新高考数学一轮复习考点讲义：第05章第6讲第2课时正、余弦定理的应用（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点讲义：第05章第6讲第2课时正、余弦定理的应用（含解析），共7页。学案主要包含了扫清障碍，指点迷津，解题关键等内容，欢迎下载使用。
题型 多三角形背景问题
典例1(2024·陕西安康中学质检)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Ccs B－2sin Bcs C＝0.
条件是正弦、余弦齐次式，可以转化为边的关系．
(1)证明：c2－b2＝eq \f(1,3)a2；
此小问是边的关系，可以由条件化边得到．
(2)若a＝3，点D在边BC上，且AD⊥BC，AD＝eq \r(3)，求△ABC的周长．
(1)证明：由sin Ccs B－2sin Bcs C＝0，可得sin Ccs B＋sin Bcs C＝3sin Bcs C，
【扫清障碍】观察已知式的结构，配凑出一个sin(B＋C)，再利用内角和关系转化角．
所以sin(B＋C)＝3sin Bcs C，由B＋C＝π－A，可得sin(B＋C)＝sin A，即sin A＝3sin Bcs C，
所以a＝3b×eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，
【指点迷津】正弦齐次式可以直接用正弦定理化角为边，而余弦式要用对应的余弦定理化角为边，然后通过代数恒等变形进行证明．
可得2a2＝3a2＋3b2－3c2，即c2－b2＝eq \f(1,3)a2.
(2)解：a＝3，由(1)知c2－b2＝3，可得c2＝b2＋3，
由余弦定理得cs∠BAC＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(b2－3,bc).
由AD⊥BC，AD＝eq \r(3)，可得S△ABC＝eq \f(1,2)×3×eq \r(3)＝eq \f(3\r(3),2)，又S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin∠BAC，所以eq \f(1,2)bcsin∠BAC＝eq \f(3\r(3),2)，可得sin∠BAC＝eq \f(3\r(3),bc).
由面积关系解出sin∠BAC的表达式．
因为cs2∠BAC＋sin2∠BAC＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2－3,bc)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),bc)))2＝1，【解题关键】分别用余弦定理和面积公式“刻画”出∠BAC的正、余弦值，再用平方和为1消去角，得到关于边的方程，即可求边．
所以b2＝4，解得b＝2，
所以c2＝b2＋3＝7，可得c＝eq \r(7)，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋2＋eq \r(7)＝5＋eq \r(7).
如果已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解可用正弦定理或余弦定理直接求解的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，通过解方程(组)得出所要求的量．
对点练1(2024·山东师大附中模拟)在“①2bsin C＝csin B－eq \r(3)ccs B，②bcs C＋(2a＋c)cs B＝0”这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若D为AC边上一点，满足AB⊥BD，且BD＝2，________.
(1)求角B；
(2)求eq \f(2,AD)＋eq \f(1,CD)的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：(1)若选择条件①，解答过程如下：
由正弦定理可得2sin Bsin C＝sin Csin B－eq \r(3)sin Ccs B，即sin Bsin C＝－eq \r(3)sin Ccs B．
因为0