第9讲 指数与指数函数 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第9讲 指数与指数函数 讲义-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】，共12页。
1. 指数及指数运算 PAGEREF _Tc232276768 \h 2
2. 指数函数 PAGEREF _Tc232276769 \h 3
三、典题精练 PAGEREF _Tc232276770 \h 3
考点一：指数幂的运算与化简 PAGEREF _Tc232276771 \h 3
考点二：指数函数的概念与图象 PAGEREF _Tc232276772 \h 4
考点三：指数函数的性质及应用 PAGEREF _Tc232276773 \h 5
考点四：指数函数模型的实际应用 PAGEREF _Tc232276774 \h 7
四、高考真题 PAGEREF _Tc232276775 \h 8
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年全国一卷中，指数与指数函数是重要的高频基础考点.多以间接考察为主，常与导数、函数性质综合命题；偶尔在解答题压轴位置作为核心载体进行直接且深度的考察.
2. 命题角度与特色
核心考点：重点考察指数函数的单调性、值域、图像特征以及指数与对数的互化.
命题趋势：单纯考察指数运算的题目较少，更多是作为基本初等函数与其他知识（尤其是导数、抽象函数）深度融合.
试题特点：对数形结合能力要求高，常需借助指数函数的图像趋势（如渐近线、增长速度）来突破难点.
3. 备考策略
· 熟练掌握指数幂的运算性质，做到指对互化灵活自如.
· 深刻理解指数函数的图像与性质，牢记底数大于1与介于0和1之间时的单调性差异.
· 强化指数函数与导数结合的训练，掌握含自然指数函数的求导法则及切线问题的常规解法.
二、知识清单
1. 指数及指数运算
（1）根式的定义：
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中(n>1,n∈N∗)，记为na，n称为根指数，a称为根底数.
（2）根式的性质：
· 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
· 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数.
（3）指数的概念：
指数是幂运算an(a≠0)中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.
（4）有理数指数幂的分类：
· ①正整数指数幂an=a⋅a⋅…⋅a（n个）(n∈N∗)；
· ②零指数幂a0=1(a≠0)；
· ③负整数指数幂a−n=1an(a≠0,n∈N∗)；
· ④0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
（5）有理数指数幂的性质：
· ①aman=am+n(a>0,m,n∈Q)；
· ②(am)n=amn(a>0,m,n∈Q)；
· ③(ab)m=ambm(a>0,b>0,m∈Q)；
· ④nam=amn(a>0,m,n∈Q).
【防坑警示】在进行分数指数幂与根式的互化时，必须保证底数a>0，否则可能会出现符号错误.处理偶次根式化简时，务必先套上绝对值符号，即2na2n=|a|.
2. 指数函数
【易错提醒】判断一个函数是否为指数函数，必须严格符合y=1⋅ax的形式，即底数a>0且a≠1，且ax的系数必须为1.
三、典题精练
考点一：指数幂的运算与化简
考法1：指数幂的化简与求值
例1.916−0.5+(2−π)2+2323×2314×2334=
A. π B. 2+π C. 4−π D. 6−π
考法2：条件等式下的指数与对数互化
例2.（2026·吉安·一模）若4x=5y=10，则1x+2y=＿＿＿＿＿＿.
【考点一 方法总结】
· 处理复杂的指数幂运算时，优先将小数化为分数，负指数化为正指数的倒数，根式化为分数指数幂，最后利用同底数幂的运算法则进行合并.
· 遇到偶次方根开方时，必须先套上绝对值符号（即2na2n=|a|），再根据内部代数式的正负进行去绝对值操作.
· 解决连等式“ax=by=k”求倒数和的问题，核心是利用对数的定义将指数形式化为对数形式，进而利用对数的换底公式或倒数关系，转化为同底对数的运算.
考点二：指数函数的概念与图象
考法1：指数函数的定义
例3.函数y=(a−2)2ax是指数函数，则
A. a=1或a=3 B. a=1 C. a=3 D. a>0且a≠1
考法2：指数函数的图象识别与变换
例4.（多选）函数f(x)=2x+a2x(a∈R)的图象可能为
A. B.
C. D.
【考点二 方法总结】
· 判断一个函数是否为指数函数，严格检验两点：底数a必须满足a>0且a≠1，且指数幂前面的系数必须严格等于1.
· 识别含参指数函数图象时，常采用“特值代入法”与“性质分析法”.通过赋予参数特殊值，观察函数是否具备奇偶性、单调性，以及关键点（如截距、极值点）的位置来排除选项.
· 指数函数y=ax与y=(1a)x的图像关于y轴对称.底数大小决定图像的陡缓：当a>1时，a的值越大，图像越靠近y轴，递增速度越快；当00)，将其转化为关于t的一元二次方程或不等式，再利用二次函数根的分布或分离参数法求解.
· 遇到多项不同底数的指数不等式，若无法因式分解，常采用“同除以最高（或最低）底数幂”的策略，构造出单调函数，再利用单调性求解.
· 处理“复合函数定义域为R”的问题，实质是求解内层函数不等式恒成立问题.结合指数函数的值域与单调性，转化为代数不等式（如二次不等式Δ≤0）求解.
· 遇到含有参数的指数函数问题，当底数大小不定时，必须分“a>1”和“0