新高考数学二轮复习专题巩固练--8.4　抛物线（含答案解析）

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五年高考
高考新风向
(多选)(2024新课标Ⅱ,10,6分,中)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点.过P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B.则( )
A.l与☉A相切
B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=15
C.当|PB|=2时,PA⊥AB
D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
考点1 抛物线的定义和标准方程
1.(2023北京,6,4分,易)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=( )
A.7 B.6 C.5 D.4
2.(2021新高考Ⅱ,3,5分,易)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2,则p= ( )
A.1 B.2 C.22 D.4
3.(2020课标Ⅰ理,4,5分,易)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=( )
A.2 B.3 C.6 D.9
4.(2022全国乙,文6,理5,5分,中)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=( )
A.2 B.22
C.3 D.32
5.(2023全国乙,文13,理13,5分,易)已知点A(1,5)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为 .
6.(2021全国乙文,20,12分,中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程;
(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足PQ=9QF,求直线OQ斜率的最大值.
考点2 抛物线的几何性质
1.(2020课标Ⅲ文,7,5分,中)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为( )
A.14,0 B.12,0 C.(1,0) D.(2,0)
2.(2020北京,7,4分,中)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线( )
A.经过点O B.经过点P
C.平行于直线OP D.垂直于直线OP
3.(多选)(2023新课标Ⅱ,10,5分,中)设O为坐标原点,直线y=-3(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则( )
A.p=2
B.|MN|=83
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
4.(多选)(2022新高考Ⅰ,11,5分,中)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则( )
A.C的准线为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
5.(多选)(2022新高考Ⅱ,10,5分,中)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则 ( )
A.直线AB的斜率为26
B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM+∠OBM0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为 .
三年模拟
练速度
1.(2024山东潍坊一模,2)已知抛物线C:x2=y上点M的纵坐标为1,则M到C的焦点的距离为( )
A.1 B.54 C.32 D.2
2.(2024安徽黄山一模,2)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F12,0,则p的值为( )
A.14 B.12 C.1 D.2
3.(2024浙江杭州二中、湖南长沙长郡中学、江苏南京师大附中联考,4)抛物线y2=2px(p>0)上的点P(2,2)到焦点的距离为( )
A.52 B.2 C.32 D.1
4.(2024 T8联盟联考一,3)若圆C:x2+y2-4x+3=0与抛物线x2=2py(p>0)的准线相切,则抛物线的焦点坐标为( )
A.(2,0) B.(0,2) C.(0,1) D.(1,0)
5.(2024湖北武汉二调,5)设抛物线y2=2x的焦点为F,过抛物线上点P作其准线的垂线,设垂足为Q,若∠PQF=30°,则|PQ|=( )
A.23 B.33 C.34 D.32
6.(2024江西南昌一模,5)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,A是抛物线C在第一象限部分上一点,若|AF|=4,则抛物线C在点A处的切线方程为( )
A.3x-y-3=0 B.2x-y-1=0
C.x-y-1=0 D.2x-y-2=0
7.(2024广东五粤名校第一次联考,3)抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点,则|AF|+4|BF|的最小值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
8.(2024河北唐山一模,6)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,以F为圆心的圆与E交于A,B两点,与E的准线交于C、D两点,若|CD|=221,则|AB|=( )
A.3 B.4 C.6 D.8
9.(2024浙江金丽衢十二校联考,6)已知抛物线C1:x2=2y的焦点为F,以F为圆心的圆C2交C1于A,B两点,交C1的准线于C,D两点,若四边形ABCD是矩形,则圆C2的方程为 ( )
A.x2+(y-1)2=12 B.x2+(y-1)2=16
C.x2+y−122=3 D.x2+y−122=4
10.(2024安徽阜阳一模,13)抛物线C1:y2=2px(p>0)绕其顶点逆时针旋转θ00)的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点(点A在第一象限),∠AFO=120°(O为坐标原点),|AF|=4,则|BF|= .
10.(2024浙江金华十校模拟,18)设抛物线C:y2=2px(p>0),直线x=-1是抛物线C的准线,且与x轴交于点B,过点B的直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,A(1,n)是不在直线l上的一点,直线AM,AN分别与准线交于P,Q两点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)证明:|BP|=|BQ|;
(3)记△AMN,△APQ的面积分别为S1,S2,若S1=2S2,求直线l的方程.
11.(2024湖北武汉四调,18)已知抛物线E:y=x2,过点T(1,2)的直线与抛物线E交于A,B两点,设抛物线E在点A,B处的切线分别为l1和l2,已知l1与x轴交于点M,l2与x轴交于点N,设l1与l2的交点为P.
(1)证明:点P在定直线上;
(2)若△PMN面积为2,求点P的坐标;
(3)若P,M,N,T四点共圆,求点P的坐标.
练风向
1.(创新知识交汇)(多选)(2024河北联考,10)双曲抛物线又称马鞍面,因其形似马具中的马鞍表面而得名.其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应用.在空间直角坐标系中,将一条xOz平面内开口向上的抛物线沿着另一条yOz平面内开口向下的抛物线滑动(两条抛物线的顶点重合)所形成的就是马鞍面,其坐标原点被称为马鞍面的鞍点,其标准方程为x2a2-y2b2=2z(a>0,b>0),则下列说法正确的是( )
A.用平行于xOy平面的面截马鞍面,所得轨迹为双曲线
B.用法向量为(1,0,0)的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
C.用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线
D.用过原点且法向量为(1,1,0)的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
2.(创新考法)(2024浙江9+1联盟3月联考,13)应用抛物线和双曲线的光学性质,可以设计制造反射式天文望远镜,这种望远镜的特点是,镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚.某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜,其光学系统的原理如图(中心截口示意图)所示.其中,一个反射镜PO1Q弧所在的曲线为抛物线,另一个反射镜MO2N弧所在的曲线为双曲线一个分支.已知F1,F2是双曲线的两个焦点,其中F2同时又是抛物线的焦点,且∠NF2F1=45°,tan∠NF1F2=14,△NF1F2的面积为10,|O1F2|=8,则抛物线方程为 .
8.4 抛物线
五年高考
高考新风向
(多选)(2024新课标Ⅱ,10,6分,中)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点.过P作☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B.则( ABD )
A.l与☉A相切
B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=15
C.当|PB|=2时,PA⊥AB
D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
考点1 抛物线的定义和标准方程
1.(2023北京,6,4分,易)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=( D )
A.7 B.6 C.5 D.4
2.(2021新高考Ⅱ,3,5分,易)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2,则p= ( B )
A.1 B.2 C.22 D.4
3.(2020课标Ⅰ理,4,5分,易)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=( C )
A.2 B.3 C.6 D.9
4.(2022全国乙,文6,理5,5分,中)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=( B )
A.2 B.22
C.3 D.32
5.(2023全国乙,文13,理13,5分,易)已知点A(1,5)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为 94 .
6.(2021全国乙文,20,12分,中)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程;
(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足PQ=9QF,求直线OQ斜率的最大值.
解析 (1)∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,∴p=2.
∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)第一步:设点写向量坐标,利用向量相等坐标相同得点Q的坐标.
设点P(4x02,4x0),Q(x1,y1),
则PQ=(x1-4x02,y1-4x0),
∵F(1,0),∴QF=(1-x1,-y1),
∵PQ=9QF,
∴x1−4x02=9(1−x1),y1−4x0=9(−y1),整理得x1=110(9+4x02),y1=410x0.
第二步:用参数x0表示kOQ,利用基本不等式求其最值.
∴kOQ=y1x1=4x09+4x02,
当kOQ最大时,x0>0,∴kOQ=49x0+4x0≤4236=13,
当且仅当4x0=9x0时取“=”,此时x0=32,点P的坐标为(9,6),因此kOQ的最大值为13.
考点2 抛物线的几何性质
1.(2020课标Ⅲ文,7,5分,中)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为( B )
A.14,0 B.12,0 C.(1,0) D.(2,0)
2.(2020北京,7,4分,中)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线( B )
A.经过点O B.经过点P
C.平行于直线OP D.垂直于直线OP
3.(多选)(2023新课标Ⅱ,10,5分,中)设O为坐标原点,直线y=-3(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则( AC )
A.p=2
B.|MN|=83
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
4.(多选)(2022新高考Ⅰ,11,5分,中)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则( BCD )
A.C的准线为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
5.(多选)(2022新高考Ⅱ,10,5分,中)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则 ( ACD )
A.直线AB的斜率为26
B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM+∠OBM0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为 x=
-32 .
三年模拟
练速度
1.(2024山东潍坊一模,2)已知抛物线C:x2=y上点M的纵坐标为1,则M到C的焦点的距离为 ( B )
A.1 B.54 C.32 D.2
2.(2024安徽黄山一模,2)已知抛物线C:y2=2px的焦点为F12,0,则p的值为( C )
A.14 B.12 C.1 D.2
3.(2024浙江杭州二中、湖南长沙长郡中学、江苏南京师大附中联考,4)抛物线y2=2px(p>0)上的点P(2,2)到焦点的距离为( A )
A.52 B.2 C.32 D.1
4.(2024 T8联盟联考一,3)若圆C:x2+y2-4x+3=0与抛物线x2=2py(p>0)的准线相切,则抛物线的焦点坐标为( C )
A.(2,0) B.(0,2) C.(0,1) D.(1,0)
5.(2024湖北武汉二调,5)设抛物线y2=2x的焦点为F,过抛物线上点P作其准线的垂线,设垂足为Q,若∠PQF=30°,则|PQ|=( A )
A.23 B.33 C.34 D.32
6.(2024江西南昌一模,5)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,A是抛物线C在第一象限部分上一点,若|AF|=4,则抛物线C在点A处的切线方程为( A )
A.3x-y-3=0 B.2x-y-1=0
C.x-y-1=0 D.2x-y-2=0
7.(2024广东五粤名校第一次联考,3)抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点,则|AF|+4|BF|的最小值为( D )
A.6 B.7 C.8 D.9
8.(2024河北唐山一模,6)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,以F为圆心的圆与E交于A,B两点,与E的准线交于C、D两点,若|CD|=221,则|AB|=( D )
A.3 B.4 C.6 D.8
9.(2024浙江金丽衢十二校联考,6)已知抛物线C1:x2=2y的焦点为F,以F为圆心的圆C2交C1于A,B两点,交C1的准线于C,D两点,若四边形ABCD是矩形,则圆C2的方程为 ( D )
A.x2+(y-1)2=12 B.x2+(y-1)2=16
C.x2+y−122=3 D.x2+y−122=4
10.(2024安徽阜阳一模,13)抛物线C1:y2=2px(p>0)绕其顶点逆时针旋转θ00)的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点(点A在第一象限),∠AFO=120°(O为坐标原点),|AF|=4,则|BF|= 43 .
10.(2024浙江金华十校模拟,18)设抛物线C:y2=2px(p>0),直线x=-1是抛物线C的准线,且与x轴交于点B,过点B的直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,A(1,n)是不在直线l上的一点,直线AM,AN分别与准线交于P,Q两点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)证明:|BP|=|BQ|;
(3)记△AMN,△APQ的面积分别为S1,S2,若S1=2S2,求直线l的方程.
解析 (1)由题意知-p2=-1,则p=2,
故抛物线C的方程为y2=4x.(3分)
(2)证明:设l:x=ty-1,M(x1,y1),N(x2,y2),
联立y2=4x,x=ty−1,消去x得y2-4ty+4=0,
则Δ=16(t2-1)>0,且y1+y2=4t,y1y2=4.(5分)
AM:y-n=y1−nx1−1(x-1),令x=-1,得P−1,n−2(y1−n)x1−1,
同理可得Q−1,n−2(y2−n)x2−1,(7分)
则|BP|=|yP|,|BQ|=|yQ|,因为yP+yQ=n-2(y1−n)x1−1+n-2(y2−n)x2−1=2n-2(y1−n)ty1−2+2(y2−n)ty2−2
=2n-2(y1−n)(ty2−2)+2(y2−n)(ty1−2)(ty1−2)·(ty2−2)
=2n-4ty1y2−(2nt+4)(y1+y2)+8nt2y1y2−2t(y1+y2)+4=2n-8n−8nt24−4t2=0,
所以|yP|=|yQ|,故|BP|=BQ|.(10分)
(3)解法一:设点A到直线PQ,MN的距离分别为d1,d2,易知d1=2.
由(2)可得,d2=|2−nt|t2+1,|MN|=(t2+1)[(y1+y2)2−4y1y2]=4(t2+1)(t2−1),则S2=12|PQ|d1=|PQ|=2(y1−n)ty1−2−2(y2−n)ty2−2=2|nt−2|t2−1,(13分)
S1=12|MN|d2=12×4(t2+1)(t2−1)·|2−nt|t2+1=2t2−1·|nt-2|,(15分)
由S1=2S2得t2-1=2,解得t=±3,
所以直线l的方程为x±3y+1=0.(17分)
解法二:S1S2=12|AM|·|AN|·sin∠MAN12|AP|·|AQ|·sin∠PAQ=|AM|·|AN||AP|·|AQ|=|(x1−1)(x2−1)|4,(14分)
所以S1S2=|(ty1−2)(ty2−2)|4=|t2y1y2−2t(y1+y2)+4|4=t2-1.(15分)
由S1=2S2得t2-1=2,解得t=±3,
所以直线l的方程为x±3y+1=0.(17分)
11.(2024湖北武汉四调,18)已知抛物线E:y=x2,过点T(1,2)的直线与抛物线E交于A,B两点,设抛物线E在点A,B处的切线分别为l1和l2,已知l1与x轴交于点M,l2与x轴交于点N,设l1与l2的交点为P.
(1)证明:点P在定直线上;
(2)若△PMN面积为2,求点P的坐标;
(3)若P,M,N,T四点共圆,求点P的坐标.
解析 (1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),P(xP,yP).
由y=x2,得y'=2x,所以l1的方程为y=2x1(x-x1)+y1,整理得y=2x1x-x12.同理,l2的方程为y=2x2x-x22.
联立得y=2x1x−x12,y=2x2x−x22,解得xP=x1+x22,yP=x1x2.
设直线AB的方程为y=k(x-1)+2,联立得y=k(x−1)+2,y=x2,
消y得x2-kx+k-2=0,
故x1+x2=k,x1x2=k-2,所以xP=k2,yP=k-2,有yP=2xP-2.
所以点P在定直线y=2x-2上.(6分)
(2)在l1,l2的方程中,令y=0,得Mx12,0,Nx22,0,
所以△PMN的面积S=12|MN|·|yP|=14|(x1-x2)x1x2|=2.
故(x1-x2)2(x1x2)2=32,即[(x1+x2)2-4x1x2](x1x2)2=32,则(k2-4k+8)(k2-4k+4)=32.
即[(k-2)2+8][(k-2)2-4]=0,解得k=0或k=4.
所以点P的坐标为(0,-2)或(2,2).(11分)
(3)抛物线的焦点坐标为F0,14,由Mx12,0得直线MF的斜率kMF=-12x1=-1kMP,所以MF⊥MP,
同理NF⊥NP,所以PF是△PMN外接圆的直径.
若点T也在该圆上,则TF⊥TP.
由kTF=74,得直线TP的方程为y=-47(x-1)+2.
又点P在定直线y=2x-2上.
联立两直线方程,解得点P的坐标为169,149.(17分)
练风向
1.(创新知识交汇)(多选)(2024河北联考,10)双曲抛物线又称马鞍面,因其形似马具中的马鞍表面而得名.其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应用.在空间直角坐标系中,将一条xOz平面内开口向上的抛物线沿着另一条yOz平面内开口向下的抛物线滑动(两条抛物线的顶点重合)所形成的就是马鞍面,其坐标原点被称为马鞍面的鞍点,其标准方程为x2a2-y2b2=2z(a>0,b>0),则下列说法正确的是( AB )
A.用平行于xOy平面的面截马鞍面,所得轨迹为双曲线
B.用法向量为(1,0,0)的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
C.用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线
D.用过原点且法向量为(1,1,0)的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
2.(创新考法)(2024浙江9+1联盟3月联考,13)应用抛物线和双曲线的光学性质,可以设计制造反射式天文望远镜,这种望远镜的特点是,镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚.某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜,其光学系统的原理如图(中心截口示意图)所示.其中,一个反射镜PO1Q弧所在的曲线为抛物线,另一个反射镜MO2N弧所在的曲线为双曲线一个分支.已知F1,F2是双曲线的两个焦点,其中F2同时又是抛物线的焦点,且∠NF2F1=45°,tan∠NF1F2=14,△NF1F2的面积为10,|O1F2|=8,则抛物线方程为 y2=32(x+3) .