2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第三章3.3导数与函数的极值、最值(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮备考学霸培优练习(新高考通用)第三章3.3导数与函数的极值、最值(学生版+解析)，共8页。试卷主要包含了3　导数与函数的极值、最值，函数的极小值，函数的极大值等内容，欢迎下载使用。
【考情分析·探规律】
【知识梳理】
1.函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
2.函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.
3.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
2.求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
【名师点拨】
1.对于可导函数f(x)，f′(x)＝0是f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件，【典例】如，f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点.
2.极值点不是点，而是一个实数，极大值与极小值没有必然联系，极小值可能比极大值还大.
3.若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则其极值点为函数的最值点.
4.若函数在闭区间[a，b]内的最值点不是端点，则其最值点亦为其极值点.
5.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数可能没有极值，也可能不止一个.( )
(2)单调函数没有极值.( )
(3)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点.( )
(4)极大值一定大于极小值.( )
(5)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值.( )
(6)函数的极大值不一定是最大值，最小值也不一定是极小值.( )
(7)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值.( )
(8)连续函数f(x)在区间[a，b]上一定存在最值.( )
【答案】(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)× (6)√ (7)× (8)√
【解析】(5)反【典例】：有极值的函数不一定有最值，如图所示，函数f(x)有极值，但没有最值.(7)反【典例】：f(x)＝x2在区间(－1，2)上的最小值为0.
2.(多选)如图是函数f(x)的导函数y＝f'(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)在区间(3，5)上单调递减
B.函数f(x)在区间(4，5)上单调递增
C.函数f(x)在x＝3处取得极大值
D.函数f(x)在x＝4处取得极小值
【答案】AC
【解析】由图象可知，当x∈(3，5)时，f'(x)0，当x∈(3，5)时，f'(x)0，可得f'(x)>0，即f(x)单调递增，
因此f(x)在x＝－2和x＝1处取得极小值，在x＝0处取得极大值，共3个极值点，A错误，C正确；
f(0)为f(x)的极大值，B正确；
f(－1)不是f(x)的极小值，D错误.
命题点2 求已知函数的极值
【典例】2.(2025·沈阳模拟)已知函数f(x)＝2ln x－2(a－1)x－ax2(a>0)，讨论f(x)的极值.
【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
求导得f'(x)＝2x－2(a－1)－2ax
＝－2(x＋1)(ax−1)x，
因为a>0，则当x∈0，1a时，f'(x)>0，
当x∈1a，＋∞时，f'(x)0时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
当x－2B.a>－12
C.a0，此时f(x)为增函数，无极值点；
若a0，
当x0)，
所以f'(x)＝1x−ax2＝x−ax2，
当a≤0时，f'(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
此时f(x)在区间[1，e]上的最小值为f(1)＝a＋ln 1＝32，
解得a＝32，不符合题意，舍去；
当a>0时，令f'(x)0，解得x2；令f'(x)