课
如何证明这个猜想呢?我们自然会想到从开始一个个往下验证．一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验证起来会很麻烦．特别是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的．因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立．
问题1：在你学过的知识里，有“无限”转化为“有限”的实例吗?你认为为什么能够实现这样的转化?
立体几何中，直线与平面垂直的定义为：如果一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线与这个平面垂直.
直线与平面垂直的判定定理为：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与这个平面垂直.
其定义是“无限”,判定则是“有限”.之所以能够实现转化，是因为一个平面可以由两条相交直线确定，这就相当于两条相交直线是确定一个平面的要素，所以一条直线与这两条相交直线垂直就能保证直线与平面垂直.
我们先从多米诺骨牌游戏说起．码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下．
问题2：在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?
试验①如图4.4-1,第一块骨牌不倒，多米诺骨牌是否全部倒下?
试验②如图4.4-2,第一块骨牌倒下，但中间有的骨牌间的距离过大，超过一块骨牌倒下的距离，多米诺骨牌是否全部倒下?
试验③如图4.4-3,在第一块骨牌倒下的同时，保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下，多米诺骨牌是否全部倒下?
可以直观得到，试验①和试验②中多米诺骨牌没有全部倒下，试验③中多米诺骨牌全部倒下.
归纳能使所有多米诺骨牌全部倒下的两个条件：
(1)第一块骨牌倒下；
(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
追问：这两个条件描述的骨牌之间的关系，与我们曾经学过的数列的哪一个知识点类似?如何用数学语言描述条件(2)?
明确骨牌间关系的描述，类似于数列中项之间的关系的描述，即递推关系.用数学的精练语言描述为：第k块骨牌倒下→第k+1块骨牌倒下.
这样，只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下，事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下．
假设有无限多块多米诺骨牌，我们可以想象前一块推倒后一块的动作将永远进行下去．
问题3：回顾数列通项公式为的获得过程，归纳其与多米诺骨牌游戏之间的共性，你能得到推理的一般结构吗?
数列通项公式为的猜想的获得过程如下：
由，利用递推关系，推出；
由，利用递推关系，推出；
由，利用递推关系，推出．
……
上述过程蕴含着一个与多米诺骨牌游戏的条件（2）类似的递推结构：以成立为条件，推出也成立．它相当于命题：当时猜想成立，则时猜想也成立．
追问1：你能类比多米诺骨牌游戏中的递推结构，得出证明数列通项公式为的递推结构吗?
“多米诺骨牌原理”与“猜想的证明步骤”的类比分析
追问2：你能完成推出的证明过程吗?
证明.如果时，成立，那么,故时，成立.
追问3:你能解释证明过程的合理性吗?
解释.由时，成立，就可以得到时，成立；由时，成立，就可以得到时，成立；……,
所以，对于任意的成立，故数列的通项公式为得到了证明.
追问4:在证明推出时，为什么要加条件?
确保通项公式对从开始的所有正整数都成立，确保命题成立的递推性.
问题4:从问题3的解答过程中，你能归纳出证明一个与正整数n有关的命题的一般步骤吗?
归纳共性：
一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当时，命题成立；
（2）（归纳推理）以“当时，命题成立”
为条件推出“当时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法(mathematical inductin)．
问题5：数学归纳法的第一步、第二步的作用分别是什么?你认为数学归纳法中的两个步骤有什么关系?
数学归纳法中，第一步称为归纳奠基，是命题递推的基础，缺少这个基础，第二步就没有意义了.第二步称为归纳递推，假设为真，证明为真，是命题递推的依据，缺少这个依据，递推也无法进行下去.两步缺一不可，交替使用，就有若为真，则为真，则为真，……,若为真，则为真，…….从而完成证明
故对一个关于正整数n的命题,把用数学归纳法证明的形式改写成条件和结论的推理过程即为：
条件：（1）为真；（2）若为真，则也为真．
结论：为真．
环节三：根据新知，简单应用
例1：用数学归纳法证明：如果是一个公差为的等差数列，那么
①
对任何都成立．
分析：因为等差数列的通项公式涉及全体正整数，所以用数学归纳法证明的第一步应证明时命题成立．第二步要明确证明的目标，即要证明一个新命题：如果时①式是正确的，那么时①式也是正确的．
证明：（1）当时，左边，右边，①式成立．
（2）假设当时，①式成立，即
，
根据等差数列的定义，有
于是
．
即当时，①式也成立．
由（1）（2）可知，①式对任何都成立．
在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，并把“证明的目标”牢记在心．
规律小结：数学归纳法证明与正整数有关的命题的步骤
反思感悟 数学归纳法的三个关键点
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律．
(3)利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1时，一定要利用归纳假设．
例2用数学归纳法证明：
． ①
分析：用数学归纳法证明时，第二步要证明的是一个以“当时，①式成立”为条件，得出“当时，①式也成立”的命题，证明时必须用上上述条件．
证明：（1）当时，①式的左边，
右边，
所以①式成立．
（2）假设当时，①式成立，即
，
在上式两边同时加上，有
即当时①式也成立．
由（1）（2）可知，①式对任何都成立．
反思感悟 用数学归纳法证明等式的策略
应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即
(1)当n＝n0时，等式的结构．
(2)当n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项．
这时一定要弄清三点：
①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项．
②代数式相邻两项之间的变化规律．
③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系．
例3已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
分析：先将数列的递推关系化为，通过计算的值，归纳共性并作出猜想，在应用数学归纳法证明猜想．
解：由可得
由
可得
同理可得
．
归纳上述结果，猜想
①
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（1）当时，①式左边，右边，猜想成立．
（2）假设当时，①式成立，即
，
那么
．
即当时，猜想也成立．
由（1）（2）可知，猜想对任何都成立．
例4设为正实数，为大于1的正整数，若数列
的前项和为，试比较与的大小，并用数学归纳法证明你的结论．
分析：该问题中涉及两个字母x和n，x是正实数，n是大于1的正整数．
一种思路是不求和，而直接通过n取特殊值比较Sn与n的大小关系，并作出猜想；
另一种思路是先由等比数列的求和公式求出Sn，再通过n取特殊值比较Sn与n的大小关系后作出猜想，两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想．
解法1：由已知可得
．
当时，，由可得；
当时，，由，可得；
由此，我们猜想，当，且时，．
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（1）当时，由上述过程知，不等式成立．
（2）假设当，不等式成立，即
由，可得，所以
于是
．
所以，当时，不等式也成立．
由（1）（2）可知，不等式对任何大于1的正整数都成立．
解法2：显然，所给数列是等比数列，公比为，于是
．
当时，，由可得
当时，，由可得
由此，我们猜想，当，且时，都有．
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（1）当时，由上述过程知，不等式成立．
（2）假设当且，不等式成立，即
由，知．
所以
．
所以，当时，不等式也成立．
由（1）（2）可知，不等式对任何大于1的正整数都成立．
用数学归纳法证明不等式的四个关键：
环节四：新知再认识，能力提升
题型一：数学归纳法中归纳奠基的相关问题.
例：用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【详解】由数学归纳法的证明步骤可知：
当时，等式的左边是.
故选：D．
方法规律： 数学归纳法中归纳奠基注意事项
（归纳奠基）即为证明当时，命题成立；
1.通常地，初始值是或，但有时是其他自然数，这时需要选择一个最小自然数作为初始值；
2.验证当取这个初始值时，命题成立.
变式训练：
1．数学归纳法证明“凸多边形内角和定理：”时，第一步应验证n= 时成立．
【答案】3
【详解】因为多边形的边数最少是3，即三角形，故用数学归纳法第一步应验证.
故答案为：3.
2．用数学归纳法证明对任意的都成立，则k的最小值为 .
【答案】3
【详解】由题得，即，
当时，，不符合；
当时，，不符合；
当时，，不等式成立；
当时，，不等式成立，
当时，根据指数函数与一次函数的性质可得.
所以满足题意k的最小值为3.
故答案为：3.
题型二：数学归纳法中归纳递推过程中的增项问题
例．用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】从到成立时，左边增加的项为，，…，，
因此增加的项数是.
故选：A．
规律方法 数学归纳法中归纳递推过程中的增项问题注意事项
反思感悟 弄清楚等式或不等式两侧的项的变化规律，才能清楚增加了哪些项或增加了多少项以及减少了哪些项．
变式训练：
1．用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】当时，左边的代数式为，
当时，左边的代数式为，
故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为：
故选：D．
2．用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．使不等式成立的第一个自然数
B．使不等式成立的第一个自然数
C．推导时，不等式的左边增加的式子是
D．推导时，不等式的左边增加的式子是
【答案】BC
【详解】当时，可得；当时，可得；
即使不等式成立的第一个自然数，故A错误，B正确；
当时，可得；
当时，可得；
两式相减得：，
所以推导时，不等式的左边增加的式子是，故C正确，D错误；
故选：BC.
题型三：利用数学归纳法证明整除问题
例．求证：对任何正整数n，数都能被8整除
【详解】
证明:1°当时，，命题成立．
2°假设时，能被8整除，
则当时，
,
因为是8的倍数，而也是8的倍数，所以也是8的倍数，
即时，命题也成立
由以上1°、2°可知，对一切正整数n，能被8整除．
规律方法
用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当时，代数式可被除数整除，一般利用构造法，构造出含有除数及时的代数式，根据归纳假设即可证明.
变式训练：
1．用数学归纳法证明：能被整除（）
【详解】当时，，
故能被整除，
假设当时，结论成立，即能被整除，
则当时，
，
由于和均能被整除，
故能被整除，
综上：能被整除（）.
2．设，用数学归纳法证明：是64的倍数．
【详解】（1）当时， 能被64整除，命题成立．
（2）假设当时，能够被64整除．
当时，，
能够被64整除，
能够被64整除．
即当时，命题也成立．
由（1）（2）可知，能被64整除，
即是64的倍数．
环节五：凝练升华，课堂小结
问题：请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题：
1. 本节课学习的概念有哪些？
2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？
1．知识清单：
(1)数学归纳法的概念．
(2)数学归纳法的步骤．
2．方法归纳：归纳—猜想—证明．
3．常见误区：
(1)对题意理解不到位导致的取值出错；
(2)推证当时忽略时的假设．
(1) 数学知识：数学归纳法——将无限递推转化为有限步验证，实现由量变到质变的飞跃；
(2) 数学方法：数学归纳法——两个步骤一个结论；
(3) 数学思想：归纳思想、递推思想、类比思想。
注意：
1.用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，两个步骤缺一不可.
2.(1)(归纳奠基)是递推的基础.→找准
(2)(归纳递推)是递推的依据→时命题成立．作为必用的条件运用，而时情况则需要利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明.
环节六：布置作业，应用迁移
巩固作业：教科书第31页练习第1、3、5题
练习（第47页）
1．下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？
（1）求证：当时，．
证明：假设当时，等式成立，即．
则当时，左边右边．
所以当，等式也成立．
由此得出，对任何，等式都成立．
（2）用数学归纳法证明等差数列的前项和和公式是．
证明：①当时，左边，右边，等式成立．
②假设当时，等式成立，即．
则当时，
，
．
上面两式相加并除以2，可得
即当时，等式也成立．
由①②可知，等差数列的前项和公式是．
1．【解析】这两题的证明都是错误的．
第（1）题的错误在于缺少第一步的验证，因此归纳假设时命题成立没有基础．事实上，当时，左边，右边，所以左边右边．
第（2）题的错误是第二步推理利用了“倒序相加法”，而没有证明命题“若为真，则也为真，所以该证法不是用数学归纳法的证明．
注：第二步正确的证明方法如下：
假设当时，等式成立，即，
则当时，
．这表明，当时，等式也成立．
2．用数学归纳法证明：首项为，公比为的等比数列的通项公式是，前项和公式是．
2．【解析】（1）证明通项公式是，
①当时，，显然满足；
②假设时，成立，
则当时，成立，
由①②可知，对于任意，都有成立．
证明：前项和公式，
③当时，成立；
④假设时，成立，
则当时，成立，
由③④可知，对于任意，都有成立．
练习（第51页）
1．用数学归纳法证明：．
1．【证明】（1）当时，左边，右边，等式成立；
（2）假设当时等式成立，
即，
则当时，
左边
右边．
所以，当时，等式成立；
由（1）（2）可知，对，．
2．若数列的前n项和为，计算，由此推测计算的公式，并用数学归纳法进行证明．
2．【解析】（1），，；
（2）由（1）猜想 ，下面用数学归纳法加以证明．
①时，，成立；
②假设时，有成立，
则当时，，
时，猜想也成立，
故由①，②可知，猜想对都成立．
3．观察下列两个数列，
熟练：1，4，9，16，25，36，49，64，81，…；
数列：2，4，8，16，32，64，128，256，512，…．
猜想从第几项起小于，并证明你的结论．
3．【解析】根据题意可得：数列的通项公式为，数列的通项公式为，
由，
猜想从第项起， 即证当时，，下面用数学归纳法证明：
①当时，，，显然，猜想成立；
②假设当时，猜想成立，即，
当时，，
即，即当时，猜想成立，
由①②可知，当时，都有，即．
4．猜想满足，的数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．
4．【解析】由可得，得，，．推测．
下面用数学归纳法证明：
①当时，左边，右边，结论成立．
②假设时等式成立，有，
则当时，．
故当时，结论也成立．
由①②可知，对任何都有．
习题4.1（第51页）
1．选择题
用数学归纳法证明下列等式：
．
要验证当时等式成立，其左边的式子应为（ ）
A．B．C．D．
1．【解析】由题意，当时，左边，故选：C
2．用数学归纳法证明：
（1）；
（2）；
（3）．
2．【解析】（1）①当时，等式左边，右边，所以等式成立；
②假设时等式成立，即，
则当时，，故时等式成立，
综上可知，等式成立．
（2）①当时，等式左边，右边，所以等式成立；
②假设时等式成立，即，
则当时，，故时等式成立，
综上可知，等式成立．
（3）①当时，等式左边，右边，所以等式成立；
②假设时等式成立，即，
则当时，，故时等式成立，
综上可知，等式成立．
3．已知数列满足，．计算，，，由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．
3．【解析】由得，
，，同理可求，，，猜想．
证明：①当时，猜想成立．
②设当时，猜想成立，即，
则当时，有，
所以当时猜想也成立．
综合①②，猜想对任何都成立．
4．已知数列，…的前项和为．计算．由此猜想的表达式，并用数学归纳法证明．
4．【解析】由题意，数列，，，…，，
可得，
可以看出，上面的四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数表示为，
所以可猜想，数学归纳法证明如下：
①当时，左边，右边，猜想成立；
②假设时，猜想成立，即，
当时，
，
所以当时，猜想也成立，
由①②可知，对任意都有成立，所以，．
5．用数学归纳法证明．
5．【解析】①当时，左边，右边，等式成立，
（2）假设当时，等式成立，即，
当时，
，
即当时等式也成立．
由（1）（2）可知：等式对任何都成立，故．
6．已知数列的通项公式分别为，其中，试推断对哪些正整数成立，证明你的结论．
6．当时，，，所以；当时，，，所以；
当时，，，所以；当时，同理计算可知，均有；
当时，，，所以；
当时，，，所以；
由此猜想，从第17项起，，下面用数学归纳法证明这个猜想．
①当时，由前面的计算可知，猜想成立．
②假设当时猜想成立，即有．
则当时，因为
．
所以，
即当时猜想也成立．
由①②可知，当时，都成立．
综上可知，对都成立．
7．已知数列满足，，试用数学归纳法证明，并比较与的大小关系．
7．【解析】证明：①当时，，成立，
②假设当时成立，则，
那么时，若，则，与矛盾，故，
由①②可知，对一切，都有成立．
，因此．
8．证明能被6整除．
8．【解析】①当时，，显然能够被6整除，命题成立；
②假设当时，命题成立，即能够被6整除，
当时，，
由假设知：能够被6整除，而为偶数，故能够被6整除，
故能够被6整除，即当时，命题成立，
由①②可知，命题对一切正整数成立，即能够被6整除．
9．一本旧教材上有一个关于正整数的恒等式
其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于的二次三项式，具体系数已经看不清楚了，请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．
9．【解析】设，
，，；
假设存在常数，，使得对一切自然数都成立，
则，①，
同理，由得②，
由得③
联立①②③，解得，，．．
证明：①当时，显然成立；
②假设时，，
则时，
，
即时，结论也成立．
综合①②知，对一切自然数都成立．
10．已知命题：设，为非负实数，，为正实数，若，则
．
请将该命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．
10．【解析】命题推广形式为：设为非负实数，为正实数，若，则；用数学归纳法证明如下：
①当时，，有，所以不等式成立；
②假设时不等式成立，即设为非负实数，为正实数，
若，则．
则当时，需证：设为非负实数，为正实数，
若，则，
因为，所以，且，所以 ，
所以
因为，所以 ，
所以由归纳假设可得
，
从而，
又由，
所以
，故当时不等式成立．
由①②知，对一切正整数，所推广的命题成立．
多米诺骨牌原理
猜想的证明步骤
(1)第一块骨牌倒下
(1)当时，成立
(2)第k块骨牌倒下→第k+1块骨牌倒下.
(2)由能推出成立
根据(1)(2)，所有骨牌都能倒下
根据(1)(2)，成立