沪科版（2024）七年级上册（2024）三元一次方程组及其解法第一课时教案设计

这是一份沪科版（2024）七年级上册（2024）三元一次方程组及其解法第一课时教案设计，共10页。教案主要包含了复习旧知，类比学习，问题情境，引出概念，探究解法，形成能力，课后作业，巩固所学等内容，欢迎下载使用。
课程基本信息
学科
数学
年级
七年级
学期
秋季
课题
3.6*三元一次方程组及其解法（第一课时）
教学目标
1.结合具体问题情境，知道三元一次方程组的概念；
2.能解简单的三元一次方程组，进一步体会“消元”和“化归”的思想.
教学内容
教学重点：用消元法解简单的三元一次方程组.
教学难点：解法的灵活应用.
教学过程
一、复习旧知，类比学习
1.学习方程（组）的路径？
2.二元一次方程组的概念？
3.解二元一次方程组的方法有哪些？基本思想是什么？
【设计意图】让学生回顾一元一次方程、二元一次方程（组）的研究路径：从生活情境中抽象出概念，再研究解法、应用，类比学习今天的方程组.
二、问题情境，引出概念
许多实际问题涉及的未知数往往不止两个，比如本章“数学史话”《九章算术》里面有这样一道题目：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、中、下禾实秉各几何？
用现代汉语表述：3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗．问上、中、下三种稻，每束的出谷量各是多少斗？
问题1：有几个未知量？你能找出哪些等量关系？
等量关系：(1）三束上等稻＋两束中等稻＋一束下等稻＝39斗
(2）两束上等稻＋三束中等稻＋一束下等稻＝34斗
(3）一束上等稻＋两束中等稻＋三束下等稻＝26斗
未知量：一束上等稻出谷量x斗、一束中等稻出谷量y斗、一束下等稻出谷量z斗
问题2：用方程表示等量关系？
(1)3x+2y+z=39①；
(2)2x+3y+z=34②；
(3)x+2y+3z=26③.
由于这三个等量关系要同时满足，所以联立得到方程组3x+2y+z=39，2x+3y+z=34，x+2y+3z=26.
问题3：这是我们学过的二元一次方程组吗？这个方程组有什么特点？
(1）方程组中一共含有三个未知数；
(2）每个方程中含未知数的项的次数都是1；
(3）方程组中共有三个整式方程．
这种由三个一次方程组成，且含有三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组.
【设计意图】由《九章算术》中的问题引入，渗透数学文化，体现生活中许多实际问题涉及的未知数往往不止两个，需要引入三元一次方程组模型解决问题.
练习1 下列方程组是三元一次方程组的是_________.
1x+y=1,1y+z=2,1z+x=6. （2）x2−y=z,y+z=0,xz=2. （3）a+b+c=1,a−b=2,b−d=3. （4）x+y+z=54,x=2y,y+12z=x+2.
【设计意图】学完概念后，及时辨析，进一步加深对三元一次方程组概念中三个关键特点的理解，巩固所学.
三、探究解法，形成能力
问题1：那么如何解三元一次方程组呢？
例1 解方程组：x+y+2z=3, ①−2x−y+z=−3, ②x+2y−4z=−5. ③
【设计意图】类比解二元一次方程组时用消元去转化化归，可以先通过消元把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再通过消元把二元一次方程组转化为一元一次方程，进而得解.
问题2：先消去哪个未知数呢？能否用代入消元法消元？
解：由①得x=3−y−2z.④
将④代入②③得y+5z=3,y−6z=−8.
解这个方程组得y=−2,z=1.
将y=−2z=1代入④得x=3.
所以x=3，y=−2，z=1.
问题3：这是原方程组的解吗？如何检验？
总结 用“代入消元法”解三元一次方程组的一般步骤：
（1）将其中一个方程变形，把一个未知数用另两个未知数表示出来；
（2）代入另外两个方程中，得到二元一次方程组；
（3）解二元一次方程组；
（4）将解得的两个未知数的值代回步骤（1）中的方程，求得第三个未知数的值；
（5）用“ ”写出结论并检验.
问题4：能否用加减消元法消元？消去哪个未知数比较简单？
解：①+②得−x+3z=−11. ④
②×2+③得−3x−2z=−11. ⑤
④×3−⑤得11z=11，解得z=1.⑥
将⑥带入④得−x+3=0，解得x=3.
将x、z代入①得3+y+2=3,解得y=−2.
所以x=3，y=−2，z=1.
总结 用“加减消元法”解三元一次方程组的一般步骤：
（1）选择两对方程变形，使某个未知数的系数相等或互为相反数；
（2）将某个未知数系数相同（或互为相反数）的方程相减（或相加）得到二元一次方程组；
（3）解二元一次方程组；
（4）将两个未知数的值代回，求得第三个未知数的值；
（5）用“ ”写出结论并检验.
问题5：还有什么解法？先消去x可以吗？请试一试，与书本答案对照.
【设计意图】示范用代入消元法和加减消元法解题，并总结一般步骤，让学生形成一般方法.
练习2 在解下列三元一次方程组时，首先消去哪个未知数比较简单？
（1）x+y−3z=2,x−y−z=0, x−2y+z=0; (2)y=2x−7,5x+3y+2z=2, 3x−4z=4;(3)3x+y−3z=2,2x−y−2z=0, 5x+y+z=0.
【设计意图】解方程组的关键是先判断出消去哪个未知数比较简单，选对了将事半功倍，此题旨在训练关键能力.
练习3 解下列方程组：（1）x+y+z=6,2x+3y−z=4, 3x−y+z=8; (2)2x−y+3z=1,2x+2z=6,4x+2y+5z=4.
课堂小结，总结提升
1.三元一次方程组的概念？
2.如何解三元一次方程组？基本思想是什么？
3.接下来将要研究什么？
五、课后作业，巩固所学
作业：教材习题3.6第1题.