（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第2章 第03讲 幂函数与二次函数 讲义+随堂检测（2份，原卷版+教师版）

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1、幂函数的定义
一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.
2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3、常见的幂函数图像及性质：
4、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：；
（2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程.
（3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标.
5、二次函数的图像
二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为.
（1）单调性与最值
= 1 \* GB3 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；
= 2 \* GB3 ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，
（2）与轴相交的弦长
当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，.
6、二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处.
对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则.
【解题方法总结】
1、幂函数在第一象限内图象的画法如下：
①当时，其图象可类似画出；
②当时，其图象可类似画出；
③当时，其图象可类似画出．
2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
3、一元二次方程的根的分布问题
一般情况下需要从以下4个方面考虑：
（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负.
设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示.
4、有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成： = 1 \* GB3 ①轴处在区间的左侧； = 2 \* GB3 ②轴处在区间的右侧； = 3 \* GB3 ③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论.
（2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负.
题型一：幂函数的定义及其图像
【例题1-1】已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（ ）
A． B．或 C． D．
【例题1-2】已知为幂函数，则（ ）．
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递减
【变式1-1】已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【变式1-2】幂函数中a的取值集合C是的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的.
题型二：幂函数性质的综合应用
【例题2-1】已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为___________.
【变式2-1】下面命题：①幂函数图象不过第四象限；②图象是一条直线；③若函数的定义域是，则它的值域是；④若函数的定义域是，则它的值域是；⑤若函数的值域是，则它的定义域一定是．其中不正确命题的序号是________．
【变式2-2】已知，，若对，，，则实数的取值范围是_________.
【变式2-3】已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为__________．
【变式2-4】不等式的解集为：_________．
【变式2-5】已知幂函数，若，则a的取值范围是__________.
【变式2-6】已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则__________.
【解题方法总结】
紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数.
题型三：二次方程的实根分布及条件
【例题3-1】关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ）
A． B． C．或1 D．或4
【变式3-1】设a为实数，若方程在区间上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【变式3-2】方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
结合二次函数的图像分析实根分布，得到其限定条件，列出关于参数的不等式，从而解不等式求参数的范围.
题型四：二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题
【例题4-1】已知.
(1)若，，解关于的不等式；
(2)若，在上的最大值为，最小值为，求证：.
【变式4-1】已知函数是定义在上的奇函数，且时，，.
(1)求在区间上的解析式；
(2)若对，则，使得成立，求的取值范围.
【变式4-2】已知函数．
(1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【变式4-3】已知函数．
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．
【变式4-4】已知值域为的二次函数满足，且方程的两个实根满足．
(1)求的表达式；
(2)函数在区间上的最大值为，最小值为，求实数的取值范围．
【变式4-5】已知函数为偶函数.
（1）求的值；
（2）设函数，是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【解题方法总结】
“动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
题型五：二次函数最大值的最小值问题
【例题5-1】二次函数为偶函数，，且恒成立．
(1)求的解析式；
(2)，记函数在上的最大值为，求的最小值．
【变式5-1】已知函数，当时，设的最大值为，求的最小值．
【变式5-2】已知函数．
(1)当时，解方程；
(2)当时，记函数在上的最大值为，求的最小值．
【解题方法总结】
分类讨论
1．（2015·山东·统考高考真题）关于函数，以下表达错误的选项是（ ）
A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线
C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点
2．（2017·浙江·高考真题）若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值
A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关
C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关
3．（2020·江苏·统考高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
第03讲 幂函数与二次函数 随堂检测
1．已知函数则函数，则函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，，的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设，二次函数的图象为下列之一，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数若的最小值为6，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知x，，满足，，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
8．已知，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．已知二次函数的值域为，则函数的值域为______．
10．已知函数 且 的图象经过定点， 若幂函数 的图象也经过该点， 则 _______________________．
11．已知二次函数（a，b为常数）满足，且方程有两等根，在上的最大值为，则的最大值为__________.
12．已知是一元二次方程的两个实数根.
(1)是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(2)求使的值为整数的实数的整数值.
13．已知函数，且函数的值域为.
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程有三个不同的实数根，求实数k的取值范围.
14.已知幂函数的定义域为R.
(1)求实数的值；
(2)若函数在上不单调，求实数的取值范围.
15．已知在区间 上的值域为.
(1)求实数的值；
(2)若不等式 当上恒成立，求实数k的取值范围.
16．已知函数在区间上有最大值2和最小值1.
(1)求的值；
(2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若且方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
1．（2013·浙江·高考真题）已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f （4）>f （1），则（ ）
A．a>0，4a＋b＝0 B．a0，2a＋b＝0 D．a