新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第8章8.7离心率的范围问题（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第8章8.7离心率的范围问题（含答案解析），共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上存在点A，使得∠F1AF2＝eq \f(π,3)，则椭圆离心率的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
2．(2023·潍坊模拟)已知F1，F2分别为椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，直线l：x＝eq \f(a2＋b2,a)，且PQ⊥l，垂足为Q点．若四边形QPF1F2为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)－1，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\r(2)－1)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
3．(2023·武汉模拟)已知圆C1：x2＋y2＝b2(b>0)与双曲线C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，若在双曲线C2上存在一点P，使得过点P所作的圆C1的两条切线(切点为A，B)满足∠APB＝eq \f(π,3)，则双曲线C2的离心率的最小值为( )
A.eq \r(5) B.eq \r(3) C.eq \f(\r(5),2) D.eq \r(2)
4．(2023·承德模拟)已知过点P(1,2)可作双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条切线，若两个切点分别在双曲线C的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为( )
A．(eq \r(5)，＋∞) B．(1，eq \r(5))
C．(1，eq \r(3)) D．(eq \r(3)，＋∞)
5．(2023·合肥模拟)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>2，b>0)的焦距为2c(c>0)，已知点A(a,0)，B(0，b)，点(2,0)到直线AB的距离为d1，点(－2,0)到直线AB的距离为d2，且d1＋d2≥eq \f(4,5)c，则双曲线离心率的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，\r(2))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，\r(5)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),2)，\r(10))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\r(3)，2\r(3)))
6．已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线PF1与y轴交于Q点．若AQ∥PF2，则双曲线E的离心率的取值范围为( )
A．(eq \r(3)，＋∞) B．[eq \r(2)＋1，＋∞)
C．(eq \r(2)＋1，＋∞) D．(eq \r(3)，eq \r(2)＋1]
二、多项选择题
7．(2023·西安模拟)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上一点A，它关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,3)))，则该椭圆的离心率可能是( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(5),3)
8．已知O为坐标原点，双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，l是C的一条渐近线，以F为圆心，a为半径的圆与l交于A，B两点，则( )
A．过点O且与圆F相切的直线与双曲线C没有公共点
B．双曲线C的离心率的最大值是eq \r(2)
C．若eq \(FA,\s\up6(→))·eq \(FB,\s\up6(→))>0，则双曲线C的离心率的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)，\r(2)))
D．若eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，则双曲线C的离心率为eq \f(\r(17),3)
三、填空题
9．已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，点B(3a,0)．若在双曲线E的渐近线上存在点P，使得eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝0，则双曲线E的离心率的取值范围是________．
10．(2023·南充模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上顶点为B，O为坐标原点，点P(a，b)，线段OP与椭圆C交于点M，点Q在线段OM上，且|OM|2＝|OP||OQ|，若直线BQ与圆x2＋y2＝a2－b2相交，则椭圆C的离心率的取值范围为________．
§8.7 离心率的范围问题
1．D 2.B 3.C 4.B
5．B [依题意得直线AB：eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，
即bx＋ay－ab＝0，又a>2，
所以d1＝eq \f(|2b－ab|,\r(a2＋b2))＝eq \f(ba－2,\r(a2＋b2))，
d2＝eq \f(|－2b－ab|,\r(a2＋b2))＝eq \f(ba＋2,\r(a2＋b2))，
所以d1＋d2＝eq \f(ba－2,\r(a2＋b2))＋eq \f(ba＋2,\r(a2＋b2))＝eq \f(2ab,c)≥eq \f(4,5)c，
所以5eq \r(c2－a2)·a≥2c2，
即25(c2－a2)·a2≥4c4，
即4e4－25e2＋25≤0，
解得eq \f(5,4)≤e2≤5，
又e>1，所以e∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，\r(5))).]
6．C [如图所示，根据题意可得
F1(－c,0)，F2(c,0)，A(a,0)，
设P(x1，y1)，则直线PF1的方程为y＝eq \f(y1,x1＋c)(x＋c)，
所以直线PF1与y轴的交点
Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(cy1,x1＋c)))，
由AQ∥PF2可得kAQ＝，
即eq \f(\f(cy1,x1＋c)－0,0－a)＝eq \f(y1,x1－c)，
整理得(a＋c)x1＝c2－ac，
即x1＝eq \f(c2－ac,a＋c)，
又因为P为双曲线右支上一点，
所以x1≥a，
当x1＝a时，AQ，PF2共线，与题意不符，即x1>a，可得x1＝eq \f(c2－ac,a＋c)>a，
整理得c2－a2－2ac>0，
即e2－2e－1>0，
解得e>eq \r(2)＋1或e