新高考数学一轮复习考点讲义：第05章第3讲第1课时基本公式（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点讲义：第05章第3讲第1课时基本公式（含解析），共12页。

一 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：
cs(α－β)＝cs_αcs_β＋sin_αsin_β；
(2)公式C(α＋β)：
cs(α＋β)＝cs_αcs_β－sin_αsin_β；
(3)公式S(α－β)：
sin(α－β)＝sin_αcs_β－cs_αsin_β；
(4)公式S(α＋β)：
sin(α＋β)＝sin_αcs_β＋cs_αsin_β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β).
2．辅助角公式
asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，
其中sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)).
二 二倍角的正弦、余弦和正切公式
三 半角公式(不要求记忆)
1．半角的正弦、余弦、正切公式
(1)sineq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,2))；
(2)cseq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋cs α,2))；
(3)taneq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cs α,1＋cs α))＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α).
2．常用的部分三角公式
(1)1－cs α＝2sin2eq \f(α,2),1＋cs α＝2cs2eq \f(α,2).(升幂公式)
(2)1±sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(α,2)±cs \f(α,2)))2.(升幂公式)
(3)sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，
tan2α＝eq \f(1－cs 2α,1＋cs 2α).(降幂公式)
常/用/结/论
1．公式的常用变式
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；tan α·
“变用，逆用”公式也是一种能力. 把tan α＋tan β和tan α·tan β联系在一起．
tan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)＝eq \f(tan α－tan β,tanα－β)－1.
2．常用拆角、拼角技巧
例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；(α－β)＝(α－γ)＋(γ－β)；eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))等．
“千变万变都是角在变”，角形式的变化和角范围的变化是三角求值变形的重点. 高考试题也常有考查．
3．半角正切公式的有理化
借助同角三角函数的基本关系和二倍角公式，可以得到：tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α).
上述式子对应半角的正切公式，我们称之为半角正切公式的有理形式．
4．万能公式
sin α＝eq \f(2tan \f(α,2),1＋tan2\f(α,2))；
cs α＝eq \f(1－tan2\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))；
sin α＝2sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)＝eq \f(2sin\f(α,2)cs\f(α,2),sin2\f(α,2)＋cs2\f(α,2))；
cs α＝eq \f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),cs2\f(α,2)＋sin2\f(α,2)). 两式化切后，即为万能公式．
tan α＝eq \f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2)).
由上可知，只要求出某一个角的半角的正切值，就可以求出该角的任意一个三角函数值，因此以上公式称为万能公式．
1．判断下列结论是否正确．
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√)
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cs Acs B大小不确定．()
(3)eq \f(\r(3),2)sin α＋eq \f(1,2)cs α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3))).()
(4)tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cs α)＝eq \f(1－cs α,sin α).(√)
(5)设eq \f(5π,2)