新高考数学一轮复习考点讲义：第03章第4讲幂函数与指、对数式的运算（含解析）

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一 幂函数
1．幂函数的定义
函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．五种幂函数图象的比较
3．幂函数的性质比较
二 指数式
1．根式的概念
(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子eq \r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)(eq \r(n,a))n＝a.
当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a；
当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
三 对数式
1．对数的定义
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的运算法则
(1)对数的性质：lga1＝0，lgaa＝1，algaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM(n∈R)．
(3)换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
常/用/结/论
换底公式的推论
(1)lgab·lgba＝1.
(2)lgab·lgbc＝lgac.
(3)lganbn＝lgab.
(4)lgambn＝eq \f(n,m)lgab.
1．判断下列结论是否正确．
(1)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．()
(2)幂函数的图象不可能在第四象限．(√)
(3)当n>0时，幂函数y＝xn是增函数．()
(4)若ax>1，则x>0.()
2．设a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5))) eq \s\up15(eq \f (2,5)) ，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up15(eq \f (3,5)) ，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5))) eq \s\up15(eq \f (2,5)) ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>bB．a>b>c
C．c>a>bD．b>c>a
解析：∵y＝x eq \s\up15(eq \f (2,5)) 在x>0时单调递增，∴a>c，又∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))x在x>0时单调递减，∴c>b.∴a>c>b.
答案：A
3．(多选)下列运算正确的是( )
A．eq \r(4,3－π4)＝π－3
B．e2x＝(ex)2
C．eq \r(3,a－b3)＝a－b
D．eq \r(ab)＝eq \r(a)·eq \r(b)
解析：对于A，eq \r(4,3－π4)＝|3－π|＝π－3，故A正确；对于B，e2x＝(ex)2成立，故B正确；对于C，eq \r(3,a－b3)＝a－b成立，故C正确；对于D，当a0，
则lg x＝lg 5(1＋lg 3)＋lg 3lg 2＝(1＋lg 3)×lg 5＋lg 2×lg 3
＝lg 5＋lg 3×lg 5＋lg 2×lg 3＝lg 5＋(lg 5＋lg 2)×lg 3＝lg 5＋lg 3＝lg 15.
∴x＝15.
答案：(1)AD (2)C (3)15
题型 指数、对数运算在实际问题中的应用
典例4(1)(2019·全国Ⅱ卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：eq \f(M1,R＋r2)＋eq \f(M2,r2)＝(R＋r)eq \f(M1,R3).设α＝eq \f(r,R).由于α的值很小，因此在近似计算中eq \f(3α3＋3α4＋α5,1＋α2)≈3α3，则r的近似值为( )
A．eq \r(\f(M2,M1))RB．eq \r(\f(M2,2M1))R
C．eq \r(3,\f(3M2,M1))RD．eq \r(3,\f(M2,3M1))R
(2)(多选)(2023·新高考全国Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg eq \f(p,p0)，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1≥p2B．p2>10p3
C．p3＝100p0D．p1≤100p2
解析：(1)将r＝αR代入方程可得eq \f(M1,R＋αR2)＋eq \f(M2,α2R2)
此代换起到简化运算的作用．
＝(1＋α)eq \f(M1,R2)，即eq \f(M1,1＋α2)＋eq \f(M2,α2)＝(1＋α)M1，
由此计算出eq \f(M2,M1)的表达式，很多同学会被难倒．
∴eq \f(α2α3＋3α2＋3α,1＋α2)＝eq \f(M2,M1)，
即eq \f(M2,M1)＝eq \f(α5＋3α4＋3α3,1＋α2)，∴eq \f(M2,M1)≈3α3，
∴α≈eq \r(3,\f(M2,3M1))，
∴r＝αR≈eq \r(3,\f(M2,3M1))R.故选D．
(2)因为Lp＝20×lg eq \f(p,p0)随着p的增大而增大，且Lp1∈[60,90]，Lp2∈[50,60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lg eq \f(p,p0)，得p＝p010 eq \s\up15(eq \f(Lp,20))，因为Lp3＝40，所以p3＝p010 eq \s\up15(eq \f(40,20))＝100p0，故C正确；假设p2>10p3，则p010 eq \s\up15(eq \f(Lp2,20))>10p010 eq \s\up15(eq \f(Lp3,20))，所以10 eq \s\up15(eq \f(Lp2,20)－eq \f(Lp3,20))>10，所以Lp2－Lp3>20，不可能成立，故B不正确；
这样计算并不简捷. 【另解】由Lp2－Lp3≥10，推得20lg eq \f(p2,p0)－20lg eq \f(p3,p0)≥10，经对数运算有p2≥eq \r(10)p3.
因为eq \f(100p2,p1)＝eq \f(100p010 eq \s\up15(\f(Lp2,20)),p010 eq \s\up15(\f(Lp1,20)))＝10 eq \s\up15(eq \f(Lp2,20)－eq \f(Lp1,20)＋2)≥1，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD．
此题难点在选项D，并不是比较p1，p2的大小，而是反向计算p1，p2的数量关系. 由Lp1－Lp2≤40，可知p1≤100p2.
利用已知函数模型解决实际问题的步骤
若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题．
对点练4(1)能源结构转型是我国实现碳达峰与碳中和的关键，光伏发电则是推动能源结构转型的主要动力．目前，我国已将光伏产业列为国家战略性新兴产业之一，在产业政策引导和市场需求驱动的双重作用下，我国光伏产业实现了快速发展，已成为具备国际竞争优势的产业，在制造规模、技术水平和市场份额等方面均位居全球前列．平准化度电成本(LCOE)也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数ICRF对计算度电成本具有重要影响．等年值系数ICRF和设备寿命周期N(单位：年)具有如下函数关系：ICRF＝eq \f(0.051＋rN,1＋rN－1)，其中r为折现率．已知寿命周期为10年的设备的等年值系数约为0.13，则对于寿命周期约为20年的光伏储能微电网系统，其等年值系数约为( )
A．0.03B．0.05
C．0.07D．0.08
(2)(2024·湖北联考)对数对大数据运算具有独特优势，对数的发现，曾被法国著名天文学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间在实效上让天文学家的寿命延长了许多倍”．现有一大数据32 000，用科学记数法可表示为m×10n，其中m∈(1,10)，n∈N*，已知0.477 1