第8讲 幂函数与二次函数 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

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1. 幂函数的定义 PAGEREF _Tc232276929 \h 2
2. 幂函数的特征 PAGEREF _Tc232276930 \h 2
3. 常见的幂函数图像及性质 PAGEREF _Tc232276931 \h 2
4. 二次函数解析式的三种形式 PAGEREF _Tc232276932 \h 2
5. 二次函数的图像 PAGEREF _Tc232276933 \h 3
6. 二次函数在闭区间上的最值 PAGEREF _Tc232276934 \h 3
7. 实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的实根符号与系数之间的关系 PAGEREF _Tc232276935 \h 4
8. 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根的分布问题 PAGEREF _Tc232276936 \h 4
三、典题精练 PAGEREF _Tc232276937 \h 6
考点一：幂函数的概念、图象与性质 PAGEREF _Tc232276938 \h 6
考点二：一元二次方程与一元二次不等式 PAGEREF _Tc232276939 \h 8
考点三：二次函数在闭区间上的最值 PAGEREF _Tc232276940 \h 9
考点四：二次函数的综合应用 PAGEREF _Tc232276941 \h 10
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年全国一卷中，幂函数与二次函数多以间接考察的形式出现.它们常作为解决集合运算、分段函数性质、解析几何最值等问题的基础代数工具，与其他知识点深度交汇.
2. 命题角度与特色
核心考点：幂函数的单调性应用，二次函数的对称轴、单调性及闭区间上的最值.
命题趋势：淡化对幂函数和二次函数的独立命题，强化其作为初等代数工具在复杂情境（如解析几何、导数综合）中的基础支撑作用.
试题特点：隐蔽性强，往往需要通过换元、构造等手段，将原问题转化为二次函数模型后再进行求解.
3. 备考策略
· 熟练掌握二次函数的图象特征，尤其是对称轴与给定区间的相对位置关系对单调性和最值的影响.
· 强化转化与化归思想，在解析几何、三角函数等模块中，要有意识地通过换元法构造二次函数模型解决最值问题.
· 准确记忆常见幂函数的图象与性质，确保在处理不等式或比较大小时能快速调用其单调性.
二、知识清单
1. 幂函数的定义
一般地，y=xa(a∈R)（a为有理数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.
2. 幂函数的特征
同时满足以下三个条件才是幂函数：
① xa的系数为1；② xa的底数是自变量；③指数为常数.
3. 常见的幂函数图像及性质
【防坑警示】研究幂函数 y=xa 的性质时，必须先确定其定义域.当指数 a 为分数 pq（p,q互质）时，其奇偶性由分子 p 和分母 q 的奇偶性共同决定.
4. 二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)；
（2）顶点式：f(x)=a(x−m)2+n(a≠0)；其中，(m,n) 为抛物线顶点坐标，x=m 为对称轴方程.
（3）零点式：f(x)=a(x−x1)(x−x2)(a≠0)，其中，x1,x2是抛物线与 x 轴交点的横坐标.
5. 二次函数的图像
二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 的图像是一条抛物线，对称轴方程为 x=−b2a，顶点坐标为 (−b2a,4ac−b24a).
（1）单调性与最值
①当 a>0 时，如图所示，抛物线开口向上，函数在 (−∞,−b2a] 上递减，在 [−b2a,+∞) 上递增，当 x=−b2a 时，f(x)min=4ac−b24a；
②当 a0 时，二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 的图像与 x 轴有两个交点 M1(x1,0) 和 M2(x2,0)，|M1M2|=|x1−x2|=(x1+x2)2−4x1x2=Δ|a|.
6. 二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，当 a>0 时，f(x) 在区间 [p,q] 上的最大值是 M，最小值是 m，令 x0=p+q2：
（1）若 −b2a≤p，则 m=f(p),M=f(q)；
（2）若 p0
（2）方程有两个不等负根 x1,x2⇔Δ=b2−4ac>0x1+x2=−ba0
（3）方程有一正根和一负根，设两根为 x1,x2⇔x1x2=ca0) 的两根，则一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 的根的分布与其限定条件如下：
· 两根满足 mmf(m)>0.
· 两根满足 x1