数学沪科版（2024）三元一次方程组及其解法第二课时教学设计及反思

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课程基本信息
学科
数学
年级
七年级
学期
秋季
课题
3.6*三元一次方程组及其解法（第二课时）
教学目标
能用三元一次方程组解简单的实际问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.
教学内容
教学重点：能用三元一次方程组解简单的实际问题.
教学难点：理清问题中的等量关系，列出方程组.
教学过程
一、复习旧知，类比学习
1.三元一次方程组的概念？如何解三元一次方程组？
2.这节课要来研究什么？
3.回顾列方程解应用题的步骤？
【设计意图】上节课学习了三元一次方程组的概念及其解法，根据方程（组）的研究路径，本节课应该学习三元一次方程（组）的应用，通过回顾思考，使学生形成研究方程（组）的一般观念.
二、理清关系，解决问题
在实际生活中，往往需要我们应用三元一次方程组模型来解决实际问题：
例1 某营养餐应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一营养师根据上面的标准配餐，其中包含A，B，C三种食物．下表给出的是每份（50g）食物分别所含的铁、钙和维生素的量．
食物
铁/单位
钙/单位
维生素/单位
A
5
20
5
B
5
10
15
C
10
10
5
设配餐中A，B，C三种食物分别为x，y，z份，请根据题意列出方程组；
解该三元一次方程组，求出满足要求的A，B，C的份数．
等量关系：食物A中的铁+食物B中的铁+食物C中的铁=35单位
食物A中的钙+食物B中的钙+食物C中的钙=70单位
食物A中的维生素+食物B中的维生素+食物C中的维生素=35单位
解：(1)由题意得5x+5y+10z=35,20x+10y+10z=70,5x+15y+5z=35.
整理得x+y+2z=7①,2x+y+z=7②,x+3y+z=7③.
①−③得−2y+z=0.④
①×2−②得y+3z=7.⑤
由④得z=2y.⑥
将⑥代入⑤得y=1.
将y=1代入⑥得z=2.
将y，z代入①得x=2.
所以x=2,y=1,z=2.
答：A种食物2份，B种食物1份，C种食物2份.
【设计意图】通过实际问题使学生理清复杂关系中的数量关系，根据等量关系列出方程。
例2 已知甲、乙两数之和为3，乙、丙两数之和为6，甲、丙两数之和为7,求这三个数．
等量关系：甲+乙=3；
乙+丙=6；
甲+丙=7.
解：设甲、乙、丙三数分别为 x , y , z ，由题意得
x+y=3,①y+z=6,②x+z=7.③
①+②+③得2x+2y+2z=16，
两边同时除以2，得x+y+z=8.④
④−①得z=5.
④−②得x=2.
④−③得y=1.
所以x=2,y=1,z=5.
答：甲、乙、丙三数分别为2,1,5.
【设计意图】渗透整体消元法，此法只适用于系数比较特殊的方程组，如x+y+2z=7①,2x+y+z=7②,x+2y+z=7③.
练习 在等式y=ax2+bx+c中，当x=−1时，y=0，当x=2时，y=3，当x=5时，y=60，求a，b，c的值.
∵当x=−1时，y=0 ∴a−b+c=0.
∵当x=2时，y=3 ∴4a+2b+c=3.
∵x=5时，y=60 ∴25a+5b+c=60.
解：由题意得a−b+c=0，①4a+2b+c=3，②25a+5b+c=60.③
②−①得3a+3b=3，即a+b=1.④
③−①得24a+6b=60，即4a+b=10.⑤
⑤−④得3a=9，解得a=3.⑥
将⑥代入④得b=−2.
将a，b代入①得c=−5.
所以a=3,b=−2,c=−5.
【设计意图】培养学生代值解决问题，渗透已知三点求二次函数表达式的题目类型.
课堂小结，总结提升
1.如何用三元一次方程组解决实际问题？
2.如何更好地分析数量之间的关系，找到等量关系？
四、课后作业，巩固所学
作业：教材127页练习第2题,教材习题3.6第2，4题.