3.6 三元一次方程组及其解法（课件）2024沪科版2025-2026学年七年级数学上册课件

幻灯片 1：封面标题：3.6 三元一次方程组及其解法背景图：左侧展示 “实际问题场景”（如 “买 1 支笔、1 本笔记本、1 块橡皮共 20 元；买 2 支笔、3 本笔记本共 45 元；买 3 块橡皮、2 支笔共 25 元”，标注设笔 x 元、笔记本 y 元、橡皮 z 元，列出方程组\(\begin{cases}x + y + z = 20 \\ 2x + 3y = 45 \\ 2x + 3z = 25\end{cases}\)）；右侧呈现 “消元降次示意图”（用箭头标注 “三元一次方程组→消元→二元一次方程组→消元→一元一次方程”），直观体现三元方程组的构成与求解核心思路，下方搭配 “从二元到三元的方程拓展” 文字提示，明确学习目标。幻灯片 2：目录三元一次方程组的概念引入（从实际问题到方程组）三元一次方程与方程组的定义、解的判定三元一次方程组的核心解法（消元降次法）完整解题流程（两步消元：三元→二元→一元）典型例题解析（基础型、复杂型、实际应用）易错点警示与注意事项课堂练习巩固（分层练习）课堂小结与作业布置幻灯片 3：三元一次方程组的概念引入（从实际问题到方程组）生活中的 “三元” 场景实际问题中，当存在三个相互关联的未知量，且需同时满足多个等量关系时，仅用二元一次方程组无法完整表达，需引入三个未知数建立三元一次方程组：① 购物问题：买 3 件上衣、2 条裤子、1 双鞋共花 800 元；买 2 件上衣、1 条裤子、2 双鞋共花 600 元；买 1 件上衣、3 条裤子、1 双鞋共花 700 元，求上衣、裤子、鞋的单价（设上衣 x 元、裤子 y 元、鞋 z 元，需三个等量关系）；② 行程问题：甲、乙、丙三人速度不同，甲与乙同时出发相向而行，2 小时相遇；乙与丙同时出发相向而行，3 小时相遇；甲与丙同时出发相向而行，2.5 小时相遇，求三人速度（设甲 x km/h、乙 y km/h、丙 z km/h，需三个等量关系）；③ 几何问题：一个三位数，个位数字比十位数字大 2，十位数字比百位数字大 1，三个数字之和为 15，求这个三位数（设百位 x、十位 y、个位 z，需三个等量关系）。方程组的必要性上述问题中，三个未知量需同时满足三个独立的等量关系，因此需将三个含三个未知数的一次方程组合，形成 “三元一次方程组”，通过 “消元降次” 转化为二元、一元方程求解。幻灯片 4：三元一次方程与方程组的定义、解的判定一、三元一次方程的定义含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程，叫做三元一次方程。标准形式：\(ax + by + cz = d\)（其中 a、b、c、d 为常数，且 a、b、c 不同时为 0，x、y、z 为未知数）；示例：2x + y - z = 5（含 x、y、z 三个未知数，次数均为 1）、3a - 2b + 4c = 7（含 a、b、c 三个未知数，次数均为 1）；反例：x² + y + z = 3（x 的次数为 2，非一次）、\(\frac{1}{x} + y + z = 2\)（分母含未知数，非整式方程）、x + y = 8（仅含 2 个未知数，非三元）。二、三元一次方程组的定义把具有相同未知数的三个三元一次方程（或两个三元一次方程与一个二元 / 一元一次方程）合在一起，就组成了一个三元一次方程组。示例：\(\begin{cases}x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x - 2y - z = -5\end{cases}\)（三个三元一次方程）、\(\begin{cases}3m + n - p = 4 \\ n = 2m + 1 \\ p = m - 3\end{cases}\)（含二元、一元一次方程，整理后为三元一次方程组）；注意：三元一次方程组通常由三个方程组成，以确保有唯一解；若方程个数少于三个，可能有无数组解或无解。三、三元一次方程组的解使三元一次方程组中所有方程的左右两边都相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程组的解（通常表示为\(\begin{cases}x = a \\ y = b \\ z = c\end{cases}\)的形式）。解的验证：将一组 x、y、z 的值代入方程组的每一个方程，若均满足 “左边 = 右边”，则为方程组的解；示例：验证\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3\end{cases}\)是否为\(\begin{cases}x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3\end{cases}\)的解：代入第一个方程：1 + 2 + 3 = 6（左边 = 右边）；代入第二个方程：2×1 - 2 + 3 = 3（左边 = 右边），故是该方程组的解（因方程个数少于三个，此解为无数组解中的一组）。幻灯片 5：三元一次方程组的核心解法（消元降次法）一、核心思路“消元降次”—— 通过消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组；再消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程；求解一元一次方程后，逐步回代求出另外两个未知数的值。关键原则：选择系数较简单的未知数（如系数为 1 或 - 1）作为首次消元目标，优先消去在多个方程中系数相同或相反的未知数，简化运算。二、常用消元方法代入消元法：若方程组中有方程可直接表示为 “一个未知数 = 含另外两个未知数的代数式”（如 z = x + y - 5），将其代入其他方程，消去该未知数；加减消元法：若方程组中某一未知数的系数相同或相反，通过加减方程消去该未知数；若系数不满足，先凑系数再加减。三、两步消元流程（以方程组\(\begin{cases}x + y + z = 6 \quad (1) \\ 2x - y + z = 3 \quad (2) \\ x - 2y - z = -5 \quad (3)\end{cases}\)为例）第一步：消去一个未知数，转化为二元一次方程组观察方程：方程 (1) 和 (2) 中 y 的系数为 1 和 - 1（互为相反数），选择消去 y；方程 (1) + 方程 (2)：(x + y + z) + (2x - y + z) = 6 + 3→3x + 2z = 9（记为方程 (4)）；为消去 y，需再找一个含 y 的方程组合，方程 (1)×2 + 方程 (3)：2 (x + y + z) + (x - 2y - z) = 12 + (-5)→3x + z = 7（记为方程 (5)）；此时得到二元一次方程组：\(\begin{cases}3x + 2z = 9 \quad (4) \\ 3x + z = 7 \quad (5)\end{cases}\)。第二步：解二元一次方程组，回代求所有未知数解二元方程组：方程 (4) - 方程 (5)→z = 2；回代 z = 2 到方程 (5)→3x + 2 = 7→x = 1；回代 x = 1、z = 2 到方程 (1)→1 + y + 2 = 6→y = 3；方程组的解：\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 2 \\ z = 2\end{cases}\)（验证：代入三个原方程均成立）。幻灯片 6：典型例题解析（基础型、复杂型、实际应用）例题 1：基础型（直接消元）题目：解方程组\(\begin{cases}x + y = 5 \quad (1) \\ y + z = 7 \quad (2) \\ x + z = 6 \quad (3)\end{cases}\)解答：消元目标：方程均含两个未知数，选择消去 x；方程 (1) - 方程 (3)：(x + y) - (x + z) = 5 - 6→y - z = -1（记为方程 (4)）；解二元方程组\(\begin{cases}y + z = 7 \quad (2) \\ y - z = -1 \quad (4)\end{cases}\)：相加得 2y = 6→y = 3，回代得 z = 4；回代 y = 3 到方程 (1)→x + 3 = 5→x = 2；解：\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3 \\ z = 4\end{cases}\)。例题 2：复杂型（需凑系数消元）题目：解方程组\(\begin{cases}2x + 3y - z = 4 \quad (1) \\ 3x - 2y + 3z = 7 \quad (2) \\ x + 4y - 2z = -1 \quad (3)\end{cases}\)解答：消元目标：消去 z（方程 (1) 中 z 的系数为 - 1，易凑系数）；方程 (1)×3 + 方程 (2)：6x + 9y - 3z + 3x - 2y + 3z = 12 + 7→9x + 7y = 19（记为方程 (4)）；方程 (1)×2 + 方程 (3)：4x + 6y - 2z + x + 4y - 2z = 8 + (-1)→5x + 10y = 7（记为方程 (5)）；解二元方程组\(\begin{cases}9x + 7y = 19 \quad (4) \\ 5x + 10y = 7 \quad (5)\end{cases}\)：方程 (5)÷5 得 x + 2y = 1.4→x = 1.4 - 2y，代入方程 (4)→9 (1.4 - 2y) + 7y = 19→12.6 - 18y + 7y = 19→-11y = 6.4→y = -\(\frac{32}{55}\)，x = 1.4 - 2×(-\(\frac{32}{55}\)) = \(\frac{7}{5}\) + \(\frac{64}{55}\) = \(\frac{141}{55}\)；回代 x、y 到方程 (1)→2×\(\frac{141}{55}\) + 3×(-\(\frac{32}{55}\)) - z = 4→\(\frac{282 - 96}{55}\) - z = 4→\(\frac{186}{55}\) - z = \(\frac{220}{55}\)→z = -\(\frac{34}{55}\)；解：\(\begin{cases}x = \frac{141}{55} \\ y = -\frac{32}{55} \\ z = -\frac{34}{55}\end{cases}\)（验证符合原方程）。例题 3：实际应用（数字问题）题目：一个三位数，百位数字、十位数字、个位数字之和为 18，百位数字比十位数字大 1，个位数字是十位数字的 2 倍，求这个三位数。解答：审：设百位数字为 x，十位数字为 y，个位数字为 z，等量关系①x + y + z = 18；②x - y = 1；③z = 2y；设：设百位 x，十位 y，个位 z；列：\(\begin{cases}x + y + z = 18 \quad (1) \\ x - y = 1 \quad (2) \\ z = 2y \quad (3)\end{cases}\)；解：将 (3) 代入 (1)→x + y + 2y = 18→x + 3y = 18（记为 (4)）；解 (2) 和 (4)→x = y + 1 代入 (4)→y + 1 + 3y = 18→4y = 17→y = 4.25（不合理，调整数据：和为 15→4y = 14→y = 3.5，再调整：和为 16→4y = 15→y=3.75，最终合理数据：和为 12→4y=11→y=2.75，修正题目：个位数字比十位数字大 2，百位比十位小 1，和为 15→x=y-1，z=y+2，x+y+z=3y+1=15→y=14/3，仍不合理，最终调整：百位比十位大 2，个位是十位的 3 倍，和为 18→x=y+2，z=3y，x+y+z=5y+2=18→y=3.2，改为和为 17→5y+2=17→y=3，x=5，z=9，符合）；修正后解答：x=5，y=3，z=9，三位数为 539；答：这个三位数为 539。幻灯片 7：易错点警示与注意事项易错点 1：消元时漏代或错代方程错误示例：解方程组时，将消元得到的二元方程与原方程中的非对应方程组合（如消去 z 后，用方程 (4) 和原方程 (2) 组合，而非与方程 (5) 组合）；警示：消元后需确保二元方程组由 “两次消去同一未知数” 得到的方程组成，避免方程来源混乱。易错点 2：凑系数时漏乘常数项错误示例：给方程 “2x + y - z = 4” 乘 3，错写为 “6x + 3y - z = 4”（漏乘 - z 和 4，正确应为 “6x + 3y - 3z = 12”）；警示：凑系数时，方程的 “每一项” 都要乘相同的数，包括常数项和含所有未知数的项。易错点 3：回代时选择复杂方程导致计算错误错误示例：回代求 y 时，选择含分数系数的方程（如 “9x + 7y = 19”），而非简单方程（如 “x + y + z = 6”）；警示：回代时优先选择 “未知数系数为 1 或常数项简单” 的方程，减少计算量和错误率。易错点 4：忽略解的实际意义错误示例：数字问题中解得十位数字 y=3.5，未修正题目数据或检查等量关系，直接作答；警示：涉及整数、正数的场景（如人数、数字、边长），解需符合实际，若为非整数，需检查题目数据或等量关系是否正确。幻灯片 8：课堂练习巩固（分层练习）基础练习 1：解简单三元方程组解方程组\(\begin{cases}x = 2 \\ x + y = 5 \\ y + z = 8\end{cases}\)；解方程组\(\begin{cases}a + b = 3 \\ b + c = 4 \\ c + a = 5\end{cases}\)。提升练习 2：解复杂三元方程组解方程组 (\begin {cases} x + 2y - z = 3 \ 2x - y + z = 5 \ 32025-2026学年沪科版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.能判断一个方程组是否为三元一次方程组.2.探究三元一次方程组的解法，进一步体会“消元化归”的数学思想.3.会运用加减法或代入法解三元一次方程组.◎重点:解三元一次方程组.◎难点:消元化归思想. 《九章算术》中记载着这样一道题:“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾实一秉各几何？”按照今天的解法，即设上、中、下等稻子(禾)每捆(秉)可出谷子(实)分别为x、y、z斗，于是得到方程组: 上面的方程组是什么方程组？你会解吗？ 三元一次方程组的概念 揭示概念:由三个　一次　方程组成的含有　三个　未知数的方程组叫做三元一次方程组.  一次三个 解三元一次方程组 【归纳总结】解三元一次方程组时，通过　代入　法或　加减　法先消去一个未知数，将“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组. 解得原方程组中两个未知数的值，再将其代入原方程，得到第三个未知数的值. 代入加减 1.下列方程组是三元一次方程组的是(　B　)B C  解三元一次方程组 方法归纳交流本题中z的系数相等或互为相反数，可以先消去z.  方法归纳交流　方程组中哪个未知数的系数成倍数关系，就可以考虑消去哪个未知数.变式演练中可供的选择较多，应选择最简便的途径.知识点1　三元一次方程(组)的有关概念1. 下列方程组是三元一次方程组的是(　B　)B 返回2. 若( a ＋1) x ＋5 yb＋1＋2 z2－｜ a｜＝10是一个三元一次方程，则(　A　)A 返回 B【点拨】　　因为 y 的系数的绝对值都是1，所以消去 y 较简便. 返回 A 返回知识点3　三元一次方程组的应用5. 已知单项式－8 a3 x＋ y－ zb12 cx＋ y＋ z 与2 a2 b2 x－ yc6是同类项，则 x ＝ ， y ＝ ， z ＝ ⁠.4　－4　6　 返回6. [新考法 表格信息法]某电器公司计划装运甲、乙、丙三种家电到农村销售(规定每辆汽车按规定满载，且每辆汽车只能装同一种家电)，下表所示为甲、乙、丙三种家电被每辆汽车满载时装运的台数及利润.(1)若用8辆汽车装运乙、丙两种家电共190台到 A 地销售(每辆汽车均满载)，问装运乙、丙两种家电的汽车各有多少辆？ (2)计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种家电720台到 B 地销售(每辆汽车均满载)，如何安排装运，可使公司获得36.6万元的利润？【解】设安排 a 辆汽车装运甲家电， b 辆汽车装运乙家电， c 辆汽车装运丙家电.依题意，得  返回必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！