新高考数学一轮复习考点讲义：第05章第3讲第2课时公式的灵活运用（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点讲义：第05章第3讲第2课时公式的灵活运用（含解析），共11页。学案主要包含了关键提醒，思路设计等内容，欢迎下载使用。
题型 求值问题的多维研讨
维度1 给角求值
典例1求下列各式的值：
(1)cs 20°cs 40°cs 80°.
(2)sin 6°cs 24°sin 78°cs 48°.
(3)eq \f(1＋cs 20°,2sin 20°)－sin 10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,tan 5°)－tan 5°)).
解：(1)cs 20°cs 40°cs 80°
本例和第(2)小题，都是巧妙构造倍角正弦，精彩之处在于最后的分子和分母两角正弦值可约分，终成定值．
＝eq \f(sin 20°cs 20°cs 40°cs 80°,sin 20°)
＝eq \f(\f(1,2)sin 40°cs 40°cs 80°,sin 20°)
＝eq \f(\f(1,4)sin 80°cs 80°,sin 20°)
＝eq \f(\f(1,8)sin 160°,sin 20°)＝eq \f(1,8).
(2)原式＝cs 12°cs 24°cs 48°cs 84°
类似表达式你能举出几个例子？如：cs eq \f(π,5)·cs eq \f(2π,5)，cs eq \f(π,7)·cs eq \f(2π,7)·cs eq \f(4π,7)，cs eq \f(π,9)·cs eq \f(2π,9)·cs eq \f(4π,9)，cs eq \f(π,11)·cs eq \f(2π,11)·cs eq \f(4π,11)·cs eq \f(8π,11)·cs eq \f(16π,11)等等．
＝eq \f(sin 12°cs 12°cs 24°cs 48°cs 84°,sin 12°)
＝eq \f(\f(1,2)sin 24°cs 24°cs 48°cs 84°,sin 12°)
＝eq \f(\f(1,16)sin 168°,sin 12°)＝eq \f(1,16).
(3)原式＝eq \f(2cs210°,2×2sin 10°cs 10°)－sin 10°eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs 5°,sin 5°)－\f(sin 5°,cs 5°)))
始终在“变化角”的路上，最终只出现一个角. 这也符合化简的思维．
＝eq \f(cs 10°,2sin 10°)－sin 10°·eq \f(cs25°－sin25°,sin 5°cs 5°)
＝eq \f(cs 10°,2sin 10°)－sin 10°·eq \f(cs 10°,\f(1,2)sin 10°)
＝eq \f(cs 10°,2sin 10°)－2cs 10°＝eq \f(cs 10°－2sin 20°,2sin 10°)
＝eq \f(cs 10°－2sin30°－10°,2sin 10°)
＝eq \f(cs 10°－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)),2sin 10°)
＝eq \f(\r(3)sin 10°,2sin 10°)＝eq \f(\r(3),2).
给角求值问题的解题思路
给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：
(1)观察角，巧用诱导公式或拆分将角联系起来；
(2)观察函数名，使函数名统一；
(3)观察结构，灵活利用公式化简.eq \(\s\up7( ),\s\d5( ))
对点练1求下列各式的值：
(1)eq \f(2cs 58°＋sin 28°,cs 28°)；
(2)eq \f(cs 20°,cs 35°\r(1－sin 20°))；
(3)eq \f(cs 10°1＋\r(3)tan 10°－2sin 50°,\r(1－cs 10°)).
解：(1)原式＝eq \f(2cs30°＋28°＋sin 28°,cs 28°)
＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs 28°－\f(1,2)sin 28°))＋sin 28°,cs 28°)
＝eq \f(\r(3)cs 28°,cs 28°)＝eq \r(3).
(2)原式＝eq \f(cs 20°,cs 35°|sin 10°－cs 10°|)
＝eq \f(cs210°－sin210°,cs 35°cs 10°－sin 10°)
＝eq \f(cs 10°＋sin 10°,cs 35°)
＝eq \f(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)cs 10°＋\f(\r(2),2)sin 10°)),cs 35°)
＝eq \f(\r(2)cs45°－10°,cs 35°)
＝eq \f(\r(2)cs 35°,cs 35°)＝eq \r(2).
(3)原式＝eq \f(cs 10°＋\r(3)sin 10°－2sin 50°,\r(2)sin 5°)
＝eq \f(2sin 40°－2sin 50°,\r(2)sin 5°)
＝eq \f(2sin 40°－2cs 40°,\r(2)sin 5°)
＝eq \f(2\r(2)sin40°－45°,\r(2)sin 5°)
＝eq \f(－2\r(2)sin 5°,\r(2)sin 5°)＝－2.
维度2 给值求值
典例2(1)(2023·山东烟台5月模拟)已知α，β满足sin(2α＋β)＝cs β，tan α＝2，则2α＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α，转化为两个角的运算，两边展开后化切．
tan β的值为( )
A．－eq \f(1,3) B．－eq \f(2,3)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(2,3)
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，π