高中人教A版 (2019)4.4* 数学归纳法教学设计

这是一份高中人教A版 (2019)4.4* 数学归纳法教学设计，共6页。

问题1：什么时候需要应用数学归纳法？
答案：例如，要证明对任意的正整数n，等式恒成立，可以直接利用多项式的乘法法则，左边展开，合并同类项，就能得到右边. 这时，我们就不必应用数学归纳法了. 再如，证明的单调性，用数学归纳法就难以实现.
例1 下面这道题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？
求证： .
证明：假设当时，等式成立，即，则当时，有，所以当时等式也成立. 由此得出，对任何，等式都成立.
答案：证法有错误.
追问1：这道题需要证明n=1的情况吗？
答案：这道题需要证明n=1的情况. 这个证法只有第二步，而缺少了第一步，没有证明n=1的情况. 第一步是后面递推的出发点，没有它，递推就成为无源之水. 所以，我们应该先考虑当n=1时该式是否成立. 当n=1时，该式的左边. 而右边. 左边等于右边，所以n=1时该式成立.
追问2：上述证法如果加上证明n=1的情况，还有错误吗？
答案：这个证法当n=k+1时，有，直接把k给换成k+1. 然后就说当n=k+1时也成立. 而把k换成k+1的前提是当n=k+1时成立，这正是我们要证明的结论，不能把它当作已经条件.
追问3：如何修改上述证法？
答案：首先要明确目标：我们是假设n=k时该式成立，并以此为条件证明n=k+1时该式也成立，从而证明命题的成立具有递推性. 所以，这个式子是需要我们证明的，是我们的目标. 那该怎么证明呢？我们一定要用上假设. 既然假设当n=k时该式成立，那么这个式子就成了已知条件. 然后比较一下已知条件和要证明的式子，等号左边多了一个这一项，那不妨在式子两边同时加上，就有. 再进行化简，我们的目标就达成了. 说明n=k时该式成立能推出n=k+1时该式也成立，加之k的任意性，我们由这两个步骤就可知：对任何，等式都成立.
方法归纳
问题2：怎样正确地使用数学归纳法？
答案：首先，一定不要忘了验证第一步，我们称这一步为归纳奠基，它为后续的证明奠定了基础，是必不可少的. 其次，我们的第二步是在第一步基础上证明命题的成立具有递推性，这实际上是以逻辑的推理代替了无限的验证过程. 假设P（k）为真，要用上假设，以此为已知条件，证明P（k+1）也为真，要明确“用上假设，递推才真”.
典例剖析
例2 已知数列满足，（），试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
答案：这个数列，已知首项，又已知反映相邻两项关系的递推公式. 我们可以对这个式子稍加变形，把提出来，化为（），这样我们就能清晰地看出后一项与前一项之间的关系. 然后我们由，可得. 同理可得，，. 归纳一下：每一项的分母就是该项的序号，分子比分母小1. 故猜想 ().
下面用数学归纳法证明这个猜想. 第一步，当n=1时，该式左边，右边，猜想成立. 第二步，假设n=k（）时，该式成立，即，这个式子就可以作为已知条件，我们后面要用上它. 而我们此时要证明n=k+1时也成立，即证明，这是我们的目标. 那么与之间有什么关系？根据递推公式 ，把代入，得出，分子分母同时乘上k，就得出，也就是. 这样就证明了n=k+1时也成立. 由这两个步骤可知，猜想对任何都成立. 这样，我们就通过“观察——归纳——猜想——证明”的过程解决了这一问题.
例3：已知数列{an}，an≥0，a1＝0，，求证：当n∈N*时，an＜an+1．
答案：（1）由题意得，当n＝1时，，因为an≥0，所以，即a1＜a2成立．（2）假设当n＝k（k∈N*）时，0≤ak＜ak+1，所以＝(ak+2－ak+1)(ak+2＋ak+1＋1)＞0，又an≥0，所以ak+2＋ak+1＋1＞0，所以ak+1＜ak+2，即当n＝k＋1时，an＜an+1也成立．
综上可知，an＜an+1对任意n∈N*都成立．
例4：用数学归纳法证明：（n∈N*）．
思路点拨：分别确定当n＝1，n＝k，n＝k＋1时不等式的左边的值，找到它们之间的关系，运用数学归纳法证题．
证明 （1）当n＝1时，①，不等式成立．
（2）假设当n＝k（k∈N*）时，不等式成立，
即则当n＝k＋1时，即当n＝k＋1时，不等式成立．
由（1）和（2）可知，不等式对任意n∈N*都成立．
例5 设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，，…，，…的前n项和为，试比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论. 这道题有哪些思路？
答案：一种思路是不求和，直接通过n取特殊值比较与n的大小关系，并作出猜想；另一种思路是先由等比数列的求和公式求出，再通过n取特殊值比较与n的大小关系，然后做出猜想.
追问1：该如何解决这道题？
答案：我们不求和，由已知可得. 然后我们通过n取特殊值比较与n的大小关系. 当n=2时，，而此时n=2，那就是要比较与2的大小. 这取决于x的正负. 而题目中说了x为正实数，所以可得. 当n=3时，. 同样，因为x＞0，所以这一部分是大于0的，那自然就有. 由此，我们猜想，这在是x为正实数（），n为大于1的正整数的前提下（且n＞1）.
下面我们用数学归纳法证明这个猜想. 首先，我们这里的n是大于1的正整数，最小是2. 所以第一步应证明n=2时命题成立. 而n=2的情况我们前面已经算过了，不等式是成立的. 然后是第二步，假设n=k时不等式成立. 因为n最小也得是2，所以k应该是≥2的正整数. 那么我们就有，这个式子就可以作为已知条件使用了. 然后，我们必须明确一下证明的目标，就是要证明n=k+1时不等式成立，即，那我们接下来就要寻求与之间的关系。不难发现，，而，所以，而我们要证明的是，如果有就可以了. 因为x>0，所以1+x>1，而k又是大于等于2 的正整数，所以1+x的k次幂一定是大于1的. 这就说明当n=k+1时不等式也成立. 综合以上两步，就证明了对任何大于1的正整数n都成立.
追问2：这道题还有其他解法吗？
答案：实际上这个数列是一个以1为首项，以1+x为公比的等比数列，我们可以先把前n项和给求出来，. 我们接下来通过n取几个特殊值来比较与n的大小关系. 当n=2时，，因为x为正实数，所以可得. 当n=3时，. 因为x＞0，所以. 由此，我们猜想.
下面我们用数学归纳法证明这个猜想. 第一步，应证明n=2时命题成立. 而n=2的情况我们前面已经算过了，不等式是成立的. 然后是第二步，假设n=k时不等式成立，那么我们就有，即这个式子就可以作为已知条件使用了. 而我们的目标是要证明n=k+1时不等式成立，即. 我们比较一下这两个式子的差异，可以把写成. 我们要利用好这个已知条件：两边同时乘x，再同时加1，就有，然后我们就可以得到. 分子展开化简，再除以x，得到xk+k+1. 我们要证明的是它＞k+1，而x和k都是正数，所以自然是成立的. 这就说明当n=k+1时不等式也成立。综合以上两步，就证明了对任何大于1的正整数n都成立.
课堂小结
问题3：通过本节课，你有哪些收获？
答案：这节课学习了数学归纳法的应用，回答了“什么时候需要应用数学归纳法”和“怎样正确地应用数学归纳法”这两个问题. 数学归纳法是一种特殊的数学演绎证明方法，用于证明与正整数有关的数学命题，应用比较广泛，并且某些时候是其他方法难以替代的. 数学归纳法通过有限归纳无限，实现了从量变到质变的飞跃，令人不得不赞叹它的力量与魅力.