新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第8章8.11圆锥曲线中求值与证明问题（含答案解析）

这是一份新高考数学一轮复习考点基础+提升练习第8章8.11圆锥曲线中求值与证明问题（含答案解析），共5页。试卷主要包含了已知抛物线C，已知双曲线C等内容，欢迎下载使用。
1．已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点．
(1)若a＝2，求线段AB的长；
(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？
2．(2023·宁德模拟)若Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(\r(2),2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(2),2)))，C(0,1)，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))四点中恰有三点在椭圆T：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上．
(1)求椭圆T的方程；
(2)动直线y＝eq \f(\r(2),2)x＋t(t≠0)与椭圆交于E，F两点，EF的中点为M，连接OM(其中O为坐标原点)交椭圆于P，Q两点，证明：|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.
3．(2024·遂宁模拟)已知抛物线C：y2＝2x，过P(1,0)的直线与C相交于A，B两点，其中O为坐标原点．
(1)证明：直线OA，OB的斜率之积为定值；
(2)若线段AB的垂直平分线交y轴于M，且tan∠AMB＝eq \f(12,5)，求直线AB的方程．
4．(2022·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±eq \r(3)x.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－eq \r(3)的直线与过Q且斜率为eq \r(3)的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
§8.11 圆锥曲线中求值与证明问题
1．解 (1)由题设，y＝2x＋1，联立直线与双曲线方程并整理得x2＋4x＋2＝0，所以Δ＝16－4×2＝8>0，
则xA＋xB＝－4，xAxB＝2，
所以|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xA＋xB2－4xAxB)＝eq \r(5)×eq \r(8)＝2eq \r(10).
(2)联立直线与双曲线方程得
3x2－(ax＋1)2＝1，
整理有(3－a2)x2－2ax－2＝0，
由题意Δ＝4a2＋8(3－a2)＝24－4a2>0，且3－a2≠0，即－eq \r(6)