2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第八章8.8抛物线(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第八章8.8抛物线(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了8　抛物线，抛物线的定义，抛物线的标准方程与几何性质，已知点M不在抛物线C等内容，欢迎下载使用。
【考情分析·探规律】
【知识梳理】
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
【名师点拨】
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也称为抛物线的焦半径.
3.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝x1＋x2＋p，也称为抛物线的焦点弦.
4.抛物线定义中，如果定点F在直线l上，此时动点的轨迹为过点F且与l垂直的直线.
5.不同的方程中，焦半径公式、焦点弦公式也不相同.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，0))，准线方程是x＝－eq \f(a,4).( )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )
(4)抛物线的离心率一定大于椭圆的离心率.( )
2.(多选)关于抛物线y2＝－2x，下列说法正确的是( )
A.开口向左B.焦点坐标为(－1，0)
C.准线为x＝1D.对称轴为x轴
3.已知点P(6，y0)在焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p>0)上，若|PF|＝152，则p等于( )
A.3B.6
C.9D.12
4.抛物线y2＝2px(p>0)过点A(2，2)，则点A到抛物线准线的距离为 .
【必练核心题型】
题型一 抛物线的定义及应用
【典例】1.若抛物线x2＝8y上一点(x0，y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则y0等于( )
A.12B.1
C.32D.2
【典例】2.(多选)(2025·八省联考)已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点.则( )
A.p=4
B.|MF|≥|OF|
C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D.当∠OFM=120°时,△OFM的面积为23
【变式训练】
变式1.抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离是10，则M到x轴的距离是( )
A.4B.6
C.7D.9
变式2.已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到直线l：x＝1的距离为d1，到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是( )
A.52B.522
C.2D.2
题型二 抛物线的标准方程
【典例】1.若抛物线过点(3，－4)，则抛物线的标准方程为 .
【典例】2.已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，第一象限内的点A在E上，AB垂直l于点B，BF交y轴于点C，若|AF|＝2|BC|＝4，则抛物线的标准方程为 .
【变式训练】
变式1.抛物线C的焦点F关于其准线对称的点为(0，－9)，则抛物线C的方程为( )
A.x2＝6yB.x2＝12y
C.x2＝18yD.x2＝36y
变式2.“米”是象形字，数学探究课上，某同学用抛物线C1：y2＝－2px(p>0)，C2：y2＝2px(p>0)构造了一个类似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线C1，C2的焦点分别为F1，F2，点P在抛物线C1上，过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q，若|PF1|＝2|PQ|＝8，则p等于( )
A.4B.6
C.8D.12
题型三 抛物线的几何性质
【典例】1.(多选)对于抛物线18x2＝y，下列描述正确的是( )
A.开口向上，焦点为(0，2)
B.开口向上，焦点为0，116
C.焦点到准线的距离为4
D.准线方程为y＝－4
【典例】2.(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝8x过焦点的弦的两个端点，焦点为F，则( )
A.焦点F的坐标为(4，0)
B.|AB|＝x1＋x2＋4
C.y1y2＝－8
D.1|FA|＋1|FB|＝12
【变式训练】
变式1.A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且△OAB(O为坐标原点)的重心恰为F，若|AF|＝5，则p等于( )
A.1B.2
C.3D.4
变式2.(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1，2)，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则( )
A.p＝2B.|AB|≥4
C.OA·OB＝－4D.k1k2＝－4
【拓展训练】
阿基米德三角形
1.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.如图.
2.阿基米德三角形的常见性质
(1)阿基米德三角形底边上的中线平行(或重合)于抛物线的对称轴.
(2)若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点P，则另一顶点C的轨迹为一条直线.
(3)若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点C的轨迹为准线，且CA⊥CB，CF⊥AB，阿基米德三角形的面积的最小值为p2.
(4)若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.
(5)底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为a38p.
(6)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB为阿基米德三角形的底边，则阿基米德三角形顶点C的坐标为y1y22p，y1＋y22.
推论：阿基米德三角形的顶点C的纵坐标与弦AB的中点M的纵坐标相同，顶点C的横坐标与弦AB与x轴交点D的横坐标互为相反数.
【典例】 (多选)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，在两点处的切线相交于点Q，则下列说法中正确的是( )
A.当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆
B.若M为弦AB的中点，则MQ与x轴平行(或重合)
C.若弦AB过抛物线的焦点，则点Q在抛物线的准线上
D.若阿基米德三角形的底边AB过焦点，M为弦AB的中点，则该三角形的面积最小值为2p
【限时训练】（限时：60分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( )
A.x2＝±3yB.y2＝±6x
C.x2＝±12yD.y2＝±12x
2.已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，P(x0，8)是C上一点，且P到F的距离与P到C的对称轴的距离之差为2，则p等于( )
A.12B.1
C.2或4D.4或36
3.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP＝4FQ，则|QF|等于( )
A.72B.52
C.3D.2
4.在平面直角坐标系Oxy中，抛物线C：y2＝8x，P为x轴正半轴上一点，线段OP的垂直平分线l交C于A，B两点，若∠OAP＝60°，则四边形OAPB的周长为( )
A.64B.643
C.6433D.643
5.已知过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l垂直于x轴，且与抛物线C交于P，Q两点，点E在x轴上，且|EF|＝2.若kOP·kEQ＝－2(O为坐标原点)，则C的准线方程为( )
A.x＝－1B.x＝－12
C.x＝－2D.x＝－32
6.已知x轴上一定点A(a，0)(a>0)，和抛物线y2＝2px(p>0)上的一动点M，若|AM|≥a恒成立，则实数a的取值范围为( )
A.0，p2B.(0，p]
C.0，3p2D.(0，2p]
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P(5，y0)在抛物线上，且|PF|＝6，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则( )
A.p＝2
B.抛物线的准线为直线y＝－1
C.y0＝25
D.△FPQ的面积为45
8.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，AB是经过抛物线焦点F的弦，M是线段AB的中点，经过点A，B，M作抛物线的准线l的垂线AC，BD，MN，垂足分别是C，D，N，其中MN交抛物线于点Q，连接QF，NF，NB，NA，则下列说法正确的是( )
A.|MN|＝12|AB|
B.FN⊥AB
C.Q是线段MN的一个三等分点
D.∠QFM＝∠QMF
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.抛物线x2＝1ay的准线方程是y＝2，则实数a的值为 .
10.已知点M(20，40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于 .
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知动点M与点F(2，0)的距离与其到直线x＝－2的距离相等.
(1)求动点M的轨迹方程；(5分)
(2)求点M与点A(6，0)的距离的最小值，并指出此时M的坐标.(8分)
12.(15分)已知动圆过定点(4，0)，且在y轴上截得的弦长为8.
(1)求动圆圆心C的轨迹方程；(6分)
(2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线y＝x＋4和y轴的距离之和的最小值.(9分)
【尖子拔高训练】每小题5分，共10分
13.已知抛物线y2＝2px(p>0)上不同的三点A，B，C的横坐标成等差数列，P为抛物线的焦点，则( )
A.A，B，C的纵坐标成等差数列
B.A，B，C到x轴的距离成等差数列
C.A，B，C到原点的距离成等差数列
D.A，B，C到点P的距离成等差数列
14.一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是x2＝2y，y∈[0，10]，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )
A.12B.1
C.2D.52
考点
考情分析（2021-2024）
命题趋势
抛物线方程及其性质
2024·全国新Ⅱ卷、2024·北京卷、2024·上海卷、2024·天津卷、
2023·全国乙卷、2023·北京卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国新Ⅰ卷、2022·全国乙卷
2021·全国新Ⅱ卷、2021·北京卷、2021·全国卷、
掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程；掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)；了解抛物线的简单应用。
图形
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线
方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口
方向
向右
向左
向上
向下