初中数学沪科版（2024）七年级上册（2024）三元一次方程组及其解法教学设计及反思

这是一份初中数学沪科版（2024）七年级上册（2024）三元一次方程组及其解法教学设计及反思，共9页。教案主要包含了内容和内容解析，目标和目标解析，教学问题诊断分析，教学过程设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
3.6 三元一次方程组及其解法
一、内容和内容解析
内容
本节课学习三元一次方程组的概念、解法及应用。通过实际问题（如营养配餐、数量关系）引入三元一次方程组，类比二元一次方程组的消元思想，引导学生掌握"三元→二元→一元"的求解流程，强调消元策略的选择与计算准确性。
内容解析
三元一次方程组是方程思想的深化，核心是消元转化。学生需理解其定义（三个一次方程、含三个未知数），掌握加减消元法或代入消元法的操作步骤，并能从实际问题中抽象出三个等量关系建立模型。教学重点在于消元策略的优化（如系数分析），难点在于多步骤运算的连贯性和实际应用建模。
二、目标和目标解析
目标
理解概念：识别三元一次方程组，说明其实际意义。
掌握解法：熟练运用消元法解三元一次方程组，规范书写求解过程。
应用建模：从生活问题中抽象三元一次方程组并求解。
目标解析
目标1：通过营养配餐等实例，建立三元一次方程组的直观认知，明确其与二元方程组的联系（未知数增加，核心思想不变）。
目标2：通过典例训练，归纳"先观察系数→选择消元对象→逐步降元"的求解策略，提升计算准确性。
目标3：结合购物、生产等问题，培养从复杂情境中提取数学关系的能力，强化模型应用意识。
三、教学问题诊断分析
认知难点：
学生易因未知数增多产生畏难情绪；
混淆三元与二元消元的逻辑衔接。
操作易错点：
消元对象选择不当导致计算复杂化；
多步骤运算中符号错误或代入遗漏。
应用障碍：
从实际问题抽象三个等量关系存在困难。
应对策略：
阶梯式问题链引导（如先列方程再求解）；
对比演示不同消元策略的效率；
典型错例分析强化规范意识。
四、教学过程设计
（一）情景引入
问题1
某营养师配制含铁35单位、钙70单位、维生素35单位的餐食。已知每份食物成分：
设用A、B、C三种食物各 x,y,z 份，如何列方程？
学生列式：
5x+5y+10z=3520x+10y+10z=705x+15y+5z=35
问题2
如何解此方程组？能否类比二元一次方程组的解法？
追问：观察各未知数的系数，哪个最容易消去？
问题3
《九章算术》中的问题：
"上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗..."对应的方程组是？
学生列式：
3x+2y+z=392x+3y+z=34x+2y+3z=26
设计意图
通过生活与数学史案例激发兴趣，体会三元一次方程组的实际意义，明确本课目标（对应目标1、3）。
（二）合作探究1
探究1（解法示范）
解教材例1：
①②③
x+y+2z=3①−2x−y+z=−3②x+2y−4z=−5③
教师引导：
Q1：若消去 x，哪些方程组合适？
学生操作：
①×2 + ② → (2x+2y+4z)+(−2x−y+z)=6+(−3)
得 y+5z=3 （④）
Q2：再消去 x，选择哪两个方程？
学生操作：
③ - ① → (x+2y−4z)−(x+y+2z)=−5−3
得 y−6z=−8 （⑤）
追问：得到④、⑤后如何继续？
归纳：解二元一次方程组：
④⑤
y+5z=3④y−6z=−8⑤
④ - ⑤ → 11z=11 → z=1
代入④ → y=−2，代入① → x=3
解：
x=3y=−2z=1
（三）巩固练习1
解方程组：
x+y+z=62x+3y−z=43x−y+z=8
答案：
x=2y=1z=3
关键点：消 z（①+②，①+③）
解方程组：
2x−y+3z=12x+2z=64x+2y+5z=4
答案：
x=3y=−2z=0
关键点：由第二式得 x=3−z，代入消元。
（四）合作探究2
探究2（特殊解法）
问题：甲、乙两数和为3，乙、丙两数和为6，甲、丙两数和为7，求三数。
学生建模：
①②③
x+y=3①y+z=6②x+z=7③
猜想：能否直接求三数之和？
验证：
① + ② + ③ → 2x+2y+2z=16 → x+y+z=8（④）
④ - ① → z=5
④ - ② → x=2
④ - ③ → y=1
解：
x=2y=1z=5
设计意图
拓展整体消元思想，培养观察能力（对应目标2）。
（五）典例分析
例1（教材P127 复习题）
某商场用12万元购甲、乙、丙三种手机共40部，甲比丙多24部。单价：甲3600元，乙1200元，丙2400元。求各型号数量。
解析：
建模：
数量关系：x+y+z=40
甲丙关系：x−z=24
费用关系：3600x+1200y+2400z=120000
化简：
费用方程 ÷1200 → 3x+y+2z=100
消元：
由 x=z+24 代入另两式：
(z+24)+y+z=403(z+24)+y+2z=100
化简解得 z=4,x=28,y=8。
解：
x=28y=8z=4
设计意图
综合训练建模能力与消元技巧（对应目标2、3）。
（六）巩固练习
基础题（教材P127）：
3x+y−4z=135x−y+3z=5x+y−z=3
答案：
x=2y=3z=1
应用题（教材P128）：
三个连续整数和为66，求这三个数。
解：设中间数为 n，则：
(n−1)+n+(n+1)=66 ⇒ n=22
答案：21, 22, 23
拓展题（教材P128）：
在 y=ax2+bx+c 中，x=−1 时 y=0，x=2 时 y=3，x=5 时 y=60。求 a,b,c。
解：列方程组：
a(−1)2+b(−1)+c=0a(2)2+b(2)+c=3a(5)2+b(5)+c=60 ⇒ a−b+c=04a+2b+c=325a+5b+c=60
解得：
a=2b=−3c=−5
设计意图
分层训练计算与应用能力（对应目标2、3）。
（七）归纳总结
（八）感受中考（2024-2025年真题精选）
【2024·安徽】 解方程组：
2x+y−z=5x−3y+2z=−13x+2y+z=10
答案：
x=2y=1z=0
【2025·江苏】 某餐厅采购A、B、C三种食材，单价分别为10元、8元、6元。购三种食材共20千克，花费170元，其中A比C多2千克。求B食材的重量。
解：设A、B、C各 x,y,z 千克：
x+y+z=20x−z=210x+8y+6z=170 ⇒ y=9
答案：9千克
【2024·浙江】 若方程组
x+2y+3z=62x−y+z=33x+y+kz=9
有唯一解，则 k≠ ______。
答案：2
【2025·福建】 已知三个数之和为30，甲数是乙数的2倍，丙数比甲数小5，求丙数。
解：设乙数为 b，则甲 2b，丙 2b−5：
2b+b+(2b−5)=30 ⇒ b=7
丙数：2×7−5=9
答案：9
设计意图
链接中考考点，强化实战能力。
（九）小结梳理
（十）布置作业
必做题（教材P128 习题3.6）
解方程组（1）（2）（3）（4）
三个数和为44，甲数的2倍比乙数大10，乙的 13 等于丙的 12，求三数。
选做题
酒精混合问题（教材P128第3题）：65%与95%酒精混合成75%酒精0.9kg。
自编一道三元一次方程组应用题（如运动队得分、商品利润），写出方程并求解。
五、教学反思
（课后填写）食物
铁
钙
维生素
A
5
20
5
B
5
10
15
C
10
10
5
知识点
方法要点
示例
定义
三个一次方程，含三个未知数
x+y+z=62x−y+z=3x+2y−z=1
基本思路
三元 → 二元 → 一元
消 z 得 3x=9x+3y=4
消元策略
优先消去系数最简的未知数
系数 1 或 −1
实际应用
抽象三个等量关系
数量、价格、比例关系
知识模块
核心思想
关联性
方程组定义
识别模型特征
二元方程组的推广
消元解法
化归思想
三元→二元→一元的转化链
实际应用
数学建模
从生活问题抽象数学关系
数学文化
古今方法融合
《九章算术》中的消元思想