新高考数学一轮复习考点讲义：第05章第2讲同角三角函数基本关系式及诱导公式（含解析）

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一 同角三角函数的基本关系式
1．平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
2．商数关系：tan α＝eq \f(sin α,cs α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
二 六组诱导公式
诱导公式可简记为“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”“偶”指的是“k·eq \f(π,2)＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数名称的变化．若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在“k·eq \f(π,2)＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·eq \f(π,2)＋α(k∈Z)”的终边所在的象限．
常/用/结/论
1．sin2α＝1－cs2α＝(1＋cs α)(1－cs α)；cs2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α.
2．sin α＝tan αcs αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
在已知tan α，cs α后，用此法求sin α.
1．判断下列结论是否正确．
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cs2β＝1.()
(2)若α∈R，则tan α＝eq \f(sin α,cs α)恒成立．()
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．()
(4)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝eq \f(1,3)，则cs α＝－eq \f(1,3).(√)
2．sin 210°cs 120°的值为( )
A.eq \f(1,4) B．－eq \f(\r(3),4) C．－eq \f(3,2) D.eq \f(\r(3),4)
解析：sin 210°cs 120°＝(－sin 30°)·(－cs 60°)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝eq \f(1,4).
答案：A
3．(多选)若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A．cs(A＋B)＝cs C
B．sin(A＋B)＝－sin C
C．cseq \f(A＋C,2)＝sineq \f(B,2)
D．sineq \f(B＋C,2)＝cseq \f(A,2)
解析：因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，eq \f(A＋C,2)＝eq \f(π－B,2)，eq \f(B＋C,2)＝eq \f(π－A,2)，所以cs(A＋B)＝cs(π－C)＝－cs C，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，cseq \f(A＋C,2)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(B,2)))＝sineq \f(B,2)，sineq \f(B＋C,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝cseq \f(A,2).
答案：CD
4．化简eq \f(cs π＋αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,2)－α)),csπ－αsin－π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9π,2)＋α)))的结果是( )
A．－1 B．1
C．tan α D．－tan α
解析：原式＝eq \f(－cs α·－sin α·cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α)),－cs α·sin α·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))＝eq \f(－sin2α·cs α,－sin α·cs2α)＝tan α.
答案：C
题型 诱导公式及应用
典例1(1)下列三角函数的值中(k∈Z)，与sineq \f(π,3)的值相同的个数是( )
与eq \f(π,3)和eq \f(2π,3)终边相同的角的正弦值；或者与eq \f(π,6)或－eq \f(π,6)终边相同的角的余弦值．
①sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(4π,3)))；②cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,6)))；③sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,3)))；④cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2k＋1π－\f(π,6)))；⑤sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2k＋1π－\f(π,3))).
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)化简：eq \f(tanπ＋αcs2π＋αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2))),cs－α－3πsin－3π－α)＝________.
对于kπ±α的诱导公式，顺口溜为“函数名不变，符号看象限”；对于eq \f(π,2)±α和eq \f(3π,2)±α的诱导公式，顺口溜为“函数名改变，符号看象限”．
解析：(1)对于①，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(4π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(k＋1π＋\f(π,3)))，当k为奇数时，sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(k＋1π＋\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)；当k为偶数时，sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(k＋1π＋\f(π,3)))＝－sineq \f(π,3)，不满足题意；对于②，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,6)))＝cseq \f(π,6)＝sineq \f(π,3)，满足题意；对于③，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)，满足题意；对于④，cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2k＋1π－\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))＝－cseq \f(π,6)＝－sineq \f(π,3)，不满足题意；对于⑤，sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2k＋1π－\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)，满足题意．故选C.
(2)原式＝eq \f(tan αcs αsin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2))))),cs3π＋α[－sin3π＋α])
＝eq \f(tan αcs αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),－cs αsin α)＝eq \f(tan αcs αcs α,－cs αsin α)
＝－eq \f(tan αcs α,sin α)＝－eq \f(sin α,cs α)·eq \f(cs α,sin α)＝－1.
故答案为－1.
1．诱导公式的两个应用方向与原则
(1)求值．化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了．
(2)化简．化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．
2．含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cs(5π－α)＝cs(π－α)＝－cs α.
对点练1(1)(2024·福建三明模拟)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－eq \f(5,13)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)－α))－2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))＝( )
A．－eq \f(5,13) B.eq \f(5,13) C．－eq \f(15,13) D.eq \f(15,13)
(2)已知f(α)＝eq \f(sinα－3πcs2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(5π,2))),cs－π－αsin－π－α)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,3)))＝________.
解析：(1)因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(5,13)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))＝－cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(5,13)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,6)－α))－2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α))＝eq \f(5,13)－2×eq \f(5,13)＝－eq \f(5,13)，故选A.
(2)因为f(α)＝eq \f(sinα－3πcs2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(5π,2))),cs－π－αsin－π－α)＝eq \f(－sin αcs αcs α,－cs αsin α)＝cs α，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,3)))＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2).
答案：(1)A (2)eq \f(1,2)
题型 同角三角函数基本关系的多维研讨
维度1 公式的直接应用
典例2(1)(2024·广东惠州模拟)已知tan α＝2，π