第8讲 幂函数与二次函数 综合测试-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

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1.（2026·师大附中·一模）已知幂函数f(x)=(m2−m+1)x−2m+1在(0,+∞)上单调递减，则实数m的值为（ ）
A. 0 或 1 B. −1 或 1 C. 1 D. 0
【答案】C
【解析】∵ f(x)为幂函数，∴ m2−m+1=1，解得m=0或m=1.
又函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，∴ 指数−2m+112.
故m=1时符合条件.
【点拨】幂函数的系数必须为1，且在第一象限单调递减时要求指数小于0，由此列出方程与不等式即可求解.
2.关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m的值为（ ）
A. −1 B. −4 C. −4 或 1 D. −1 或 4
【答案】A
【解析】∵ 关于 x 的方程 x2+2(m−1)x+m2−m=0 有两个实数根，
∴ Δ=[2(m−1)]2−4×1×(m2−m)=−4m+4≥0，
解得：m≤1.
∵ 关于 x 的方程 x2+2(m−1)x+m2−m=0 有两个实数根 α，β，
∴ α+β=−2(m−1)，α⋅β=m2−m.
∴ α2+β2=(α+β)2−2α⋅β=[−2(m−1)]2−2(m2−m)=12，即 m2−3m−4=0，
解得：m=−1 或 m=4(舍去).
故选：A.
【点拨】处理一元二次方程根与系数的关系时，切记先验证判别式Δ≥0这一隐含前提，避免产生增根.
3.方程x2+(m−2)x+5−m=0的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)内，则m的取值范围是（ ）
A. (−5,−4) B. −133,−2 C. −133,−4 D. (−5,−2)
【答案】C
【解析】令 f(x)=x2+(m−2)x+5−m，由二次函数根的分布性质，若一根在区间 (2,3)内，另一根在区间 (3,4) 内，
只需 f（2）>0f（3）0，即 4+2(m−2)+5−m>09+3(m−2)+5−m0，
解不等式组可得 −133