初中数学华东师大版（2024）九年级上册（2024）1. 成比例线段教学设计

这是一份初中数学华东师大版（2024）九年级上册（2024）1. 成比例线段教学设计，共13页。教案主要包含了教学目标，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。
1.学习并掌握比例线段的相关概念及其性质；（重点）
2.掌握成比例线段的判定方法.（难点）
3.了解黄金分割的概念，会根据黄金分割的定义求线段的比值.
【教学过程】
一、情景导入
请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？
这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同.
二、合作探究
探究点一：线段的比
【类型一】 求线段的比
已知线段AB＝2.5m，线段CD＝400cm，求线段AB与CD的比.
解析：要求AB和CD的比，只需要根据线段的比的定义计算即可，但注意要将AB和CD的单位统一.
解：∵AB＝2.5m＝250cm，
∴eq \f(AB,CD)＝eq \f(250,400)＝eq \f(5,8).
方法总结：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比.
【类型二】 比例尺
在比例尺为1：50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm，则甲、乙两地的实际距离是 m.
解析：根据“比例尺＝eq \f(图上距离,实际距离)”可求解.
设甲、乙两地的实际距离为xcm，则有1：50 000＝3：x，解得x＝150 000. 150 000cm＝1500m.故答案为1500.
方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化.
探究点二：成比例线段
【类型一】 判断线段成比例
下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A.3cm，4cm，5cm，6cm
B.4cm，8cm，3cm，5cm
C.5cm，15cm，2cm，6cm
D.8cm，4cm，1cm，3cm
解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等的四条线段成比例.四个选项中，只有C项排列后有eq \f(2,5)＝eq \f(6,15).故选C.
方法总结：判断四条线段是否成比例的方法：
（1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断；
（2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断.
【类型二】 由线段成比例求线段的长
已知：四条线段a、b、c、d，其中a＝3cm，b＝8cm，c＝6cm.
（1）若a、b、c、d是成比例线段，求线段d的长度；
（2）若b、a、c、d是成比例线段，求线段d的长度.
解析：紧扣成比例线段的概念，利用比例式构造方程并求解.
解：（1）由a、b、c、d是成比例线段，得
eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，即eq \f(3,8)＝eq \f(6,d)，解得d＝16.
故线段d的长度为16cm；
（2）由b、a、c、d是成比例线段，得
eq \f(b,a)＝eq \f(c,d)，即eq \f(8,3)＝eq \f(6,d)，解得d＝eq \f(9,4).
故线段d的长度为eq \f(9,4)cm.
方法总结：利用比例线段关系求线段长度的方法：根据线段的关系写出比例式，并把它作为相等关系构造关于要求线段的方程，解方程即可求出线段的长.
已知三条线段长分别为1cm，eq \r(2)cm，2cm，请你再给出一条线段，使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式.
解析：因为本题中没有明确告知是求1，eq \r(2)，2的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论.
解：若x：1＝eq \r(2)：2，则x＝eq \f(\r(2),2)；若1：x＝eq \r(2)：2，则x＝eq \r(2)；若1：eq \r(2)＝x：2，则x＝eq \r(2)；若1：eq \r(2)＝2：x，则x＝2eq \r(2).
所以所添加的线段的长有三种可能，可以是eq \f(\r(2),2)cm，eq \r(2)cm，或2eq \r(2)cm.
方法总结：若使四个数成比例，则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也可转化为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积.
探究点三：黄金分割
【类型一】 利用黄金分割进行计算
如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，BC＝mAB，求m的值.
解：∵点C是线段AB的黄金分割点，∴eq \f(AC,AB)＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(\r(5)－1,2).又∵BC＝mAB，∴AC＝(1－m)AB，∴eq \f(（1－m）AB,AB)＝eq \f(\r(5)－1,2)，即1－m＝eq \f(\r(5)－1,2)，∴m＝eq \f(3－\r(5),2).
方法总结：运用黄金分割的概念，得出线段AC，BC，AB之间的表达式，再利用BC＝mAB变形，求出m的值.
【类型二】 黄金分割的实际应用
如图所示，乐器上有一根弦AB，两个端点A、B固定在乐器的面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，若DC的长度为d，试求这根弦AB的长度.
解：根据黄金分割的定义，可知eq \f(AC,AB)＝eq \f(BD,AB)＝eq \f(\r(,5)－1,2)，∴AC＝BD＝eq \f(\r(,5)－1,2)AB，∴AD＝AB－BD＝AB－eq \f(\r(,5)－1,2)AB.
∴CD＝AC－AD＝eq \f(\r(,5)－1,2)AB－(AB－eq \f(\r(,5)－1,2)AB)＝(eq \r(,5)－2)AB＝d.
∴AB＝eq \f(1,\r(,5)－2)d＝(eq \r(,5)＋2)d.
【板书设计】
1.成比例线段eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线, 段AB，CD的长度分别是m，n，那么, 这两条线段的比就是它们长度的比，, 即AB：CD＝m：n，或写成\f(AB,CD)＝\f(m,n),成比例线段：四条线段a，b，c，d，如果a与b的比, 等于c与d的比，即\f(a,b)＝\f(c,d)，那么这, 四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，, 简称比例线段))
比例中项：AP2=AB·PB，则AP为AB和PB的比例中项
2.黄金分割 黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点
黄金比：较长线段∶原线段=较短线段∶较长线段=∶1≈0.618