2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第三章3.2导数与函数的单调性(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第三章3.2导数与函数的单调性(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了2　导数与函数的单调性，函数的单调性与导数的关系，利用导数判断函数单调性的步骤，已知函数f＝ln＋kxx＋2等内容，欢迎下载使用。
【考情分析·探规律】
【知识梳理】
1.函数的单调性与导数的关系
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
【名师点拨】
1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立.
2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＜0有解.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.( )
(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根为有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减.( )
(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)＞0，则f(x)在定义域上一定单调递增.( )
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.( )
【答案】(1)× (2)√ (3)× (4)√
【解析】(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.
(3)反【典例】，f(x)＝－eq \f(1,x)，虽然f′(x)＝eq \f(1,x2)＞0，但f(x)＝－eq \f(1,x)在其定义域(－∞，0)∪(0，
＋∞)上不具有单调性.
2.函数y＝f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则下列判断中正确的是( )
A.f(x)在(－3，1)上单调递增
B.f(x)在(1，3)上单调递减
C.f(x)在(2，4)上单调递减
D.f(x)在(3，＋∞)上单调递增
【答案】C
【解析】当x∈(－3，0)时，f'(x)0；
令f'(x)0，解得x>0或x0，即a1，x−122−14≥－14，所以f'(x)>0恒成立，
所以f(x)＝ln x－xex在(0，＋∞)上单调递增.
又0a>b.
【典例】2.(2025·成都模拟)已知函数f(x)＝3x－sin x，若f(a)＋f(a2－2)>0，则实数a的取值范围为 .
【答案】(－∞，－2)∪(1，＋∞)
【解析】函数f(x)＝3x－sin x的定义域为R，且f(－x)＝－3x＋sin x＝－f(x)，
所以f(x)＝3x－sin x为奇函数，
又f'(x)＝3－cs x>0，
所以f(x)＝3x－sin x在R上单调递增，
不等式f(a)＋f(a2－2)>0，
即f(a2－2)>－f(a)＝f(－a)，
等价于a2－2>－a，解得a>1或a0，则称函数y＝f(x)为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是( )
A.f(x)＝exB.f(x)＝x2
C.f(x)＝ln xD.f(x)＝sin x
【答案】ACD
【解析】依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数.
对于A，g(x)＝xex，g'(x)＝(x＋1)ex，
当x∈(－∞，－1)时，g'(x)0，g'(x)＝1＋ln x，
当x∈0，1e时，g'(x)－1，又因为a≠0，
所以实数a的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞).
【解题技巧】由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立.
(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f'(x)>0 (或f'(x)0，
所以g(x)在(1，2)上单调递增，
g(x)>g(1)＝e，故e≥1a，
即a≥1e＝e－1，即a的最小值为e－1.
变式2.已知a＝ln22，b＝1e，c＝ln33，则a，b，c的大小关系为( )
A.a>b>cB.a>c>b
C.b>a>cD.b>c>a
【答案】D
【解析】构造函数f(x)＝lnxx，x∈(0，＋∞)，
则f'(x)＝1−lnxx2，
令f'(x)>0，得00在(1，＋∞)上有解即可.
由已知得f'(x)＝－x2＋x＋2a，该函数图象开口向下，对称轴为x＝12，
故f'(x)在(1，＋∞)上单调递减，
所以f'(1)＝2a>0，解得a>0.
变式4.已知函数f(x)＝x22＋ax－(ax＋1)ln x在x＝1处的切线方程为y＝bx＋52(a，b∈R).
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)在(1，＋∞)上单调递增.
(1)【解析】因为f(x)＝x22＋ax－(ax＋1)ln x，
所以f'(x)＝x＋a－aln x－ax＋1x＝x－1x－aln x，
依题意可得f'(1)＝b，f(1)＝b＋52，
即1−1−aln1＝b，12＋a−(a＋1)ln1＝b＋52，
解得b＝0，a＝2.
(2)证明 由(1)可得f(x)＝x22＋2x－(2x＋1)ln x，
则f'(x)＝x－1x－2ln x，
令g(x)＝f'(x)＝x－1x－2ln x，x∈(1，＋∞)，
则g'(x)＝1＋1x2−2x＝(x−1)2x2>0，
所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
又g(1)＝0，
所以当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，即f'(x)>0，
所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增.
变式5.已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋kxx＋2(k∈R).
(1)若k＝－3，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在其定义域上单调递增，求k的取值范围.
【解析】(1)函数f(x)＝ln(x＋1)＋kxx＋2的定义域为(－1，＋∞)，
求导得f'(x)＝1x＋1＋2k(x＋2)2，
当k＝－3时，f'(x)＝1x＋1−6(x＋2)2＝x2−2x−2(x＋1)(x＋2)2＝(x−1＋3)(x−1−3)(x＋1)(x＋2)2，
当－1－1时，－(x＋2)2x＋1＝－(x＋1)＋1x＋1＋2
≤－4，当且仅当x＝0时取等号，
因此2k≥－4，解得k≥－2，
当k＝－2时，f'(x)＝x2(x＋1)(x＋2)2≥0，
f(x)在(－1，＋∞)上单调递增，
所以k的取值范围是[－2，＋∞).
考点
三年考情（2021-2024）
命题趋势
考点1 利用导数判断函数单调性及其应用
2024·全国新Ⅰ卷
2023·全国新Ⅱ卷
2023·全国乙卷
会利用导数判断函数的单调性及会求极值最值，会根据极值点拓展求参数及其他内容，极值点也是新高考的命题热点，要熟练掌握。
考点2构建函数利用导数判断函数单调性比较函数值大小关系
2022·全国甲卷
2022·全国新Ⅰ卷
2021·全国乙卷
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f′(x)＞0
f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)＜0
f(x)在(a，b)上单调递减
f′(x)＝0
f(x)在(a，b)上是常数函数