新高考数学一轮复习考点讲义：第06章第4讲复数（含解析）

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一 复数的有关概念
1．复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．
2．复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
3．共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．
4．复数的模
复数z＝a＋bi在复平面中的对应向量为向量eq \(OZ,\s\up15(→))，向量eq \(OZ,\s\up15(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a，b∈R)．
二 复数的几何意义
1．复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
2．复数z＝a＋bi平面向量eq \(OZ,\s\up15(→))＝(a，b)(a，b∈R)．
三 复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．
常/用/结/论
1．(1±i)2＝±2i，eq \f(1＋i,1－i)＝i，eq \f(1－i,1＋i)＝－i.若ω＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i，则有ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0,1＋eq \x\t(ω)＋ω＝0，
ωn也有周期性. ω3k＝1，ω3k＋1＝ω，ω3k＋2＝eq \x\t(ω).(k∈N)
ω2＝eq \x\t(ω).
2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)，i4n＋
in具有周期性．
i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
3．z·eq \x\t(z)＝|z|2＝|eq \x\t(z)|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(z1,z2)))＝eq \f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.
复数模的性质. 再如：|z1|－|z2|≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
1．判断下列结论是否正确．
(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．()
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如4＋3i>3＋3i,3＋4i>3＋3i等．()
(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．()
(4)复数z＝－1＋2i的共轭复数的对应点在第四象限．()
2．(2023·全国甲卷，文)eq \f(51＋i3,2＋i2－i)＝( )
A．－1 B．1
C．1－i D．1＋i
解析：eq \f(51＋i3,2＋i2－i)＝eq \f(51－i,5)＝1－i，故选C.
答案：C
3．(多选)(2024·湖南永州模拟)设复数z＝－eq \f(1,2)－eq \f(\r(3),2)i的共轭复数为eq \x\t(z)，则下列结论正确的有( )
A.eq \x\t(z)＝cseq \f(2π,3)＋isineq \f(2π,3)
B.eq \f(\x\t(z),z2)＝eq \f(1,2)
C.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\x\t(z),z)))＝1
D．z3＋eq \x\t(z)3＝2
解析：由题意可知eq \x\t(z)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r( ,3),2)i＝cseq \f(2π,3)＋isineq \f(2π,3)，所以A正确；因为eq \f(\x\t(z),z2)＝eq \f(－\f(1,2)＋\f(\r( ,3),2)i,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(\r( ,3),2)i))2)＝eq \f(－\f(1,2)＋\f(\r( ,3),2)i,－\f(1,2)＋\f(\r( ,3),2)i)＝1，所以B错误；因为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\x\t(z),z)))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r( ,3),2)i)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)－\f(\r( ,3),2)i)))＝eq \f(1,1)＝1，所以C正确；因为z3＋eq \x\t(z)3＝(z＋eq \x\t(z))(z2－zeq \x\t(z)＋eq \x\t(z)2)＝(z＋eq \x\t(z))[(z＋eq \x\t(z))2－3zeq \x\t(z)]＝(－1)×[(－1)2－3×1]＝2，所以D正确．故选ACD.
答案：ACD
4．(2023·天津卷)已知i是虚数单位，化简eq \f(5＋14i,2＋3i)的结果为________．
解析：由题意可得eq \f(5＋14i,2＋3i)＝eq \f(5＋14i2－3i,2＋3i2－3i)＝eq \f(52＋13i,13)＝4＋i.
答案：4＋i
题型 有关复数相关概念的理解
典例1已知m∈R，复数z＝eq \f(mm－2,m－1)＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时：
(1)z∈R；
(2)z是纯虚数；
(3)z对应的点位于复平面的第二象限．
解：(1)当z为实数时，则有m2＋2m－3＝0且m－1≠0，
只强调虚部为零，显然也有陷阱！
解得m＝－3，故当m＝－3时，z∈R.
(2)当z为纯虚数时，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(mm－2,m－1)＝0，,m2＋2m－3≠0，))
严格概念，写出条件方程．
解得m＝0或m＝2.
(3)当z对应的点位于复平面的第二象限时，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(mm－2,m－1)0，))解得m