新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第08章专题8.6 抛物线（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型归纳与专题突破提升练习第08章专题8.6 抛物线（2份，原卷版+解析版），共8页。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc154053078" 题型一： 抛物线的定义 PAGEREF _Tc154053078 \h 4
\l "_Tc154053079" 题型二： 抛物线的标准方程 PAGEREF _Tc154053079 \h 5
\l "_Tc154053080" 题型三： 抛物线的焦点弦 PAGEREF _Tc154053080 \h 7
\l "_Tc154053081" 题型四： 最值问题 PAGEREF _Tc154053081 \h 8
\l "_Tc154053082" 题型五： 抛物线与直线方程 PAGEREF _Tc154053082 \h 9
\l "_Tc154053083" 题型六： 弦长、面积问题 PAGEREF _Tc154053083 \h 11
知识点总结
抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
抛物线标准方程和简单几何性质
【常用结论与知识拓展】
1．抛物线焦点弦的性质
直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有：
(1)通径的长为2p.
(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p(|AF|＝x1＋eq \f(p,2)，|BF|＝x2＋eq \f(p,2)).
(3)x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2.
(4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.
(5)若α为弦AB的倾斜角，则|AF|＝eq \f(p,1－cs α)，|BF|＝eq \f(p,1＋cs α)；|AB|＝eq \f(2p,sin2α).
(6)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)；以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
2．抛物线中的最值
P为抛物线y2＝2px(p>0)上的任一点，F为焦点，则有：|PF|≥eq \f(p,2)；焦点弦AB以通径(2p)为最小值；A(m，n)为一定点，则|PA|＋|PF|有最小值.
3．抛物线的切线
已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，经过焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，分别过A，B作抛物线C的两条切线l1，l2，l1∩l2＝P.则有：(1)l1⊥l2；(2)P在定直线x＝－eq \f(p,2)上；(3)PF⊥AB．
4．抛物线中的焦点三角形
如右图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的直线l：y＝kx－eq \f(kp,2)(其中k为直线l的斜率)交抛物线于A，B两点，那么焦点三角形OAB的面积可以表示为S△OAB＝eq \f(p2,2)eq \r(1＋\f(1,k2))(若抛物线方程为x2＝2py(p>0)，直线l：y＝kx＋eq \f(p,2)，则S△OAB＝eq \f(p2,2)eq \r(1＋k2))．
例题精讲
抛物线的定义
【要点讲解】以抛物线为背景的点的轨迹问题求解策略：借助题目给出的“几何特征”判断平面内动点所满足的“几何条件”，根据抛物线定义即可得出结果．与抛物线上一点有关的距离的最值问题，往往根据抛物线的定义，将到焦点的距离和到准线距离相互转化，再根据“共线”的几何特征进行求解．
若点到点的距离比它到直线的距离大1，则点的轨迹方程为
A．B．C．D．
已知点为抛物线上的点，且点到抛物线的焦点的距离为3，则 ．
动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹是
A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线
设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于、两点，若点恰为线段的中点，则 ．
已知曲线上的任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）若曲线上有两个定点、分别在其对称轴的上、下两侧，且，，求原点到直线的距离．
抛物线的标准方程
【要点讲解】求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
准线方程为的抛物线的标准方程是
A．B．C．D．
焦点坐标为的抛物线的标准方程是
A．B．C．D．
若抛物线上一点到其准线的距离为3，则抛物线的标准方程为
A．B．C．D．
以坐标轴为对称轴，焦点在直线上的抛物线的标准方程为
A．或B．或
C．或D．或
中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶时，水面宽．若水面下降，则水面宽度为
A．B．C．D．12
已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，且过点，则此抛物线的标准方程为 ．
过点，且顶点在原点、对称轴为坐标轴的抛物线的标准方程为 ．
经过点焦点在轴上的抛物线标准方程．
分别求适合下列条件的方程：
（1）长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）经过点的抛物线的标准方程．
（1）求准线为的抛物线标准方程；
（2）求中心在原点，焦点在轴上，渐近线为，且实轴长为2的双曲线标准方程．
抛物线的焦点弦
【要点讲解】在解决抛物线的焦点弦有关的问题时，要注意利用几何图形(特征“直角梯形”)的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
若抛物线的准线经过椭圆的右焦点，则的值为
A．B．C．1D．2
抛物线的焦点到准线的距离为
A．4B．2C．D．
已知是抛物线的焦点，为抛物线上一点．若，则点的横坐标为
A．12B．16C．18D．19
已知为抛物线上的动点，动点满足到点的距离与到点是的焦点）的距离之比为，则的最小值是
A．B．C．D．4
设抛物线的准线与轴的交点为，为坐标原点，经过、两点的圆与直线相切，圆与抛物线的另一个交点为，若，则
A．2或B．2或4C．或D．2或
直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，线段中点的纵坐标为1，为坐标原点，则到直线的距离为
A．B．C．D．
已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则
A．B．C．D．
最值问题
抛物线上有一动点，其焦点为，，则的最小值为 ．
已知点及抛物线上一动点，，则的最小值为 ．
已知抛物线的焦点为，动点在上，圆的半径为1，过点的直线与圆相切于点，则的最小值为
A．2B．3C．4D．5
抛物线的焦点到圆上点的距离的最小值为
A．0B．4C．5D．6
已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线任意一点，当取最小值时，点的坐标为 ．
已知为抛物线上的动点，点在轴上的射影为，点的坐标是，则的最小值是
A．2B．C．D．
已知抛物线上一点，，点，则的最小值是
A．10B．8C．5D．4
抛物线与直线方程
【要点讲解】对于开口向上或向下的抛物线的切线问题，常常借助导数的几何意义写出切线方程，则根据韦达定理等解决问题，常用的解题策略有“变量代换”，“同构法确定直线”等．所谓“同构法确定直线”即若A(x1，y1)，B(x2，y2)分别满足x1－2y1＋2＝0，x2－2y2＋2＝0，则直线AB的方程为x－2y＋2＝0.
已知点，在抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则直线一定过点
A．B．，C．D．
已知抛物线，过点的直线与交于，两点，线段的垂直平分线与轴的交点为点，若，则的面积为
A．B．C．D．
已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合．斜率为的直线经过点，且与的交点为，．若，则直线的斜率为
A．1B．C．D．
过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，点是原点，若，则的面积为
A．B．C．D．
已知抛物线的焦点为，直线过焦点与交于，两点，以为直径的圆与轴交于，两点，且，则直线的方程为
A．B．C．D．
已知抛物线的焦点为，直线过焦点与交于、两点，以为直径的圆与轴交于、两点，且，则直线的方程为
A．B．C．D．
在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，直线的方程为
A．B．
C．或D．或
弦长、面积问题
【要点讲解】解决直线与抛物线相交的弦长、面积问题，同直线与椭圆、双曲线位置关系问题类似，要注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧. 另外，抛物线的几何性质及导数工具等的应用往往能简化运算. 有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.
已知过点的直线与抛物线交于，两点，且当的斜率为1时，恰为中点．
（1）求的值；
（2）当经过抛物线的焦点时，求的面积．
已知抛物线的顶点为坐标原点，准线方程为．
（1）求的方程；
（2）若直线与交于，两点，求弦的长．
已知抛物线的焦点为，为上一动点，为圆上一动点，的最小值为．
（1）求的方程；
（2）直线交于，两点，交轴的正半轴于点，点与关于原点对称，且，求证为定值．
已知点是抛物线上一点，直线与抛物线交于，两点（位于对称轴异侧），为坐标原点）．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线必过定点．
已知抛物线上的点到其焦点的距离为2．
（1）求的方程及焦点的坐标．
（2）过点的直线交抛物线于，两点，且的面积为8，求直线的方程．
抛物线的焦点为，直线过焦点与抛物线交于，两点，当垂直于轴时．
（1）求抛物线的方程；
（2）点，直线，与抛物线的交点分别为，；探究直线是否过定点，如果过定点，求出该定点：如果不过定点，请说明理由．
已知点在抛物线上，、为抛物线上的两个动点，不垂直于轴，为焦点，且．
（1）求的值，并证明的垂直平分线过定点；
（2）设（1）中的定点为，求面积是否有最大值，若有，求出其最大值，若没有，请说明理由．
标准
方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
图形
开口
向右
向左
向上
向下
焦点
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
简单
几何
性质
范围
x≥0，
y∈R
x≤0，
y∈R
y≥0，
x∈R
y≤0，
x∈R
对称
轴
x轴
y轴
顶点
原点O(0,0)
离心率
e＝1