第10讲 幂函数与二次函数--2025高考一轮单元综合复习与测试卷

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1．幂函数
(1)定义
形如 的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq \s\up6(\f(1,2))，y＝x－1.
(2)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
①一般式：f(x)＝ ；
②顶点式：f(x)＝ ；
③零点式：f(x)＝ ．
(2)二次函数的图象和性质
考点1 ******
[名师点睛]
1．对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
2．在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
3．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(简记为“指大图高”)．
[典例]
1．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数 (m，n∈N*，m，n互质)的图像如图所示，则（ ）
A．m，n是奇数，且<1
B．m是偶数，n是奇数，且>1
C．m是偶数，n是奇数，且<1
D．m是奇数，n是偶数，且>1
2．（2022·全国·高三专题练习）幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（ ）
A．﹣6B．1C．6D．1或﹣6
3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象过点．设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
[举一反三]
1．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
3．（2022·全国·高三专题练习）函数与均单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
4．（多选）（2022·广东潮州·二模）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（ ）．
A．函数的定义域为
B．函数为非奇非偶函数
C．过点且与图象相切的直线方程为
D．若，则
5．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数过点A（4，2），则f（）=___________.
6．（2022·北京通州·一模）幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________．
7．（2022·重庆·二模）关于x的不等式，解集为___________.
8．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，，，已知它们具有性质：
①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．
请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．
9．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为______．
10．（2022·北京·高三专题练习）已知幂函数为奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）求函数的值域．
考点2 二次函数的解析式
[名师点睛]
求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：
[典例]
1．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数f(x)满足f（2）＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，二次函数的解析式是_______
2．（2022·全国·高三专题练习）已知为二次函数，，，求的解析式．
[举一反三]
1．（2022·全国·高三专题练习）若函数过定点，以为顶点且过原点的二次函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知为二次函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知是二次函数且满足，则函数的解析式为________.
考点3 二次函数的图象与性质
[名师点睛]
二次函数最值问题的类型及求解策略
(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．
(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
[典例]
1．（2022·全国·高三专题练习）函数和函数（其中为的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（ ）
A．①④B．②③C．③④D．①②③
2．（2022·全国·高三专题练习）二次函数在区间上单调递减的一个充分不必要条件为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.
4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数，，a为常数.若对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，则实数a的取值范围是___________.
[举一反三]
1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数，其中，，，则（ ）
A．，都有B．，都有
C．，使得D．，使得
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，如果且，则它的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在[-2，1]上具有单调性，则实数k的取值范围是（）
A．k≤-8B．k≥4C．k≤-8或k≥4D．-8≤k≤4
4．（2022·山东济南·二模）若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0)，若x1A．当x1+x2>-2时，f(x1)B．当x1+x2=-2时，f(x1)=f(x2)
C．当x1+x2>-2时，f(x1)>f(x2)
D．f(x1)与f(x2)的大小与a有关
6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（2022·全国·高三专题练习）如果函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是______.
8．（2022·天津·高三专题练习）已知函数在定义域上的值域为，则实数的取值范围为____.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数，满足，.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上是单调函数，求实数m的取值范围.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．
（Ⅰ）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅱ），恒成立，求实数的取值范围．
11．（2022·全国·高三专题练习）设函数（），满足，且对任意实数x均有.
(1)求的解析式；
(2)当时，若是单调函数，求实数k的取值范围.
解析式
f(x)＝ax2＋bx
＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx
＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
单调性
在 上单调递减；
在 上单调递增
在 上单调递增；
在 上单调递减
奇偶性
当 时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数
顶点

对称性
图象关于直线x＝－eq \f(b,2a)成轴对称图形