2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第三章3.1导数的概念及其意义、导数的运算(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第三章3.1导数的概念及其意义、导数的运算(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了导数的概念，导数的几何意义，导数的运算法则，复合函数的定义及其导数等内容，欢迎下载使用。
§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
【考情分析·探规律】
【知识梳理】
1.导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或y′|x＝x0.
f′(x0)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).
(2)函数y＝f(x)的导函数
f′(x)＝eq^\(lim,\s\d4(Δx→0))eq \f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq \f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)；
(4)[cf(x)]′＝cf′(x).
5.复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
【名师点拨】
1.可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数.
2.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.并注意“在点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P处的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，但不一定在曲线上.
3.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，|f′(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的瞬时变化率.( )
(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cs x.( )
(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).( )
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( )
2.若函数f(x)＝ln x－2x＋1，则f'12等于( )
A.0B.12C.32D.52
3.已知函数f(x)＝2x，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为( )
A.x－y－1＝0B.x－y＋1＝0
C.x·ln 2－y－1＝0D.x·ln 2－y＋1＝0
4.设曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则a的值为 .
【必练核心题型】
题型一 导数的运算
【典例】1.(多选)下列求导运算正确的是( )
A.(ln 7)'＝17
B.[(x2＋2)sin x]'＝2xsin x＋(x2＋2)cs x
C.x2ex'＝2x−x2ex
D.[ln(3x＋2)]'＝13x＋2
【典例】2.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)＝2xf'π3＋sin x，则f π3等于( )
A.32−π3B.32＋π3
C.32D.－32
【变式训练】
变式1.(多选)下列命题正确的有( )
A.已知函数f(x)在R上可导，若f'(1)＝2，则limΔx→0f(1＋2Δx)−f(1)Δx＝2
B.csxx'＝xsinx＋csxx2
C.已知函数f(x)＝ln(2x＋1)，若f'(x0)＝1，则x0＝12
D.设函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)＝x2＋3xf'(2)＋ln x，则f'(2)＝－94
题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程
【典例】1.(2023·全国甲卷)曲线y＝exx＋1在点1，e2处的切线方程为( )
A.y＝e4xB.y＝e2x
C.y＝e4x＋e4D.y＝e2x＋3e4
命题点2 求参数的值(范围)
【典例】2.若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是 .
命题点3 切线的应用
【典例】3.(2025·广州模拟)设点P在曲线y＝ex上，点Q在直线y＝1ex上，则|PQ|的最小值为( )
A.1e2＋1B.2e2＋1
C.ee2＋1D.3e2＋1
【变式训练】
变式1.牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法.如图，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的零点r，取初始值x0，f(x)的图象在横坐标为x0的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x1，f(x)的图象在横坐标为x1的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x2，一直继续下去，得到x1，x2，…，xn，它们越来越接近r.若f(x)＝x2－2(x>0)，x0＝2，则用牛顿迭代法得到的r的近似值x2约为( )
变式2.若点A(a，a)，B(b，eb)(a，b∈R)，则A，B两点间距离|AB|的最小值为 .
题型三 两曲线的公切线
【典例】1.(2025·广州模拟)若直线l既和曲线C1相切，又和曲线C2相切，则称l为曲线C1和C2的公切线.已知曲线C1：f(x)＝ex－1和曲线C2：g(x)＝1＋ln x，请写出曲线C1和C2的一条公切线方程： .
【变式训练】
变式1.已知直线y＝kx＋b既是曲线y＝ln x的切线，也是曲线y＝－ln(－x)的切线，则( )
A.k＝1e，b＝0B.k＝1，b＝0
C.k＝1e，b＝－1D.k＝1，b＝－1
变式2.(2025·汉口模拟)已知函数f(x)为偶函数，其图象在点(1，f(1))处的切线方程为x－2y＋1＝0，记f(x)的导函数为f'(x)，则f'(－1)等于( )
A.－12B.12C.－2D.2
变式3.(2024·新课标全国Ⅰ)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝ .
变式4.已知函数f(x)＝x3－ax2＋b(a，b∈R)的图象过点(2，4)，且f'(1)＝1.
(1)求a，b的值；(5分)
(2)求曲线y＝f(x)过点(0，－1)的切线方程.(8分)
变式5.已知函数f(x)＝－x3＋x＋1，g(x)＝e－2x＋1.
(1)求曲线y＝f(x)过点(1，1)的切线方程；
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，1)处的切线与曲线y＝g(x)在x＝t(t∈R)处的切线平行，求t的值。
考点
三年考情（2021-2024）
命题趋势
考点1 导数的基本计算及其应用
2020·全国卷
掌握基本函数的导数求解，会导数的基本计算，会求切线方程，会公切线的拓展，切线内容是新高考的命题热点，要熟练掌握。
考点2 导数与函数的基本性质结合问题
2024·全国新Ⅰ卷
2023·全国新Ⅰ卷
2022·全国新Ⅰ卷
2021·全国新Ⅱ卷
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝csx
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝axlna
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)